रेखा और तल दो सबसे महत्वपूर्ण ज्यामितीय तत्व हैं जिनका उपयोग 2D और 3D अंतरिक्ष में विभिन्न आकृतियों के निर्माण के लिए किया जा सकता है। विचार करें कि समानांतर रेखाओं और समानांतर विमानों के बीच की दूरी कैसे ज्ञात करें।
गणित कार्य सीधी रेखा
स्कूल ज्यामिति पाठ्यक्रम से ज्ञात होता है कि द्वि-आयामी आयताकार समन्वय प्रणाली में एक रेखा को निम्न रूप में निर्दिष्ट किया जा सकता है:
y=kx + b.
जहां k और b संख्याएं (पैरामीटर) हैं। एक विमान में एक रेखा का प्रतिनिधित्व करने का लिखित रूप एक विमान है जो त्रि-आयामी अंतरिक्ष में z- अक्ष के समानांतर होता है। इसे ध्यान में रखते हुए, इस लेख में, एक सीधी रेखा के गणितीय असाइनमेंट के लिए, हम एक अधिक सुविधाजनक और सार्वभौमिक रूप का उपयोग करेंगे - एक वेक्टर।
मान लें कि हमारी रेखा कुछ वेक्टर u¯(a, b, c) के समानांतर है और बिंदु P(x0,से होकर गुजरती है।वाई0, जेड0)। इस स्थिति में, सदिश रूप में, इसके समीकरण को इस प्रकार दर्शाया जाएगा:
(x, y, z)=(x0, y 0, जेड0) + (ए, बी, सी)।
यहाँ λ कोई भी संख्या है। यदि हम लिखित अभिव्यक्ति का विस्तार करके निर्देशांक का स्पष्ट रूप से प्रतिनिधित्व करते हैं, तो हमें एक सीधी रेखा लिखने का एक पैरामीट्रिक रूप मिलेगा।
विभिन्न समस्याओं को हल करते समय वेक्टर समीकरण के साथ काम करना सुविधाजनक होता है जिसमें समानांतर रेखाओं के बीच की दूरी निर्धारित करना आवश्यक होता है।
रेखाएं और उनके बीच की दूरी
पंक्तियों के बीच की दूरी के बारे में तभी बात करना समझ में आता है जब वे समानांतर हों (त्रि-आयामी मामले में, तिरछी रेखाओं के बीच एक गैर-शून्य दूरी भी होती है)। यदि रेखाएँ प्रतिच्छेद करती हैं, तो स्पष्ट है कि वे एक दूसरे से शून्य दूरी पर हैं।
समांतर रेखाओं के बीच की दूरी उन्हें जोड़ने वाले लंबवत की लंबाई है। इस सूचक को निर्धारित करने के लिए, किसी एक रेखा पर एक मनमाना बिंदु चुनना और एक लंबवत को दूसरी पर छोड़ना पर्याप्त है।
आइए वांछित दूरी खोजने की प्रक्रिया का संक्षेप में वर्णन करते हैं। मान लीजिए कि हम दो रेखाओं के सदिश समीकरणों को जानते हैं, जिन्हें निम्नलिखित सामान्य रूप में प्रस्तुत किया गया है:
(x, y, z)=P + λu¯;
(x, y, z)=Q + βv¯.
इन रेखाओं पर एक समांतर चतुर्भुज की रचना करें ताकि एक भुजा PQ हो, और दूसरी, उदाहरण के लिए, u। जाहिर है, बिंदु P से खींची गई इस आकृति की ऊंचाई अभीष्ट लंब की लंबाई है। इसे खोजने के लिए, आप निम्नलिखित सरल लागू कर सकते हैंसूत्र:
d=|[PQ¯u¯]|/|u¯|.
चूंकि सीधी रेखाओं के बीच की दूरी उनके बीच लंबवत खंड की लंबाई है, तो लिखित अभिव्यक्ति के अनुसार, PQ¯ और u¯ के वेक्टर उत्पाद के मापांक को खोजने और परिणाम को विभाजित करने के लिए पर्याप्त है सदिश u¯ की लंबाई।
सीधी रेखाओं के बीच की दूरी निर्धारित करने के लिए कार्य का एक उदाहरण
दो सीधी रेखाएं निम्नलिखित सदिश समीकरणों द्वारा दी गई हैं:
(x, y, z)=(2, 3, -1) + (-2, 1, 3);
(x, y, z)=(1, 1, 1) + β(2, -1, -3)।
लिखित भावों से स्पष्ट है कि हमारे पास दो समानांतर रेखाएँ हैं। दरअसल, अगर हम पहली पंक्ति के दिशा वेक्टर के निर्देशांक -1 से गुणा करते हैं, तो हमें दूसरी पंक्ति के दिशा वेक्टर के निर्देशांक मिलते हैं, जो उनकी समानता को इंगित करता है।
सीधी रेखाओं के बीच की दूरी की गणना लेख के पिछले पैराग्राफ में लिखे सूत्र का उपयोग करके की जाएगी। हमारे पास है:
P(2, 3, -1), Q(1, 1, 1)=>PQ¯=(-1, -2, 2);
यू¯=(-2, 1, 3)।
तब हमें मिलता है:
|यू¯|=√14cm;
d=|[PQ¯u¯]|/|u¯|=(90/14)=2.535 सेमी.
ध्यान दें कि बिंदु P और Q के बजाय, इन रेखाओं से संबंधित किसी भी बिंदु का उपयोग समस्या को हल करने के लिए किया जा सकता है। इस स्थिति में, हमें समान दूरी d. प्राप्त होगी।
ज्यामिति में समतल करना
रेखाओं के बीच की दूरी के प्रश्न पर ऊपर विस्तार से चर्चा की गई। आइए अब दिखाते हैं कि समांतर तलों के बीच की दूरी कैसे ज्ञात की जाती है।
हर कोई दर्शाता है कि एक विमान क्या है। गणितीय परिभाषा के अनुसार, निर्दिष्ट ज्यामितीय तत्व बिंदुओं का एक संग्रह है। इसके अलावा, यदि आप इन बिंदुओं का उपयोग करके सभी संभावित वैक्टर बनाते हैं, तो वे सभी एक एकल वेक्टर के लंबवत होंगे। उत्तरार्द्ध को आमतौर पर विमान के लिए सामान्य कहा जाता है।
तीन-आयामी अंतरिक्ष में एक विमान के समीकरण को निर्दिष्ट करने के लिए, समीकरण के सामान्य रूप का सबसे अधिक बार उपयोग किया जाता है। यह इस तरह दिखता है:
Ax + By + Cz + D=0.
जहां बड़े लैटिन अक्षर कुछ संख्याएं हैं। इस प्रकार के समतल समीकरण का उपयोग करना सुविधाजनक है क्योंकि इसमें सामान्य वेक्टर के निर्देशांक स्पष्ट रूप से दिए गए हैं। वे हैं ए, बी, सी.
यह देखना आसान है कि दो विमान समानांतर होते हैं, जब उनके अभिलंब समानांतर होते हैं।
दो समानांतर समतलों के बीच की दूरी कैसे ज्ञात करें ?
निर्दिष्ट दूरी निर्धारित करने के लिए, आपको स्पष्ट रूप से समझना चाहिए कि दांव पर क्या है। एक दूसरे के समानांतर समतलों के बीच की दूरी को उनके लंबवत खंड की लंबाई के रूप में समझा जाता है। इस खंड के सिरे विमानों के हैं।
ऐसी समस्याओं को हल करने के लिए एल्गोरिदम सरल है। ऐसा करने के लिए, आपको दो विमानों में से किसी एक से संबंधित किसी भी बिंदु के निर्देशांक खोजने की आवश्यकता है। फिर, आपको इस सूत्र का उपयोग करना चाहिए:
d=|Ax0+ By0+सीजेड0+ डी|/√(ए2 + बी2 + सी2).
चूंकि दूरी एक धनात्मक मान है, मापांक चिह्न अंश में है। लिखित सूत्र सार्वभौमिक है, क्योंकि यह आपको विमान से दूरी की गणना बिल्कुल किसी भी ज्यामितीय तत्व की गणना करने की अनुमति देता है। इस तत्व के एक बिंदु के निर्देशांक जानने के लिए पर्याप्त है।
पूर्णता के लिए, हम ध्यान दें कि यदि दो विमानों के अभिलंब एक दूसरे के समानांतर नहीं हैं, तो ऐसे विमान प्रतिच्छेद करेंगे। तब उनके बीच की दूरी शून्य होगी।
विमानों के बीच की दूरी निर्धारित करने की समस्या
यह ज्ञात है कि दो तल निम्नलिखित व्यंजकों द्वारा दिए गए हैं:
y/5 + x/(-3) + z/1=1;
-x + 3/5y + 3z - 2=0.
यह साबित करना आवश्यक है कि विमान समानांतर हैं, और उनके बीच की दूरी भी निर्धारित करना आवश्यक है।
समस्या के पहले भाग का उत्तर देने के लिए, आपको पहले समीकरण को सामान्य रूप में लाना होगा। ध्यान दें कि इसे खंडों में समीकरण के तथाकथित रूप में दिया गया है। इसके बाएँ और दाएँ भागों को 15 से गुणा करें और सभी पदों को समीकरण के एक तरफ ले जाएँ, हमें प्राप्त होता है:
-5x + 3y + 15z - 15=0.
आइए विमानों के दो सामान्य सदिशों के निर्देशांक लिखें:
1¯=(-5, 3, 15);
2¯=(-1, 3/5, 3)।
यह देखा जा सकता है कि यदि n2¯ को 5 से गुणा किया जाता है, तो हमें निर्देशांक n1¯ प्राप्त होंगे। इस प्रकार, माना विमान हैंसमानांतर।
समानांतर विमानों के बीच की दूरी की गणना करने के लिए, उनमें से पहले के एक मनमाना बिंदु का चयन करें और उपरोक्त सूत्र का उपयोग करें। उदाहरण के लिए, आइए बिंदु (0, 0, 1) लेते हैं जो पहले तल से संबंधित है। तब हमें मिलता है:
d=|Ax0+ By0+ Cz0 + डी|/√(ए2 + बी2 + सी2)=
=1/(√(1 + 9/25 + 9))=0.31 सेमी.
वांछित दूरी 31 मिमी है।
विमान और रेखा के बीच की दूरी
प्रदान किया गया सैद्धांतिक ज्ञान हमें एक सीधी रेखा और एक समतल के बीच की दूरी निर्धारित करने की समस्या को हल करने की भी अनुमति देता है। यह पहले ही ऊपर उल्लेख किया जा चुका है कि विमानों के बीच गणना के लिए मान्य सूत्र सार्वभौमिक है। इसका उपयोग समस्या को हल करने के लिए भी किया जा सकता है। ऐसा करने के लिए, बस किसी भी बिंदु का चयन करें जो दी गई रेखा से संबंधित है।
माना गया ज्यामितीय तत्वों के बीच की दूरी निर्धारित करने में मुख्य समस्या उनकी समानता का प्रमाण है (यदि नहीं, तो d=0)। समानांतरवाद को साबित करना आसान है यदि आप लाइन के लिए सामान्य और दिशा वेक्टर के स्केलर उत्पाद की गणना करते हैं। यदि विचाराधीन तत्व समानांतर हैं, तो यह उत्पाद शून्य के बराबर होगा।
