विमानों के बीच के कोण। विमानों के बीच के कोण का निर्धारण कैसे करें

2024 लेखक: Angel Austin | [email protected]. अंतिम बार संशोधित: 2024-01-02 17:47

अंतरिक्ष में ज्यामितीय समस्याओं को हल करते समय, अक्सर ऐसे होते हैं जहां विभिन्न स्थानिक वस्तुओं के बीच कोणों की गणना करना आवश्यक होता है। इस लेख में, हम विमानों के बीच और उनके बीच और एक सीधी रेखा के बीच कोण खोजने के मुद्दे पर विचार करेंगे।

अंतरिक्ष में रेखा

यह ज्ञात है कि समतल में किसी भी सीधी रेखा को निम्नलिखित समानता द्वारा परिभाषित किया जा सकता है:

y=एएक्स + बी

यहाँ a और b कुछ संख्याएँ हैं। यदि हम समान व्यंजक के साथ अंतरिक्ष में एक सीधी रेखा का प्रतिनिधित्व करते हैं, तो हमें z अक्ष के समानांतर एक विमान मिलता है। स्थानिक रेखा की गणितीय परिभाषा के लिए, द्वि-आयामी मामले की तुलना में एक अलग समाधान विधि का उपयोग किया जाता है। इसमें "दिशा वेक्टर" की अवधारणा का उपयोग करना शामिल है।

एक सीधी रेखा का निर्देशन सदिश अंतरिक्ष में अपना उन्मुखीकरण दर्शाता है। यह पैरामीटर लाइन के अंतर्गत आता है। चूँकि अंतरिक्ष में समानांतर सदिशों का एक अनंत सेट होता है, इसलिए मानी गई ज्यामितीय वस्तु को विशिष्ट रूप से निर्धारित करने के लिए, इससे संबंधित बिंदु के निर्देशांक जानना भी आवश्यक है।

मान लें कि वहाँ हैबिंदु P(x₀; y₀; z_{0) और दिशा वेक्टर v¯(a; b; c), तो एक सीधी रेखा का समीकरण इस प्रकार दिया जा सकता है:}

(x; y; z)=P + αv¯ या

(x; y; z)=(x₀; y₀; z_{0) + α(ए; बी; सी)}

इस व्यंजक को एक सीधी रेखा का पैरामीट्रिक सदिश समीकरण कहा जाता है। गुणांक α एक ऐसा पैरामीटर है जो बिल्कुल वास्तविक मान ले सकता है। इस समानता का विस्तार करके एक रेखा के निर्देशांक को स्पष्ट रूप से दर्शाया जा सकता है:

x=x_{0+ αa;}

y=y_{0+ αb;}

z=z_{0+ αc}

विमान का समीकरण

अंतरिक्ष में समतल के लिए समीकरण लिखने के कई रूप हैं। यहां हम उनमें से एक पर विचार करेंगे, जिसका उपयोग अक्सर दो विमानों के बीच या उनमें से एक और एक सीधी रेखा के बीच के कोणों की गणना करते समय किया जाता है।

यदि कुछ सदिश n¯(A; B; C) ज्ञात है, जो वांछित तल के लंबवत है, और बिंदु P(x₀; y ₀; z_{0), जो इससे संबंधित है, तो बाद के लिए सामान्य समीकरण है:}

Ax + By + Cz + D=0 जहाँ D=-1(Ax₀+ By ₀ + सी जेड₀₎

हमने इस व्यंजक की व्युत्पत्ति को छोड़ दिया है, जो काफी सरल है। यहां हम केवल यह नोट करते हैं कि, विमान के समीकरण में चर के गुणांकों को जानने के बाद, कोई भी आसानी से उन सभी वैक्टरों को ढूंढ सकता है जो इसके लंबवत हैं। उत्तरार्द्ध को मानक कहा जाता है और झुकाव और विमान के बीच और बीच के कोणों की गणना में उपयोग किया जाता हैमनमाना अनुरूप।

तलों का स्थान और उनके बीच के कोण का सूत्र

मान लीजिए कि दो विमान हैं। अंतरिक्ष में उनकी सापेक्ष स्थिति के लिए क्या विकल्प हैं। चूंकि विमान के दो अनंत आयाम और एक शून्य है, उनके पारस्परिक अभिविन्यास के लिए केवल दो विकल्प संभव हैं:

वे एक दूसरे के समानांतर होंगे;
वे ओवरलैप कर सकते हैं।

तलों के बीच का कोण उनके दिशा सदिशों के बीच का सूचकांक है, अर्थात उनके मानदंडों के बीच n₁¯ और n_2¯.

जाहिर है, अगर वे समतल के समानांतर हैं, तो उनके बीच प्रतिच्छेद कोण शून्य है। यदि वे प्रतिच्छेद करते हैं, तो यह शून्येतर है, लेकिन हमेशा तेज होता है। प्रतिच्छेदन का एक विशेष मामला कोण होगा 90o, जब विमान परस्पर एक दूसरे के लंबवत होते हैं।

n₁¯ और n_{2¯ के बीच का कोण α इन सदिशों के अदिश गुणन से आसानी से निर्धारित होता है। यानी सूत्र होता है:}

α=arccos((n₁¯n₂¯)/(|n_{1 ¯| |n}2_¯|))

मान लें कि इन वैक्टर के निर्देशांक हैं: n₁¯(a₁; b₁; c₁), n₂¯(a₂; b_{2; सी}2_{)। फिर, उनके निर्देशांक के माध्यम से स्केलर उत्पाद और वैक्टर के मॉड्यूल की गणना के लिए सूत्रों का उपयोग करके, उपरोक्त अभिव्यक्ति को फिर से लिखा जा सकता है:}

α=arccos(|a₁ a₂ + b₁ b ₂ +सी₁ सी₂| / (√(a₁² + b₁² + सी₁²)(एक₂² + ख ₂² + सी₂²⁾⁾

अंश में मापांक अधिक कोणों के मानों को बाहर करने के कारण प्रकट हुआ।

विमानों के प्रतिच्छेदन कोण को निर्धारित करने के लिए समस्याओं को हल करने के उदाहरण

तलों के बीच का कोण ज्ञात करने का तरीका जानने के बाद, हम निम्नलिखित समस्या का समाधान करेंगे। दो तल दिए गए हैं, जिनके समीकरण हैं:

3x + 4y - z + 3=0;

-x - 2y + 5z +1=0

तलों के बीच का कोण क्या है?

समस्या के प्रश्न का उत्तर देने के लिए, आइए याद रखें कि समतल के सामान्य समीकरण में चरों के गुणांक गाइड वेक्टर के निर्देशांक होते हैं। संकेतित विमानों के लिए हमारे पास उनके मानदंडों के निम्नलिखित निर्देशांक हैं:

_{1¯(3; 4; -1);}
_{2¯(-1; -2; 5)}

अब हमें इन वैक्टर और उनके मॉड्यूल के अदिश गुणनफल मिलते हैं, हमारे पास:

(n₁¯n_{2¯)=-3 -8 -5=-16;}

|n_{1¯|=(9 + 16 + 1)=26;}

|n_{2¯|=(1 + 4 + 25)=30}

अब आप पाए गए नंबरों को पिछले पैराग्राफ में दिए गए फॉर्मूले में बदल सकते हैं। हमें मिलता है:

α=आर्ककोस(|-16 | / (√2630) 55, 05o

परिणामी मान स्थिति में निर्दिष्ट विमानों के प्रतिच्छेदन के एक तीव्र कोण से मेल खाता हैकार्य।

अब एक और उदाहरण पर विचार करें। दो विमानों को देखते हुए:

x + y -3=0;

3x + 3y + 8=0

क्या वे प्रतिच्छेद करते हैं? आइए उनके दिशा वैक्टर के निर्देशांक के मूल्यों को लिखें, उनके स्केलर उत्पाद और मॉड्यूल की गणना करें:

_{1¯(1; 1; 0);}
_{2¯(3; 3; 0);}

(n₁¯n_{2¯)=3 + 3 + 0=6;}

|n_1¯|=2;

|n_2¯|=18

फिर प्रतिच्छेदन कोण है:

α=आर्ककोस(|6| / (√2√18)=0o।

यह कोण इंगित करता है कि विमान प्रतिच्छेद नहीं करते हैं, लेकिन समानांतर हैं। तथ्य यह है कि वे एक दूसरे से मेल नहीं खाते हैं, जांचना आसान है। आइए इसके लिए उनमें से पहले से संबंधित एक मनमाना बिंदु लें, उदाहरण के लिए, P(0; 3; 2)। इसके निर्देशांकों को दूसरे समीकरण में प्रतिस्थापित करें, हमें प्राप्त होता है:

30 +33 + 8=17 0

अर्थात बिंदु P केवल प्रथम तल का है।

तो दो तल समानांतर होते हैं जब उनके अभिलंब होते हैं।

समान और सीधी रेखा

एक समतल और एक सीधी रेखा के बीच सापेक्ष स्थिति पर विचार करने के मामले में, दो तलों की तुलना में कई अधिक विकल्प हैं। यह तथ्य इस तथ्य से जुड़ा है कि सीधी रेखा एक आयामी वस्तु है। लाइन और प्लेन हो सकते हैं:

परस्पर समानांतर, इस स्थिति में तल रेखा को नहीं काटता;
बाद वाला विमान का हो सकता है, जबकि यह उसके समानांतर भी होगा;
दोनों ऑब्जेक्ट कर सकते हैंकिसी कोण पर प्रतिच्छेद करें।

आइए पहले अंतिम मामले पर विचार करें, क्योंकि इसमें प्रतिच्छेदन कोण की अवधारणा की शुरूआत की आवश्यकता है।

रेखा और तल, उनके बीच का कोण

यदि एक सीधी रेखा किसी समतल को काटती है, तो वह उसके सापेक्ष झुकी हुई रेखा कहलाती है। चौराहे के बिंदु को ढलान का आधार कहा जाता है। इन ज्यामितीय वस्तुओं के बीच के कोण को निर्धारित करने के लिए, किसी भी बिंदु से विमान के सीधे लंबवत को कम करना आवश्यक है। फिर समतल के साथ लंब का प्रतिच्छेदन बिंदु और इसके साथ झुकी हुई रेखा के प्रतिच्छेदन का स्थान एक सीधी रेखा बनाता है। उत्तरार्द्ध को विचाराधीन तल पर मूल रेखा का प्रक्षेपण कहा जाता है। रेखा और उसके प्रक्षेपण के बीच का न्यून कोण आवश्यक है।

एक समतल और एक तिरछे कोण के बीच के कोण की कुछ भ्रामक परिभाषा नीचे दिए गए चित्र को स्पष्ट करेगी।

एक सीधी रेखा जो एक समतल को प्रतिच्छेद करती है

यहाँ कोण ABO, रेखा AB और समतल a के बीच का कोण है।

इसका सूत्र लिखने के लिए एक उदाहरण पर विचार करें। मान लीजिए कि एक सीधी रेखा और एक तल है, जो समीकरणों द्वारा वर्णित है:

(x; y; z)=(x₀; y₀; z_{0) +(ए; बी; सी);}

एएक्स + बीएक्स + सीएक्स + डी=0

इन वस्तुओं के लिए वांछित कोण की गणना करना आसान है यदि आप रेखा और विमान के दिशा वैक्टर के बीच अदिश उत्पाद पाते हैं। परिणामी न्यूनकोण को 90o से घटाया जाना चाहिए, फिर यह एक सीधी रेखा और एक समतल के बीच प्राप्त होता है।

उपरोक्त आंकड़ा खोजने के लिए वर्णित एल्गोरिथम को दर्शाता हैकोण माना जाता है। यहाँ β अभिलम्ब और रेखा के बीच का कोण है, और α रेखा और समतल पर उसके प्रक्षेपण के बीच है। यह देखा जा सकता है कि उनका योग 90o है।

ऊपर, एक सूत्र प्रस्तुत किया गया था जो इस सवाल का जवाब देता है कि विमानों के बीच कोण कैसे खोजा जाए। अब हम एक सीधी रेखा और एक तल की स्थिति के लिए संगत व्यंजक देते हैं:

α=arcsin(|aA + bB + cC| / (√(a ² + b² + सी ²)√(ए ² + बी ² + सी ²⁾⁾

सूत्र में मापांक केवल न्यून कोणों की गणना करने की अनुमति देता है। त्रिकोणमितीय कार्यों (cos(β)=sin(90o-β)=sin(α)) के बीच संबंधित कमी सूत्र के उपयोग के कारण आर्ककोसाइन के बजाय आर्क्साइन फ़ंक्शन दिखाई दिया।

समस्या: एक समतल एक सीधी रेखा को काटता है

अब आइए दिखाते हैं कि ऊपर दिए गए फॉर्मूले के साथ कैसे काम करना है। आइए समस्या को हल करें: समीकरण द्वारा दिए गए y-अक्ष और समतल के बीच के कोण की गणना करना आवश्यक है:

y - z + 12=0

तस्वीर में यह विमान दिखाया गया है।

आप देख सकते हैं कि यह y और z अक्षों को क्रमशः (0; -12; 0) और (0; 0; 12) बिंदुओं पर काटती है, और x अक्ष के समानांतर है।

रेखा y के दिशा सदिश के निर्देशांक (0; 1; 0) हैं। किसी दिए गए विमान के लंबवत एक वेक्टर निर्देशांक (0; 1; -1) द्वारा विशेषता है। हम एक सीधी रेखा और एक तल के प्रतिच्छेद कोण के लिए सूत्र लागू करते हैं, हमें प्राप्त होता है:

α=आर्क्सिन(|1| / (√1√2))=आर्क्सिन(1 / √2)=45o

समस्या: विमान के समानांतर सीधी रेखा

अब फैसला करते हैंपिछली समस्या के समान, जिसका प्रश्न अलग तरह से प्रस्तुत किया गया है। समतल और सीधी रेखा के समीकरण ज्ञात हैं:

x + y - z - 3=0;

(x; y; z)=(1; 0; 0) +(0; 2; 2)

यह पता लगाना आवश्यक है कि क्या ये ज्यामितीय वस्तुएं एक दूसरे के समानांतर हैं।

हमारे पास दो सदिश हैं: सीधी रेखा की दिशा (0; 2; 2) है और तल की दिशा (1; 1; -1) है। उनका डॉट उत्पाद खोजें:

01 + 12 - 12=0

परिणामी शून्य इंगित करता है कि इन सदिशों के बीच का कोण 90o है, जो साबित करता है कि रेखा और तल समानांतर हैं।

अब देखते हैं कि यह रेखा केवल समानांतर है या समतल में भी है। ऐसा करने के लिए, रेखा पर एक मनमाना बिंदु चुनें और जांचें कि क्या यह विमान से संबंधित है। उदाहरण के लिए,=0 लेते हैं, तो बिंदु P(1; 0; 0) रेखा से संबंधित है। समतल P के समीकरण में रखिए:

1 - 3=-2 ≠ 0

बिन्दु P, तल से संबंधित नहीं है, जिसका अर्थ है कि पूरी रेखा भी इसमें नहीं होती है।

माना गया ज्यामितीय वस्तुओं के बीच के कोणों को जानना कहाँ महत्वपूर्ण है?

समस्या समाधान के उपरोक्त सूत्र और उदाहरण केवल सैद्धांतिक रुचि के नहीं हैं। उनका उपयोग अक्सर वास्तविक त्रि-आयामी आंकड़ों की महत्वपूर्ण भौतिक मात्राओं को निर्धारित करने के लिए किया जाता है, जैसे कि प्रिज्म या पिरामिड। आंकड़ों की मात्रा और उनकी सतहों के क्षेत्रों की गणना करते समय विमानों के बीच के कोण को निर्धारित करने में सक्षम होना महत्वपूर्ण है। इसके अलावा, यदि सीधे प्रिज्म के मामले में यह निर्धारित करने के लिए इन सूत्रों का उपयोग नहीं करना संभव हैनिर्दिष्ट मान हैं, तो किसी भी प्रकार के पिरामिड के लिए उनका उपयोग अनिवार्य है।

नीचे, एक वर्गाकार आधार वाले पिरामिड के कोणों को निर्धारित करने के लिए उपरोक्त सिद्धांत का उपयोग करने के एक उदाहरण पर विचार करें।

पिरामिड और उसके कोने

नीचे दिए गए चित्र में एक पिरामिड दिखाया गया है, जिसके आधार पर एक वर्ग है जिसकी भुजा a है। आकृति की ऊंचाई h है। दो कोनों को खोजने की जरूरत है:

साइड सरफेस और बेस के बीच;
साइड रिब और बेस के बीच।

समस्या को हल करने के लिए, आपको पहले समन्वय प्रणाली में प्रवेश करना होगा और संबंधित कोने के मापदंडों को निर्धारित करना होगा। चित्र से पता चलता है कि निर्देशांक की उत्पत्ति वर्ग आधार के केंद्र में बिंदु के साथ मेल खाती है। इस मामले में, आधार तल को समीकरण द्वारा वर्णित किया गया है:

जेड=0

अर्थात किसी भी x और y के लिए तीसरे निर्देशांक का मान हमेशा शून्य होता है। पार्श्व तल ABC z-अक्ष को बिंदु B(0; 0; h) पर और y-अक्ष को निर्देशांक (0; a/2; 0) के साथ प्रतिच्छेद करता है। यह एक्स-अक्ष को पार नहीं करता है। इसका अर्थ है कि ABC समतल के समीकरण को इस प्रकार लिखा जा सकता है: