मानव जाति की प्रगति काफी हद तक प्रतिभाओं द्वारा की गई खोजों के कारण है। उनमें से एक ब्लेज़ पास्कल है। उनकी रचनात्मक जीवनी एक बार फिर लायन फ्यूचटवांगर की अभिव्यक्ति "एक प्रतिभाशाली व्यक्ति, हर चीज में प्रतिभाशाली" की सच्चाई की पुष्टि करती है। इस महान वैज्ञानिक की सभी वैज्ञानिक उपलब्धियों को गिनना मुश्किल है। उनमें से एक गणित की दुनिया में सबसे सुंदर आविष्कारों में से एक है - पास्कल का त्रिकोण।
प्रतिभा के बारे में कुछ शब्द
ब्लेज़ पास्कल की मृत्यु आधुनिक मानकों के अनुसार, 39 वर्ष की आयु में हुई। हालांकि, अपने छोटे से जीवन में उन्होंने खुद को एक उत्कृष्ट भौतिक विज्ञानी, गणितज्ञ, दार्शनिक और लेखक के रूप में प्रतिष्ठित किया। आभारी वंशजों ने उनके सम्मान में दबाव की इकाई और लोकप्रिय प्रोग्रामिंग भाषा पास्कल का नाम रखा। विभिन्न कोड लिखना सिखाने के लिए इसका उपयोग लगभग 60 वर्षों से किया जा रहा है। उदाहरण के लिए, इसकी मदद से, प्रत्येक छात्र पास्कल में त्रिभुज के क्षेत्रफल की गणना करने के लिए एक प्रोग्राम लिख सकता है, साथ ही सर्किट के गुणों का पता लगा सकता है, इसके बारे मेंजिस पर नीचे चर्चा की जाएगी।
असाधारण सोच वाले इस वैज्ञानिक की गतिविधि विज्ञान के विविध क्षेत्रों में फैली हुई है। विशेष रूप से, ब्लेज़ पास्कल हाइड्रोस्टैटिक्स, गणितीय विश्लेषण, ज्यामिति के कुछ क्षेत्रों और संभाव्यता सिद्धांत के संस्थापकों में से एक है। साथ ही, वह:
- एक यांत्रिक कैलकुलेटर बनाया जिसे पास्कल व्हील के नाम से जाना जाता है;
- प्रयोगात्मक साक्ष्य प्रदान किया कि हवा में लोच और वजन होता है;
- स्थापित किया गया है कि बैरोमीटर का उपयोग मौसम की भविष्यवाणी करने के लिए किया जा सकता है;
- पहिया का आविष्कार किया;
- ऑम्निबस का आविष्कार किया - निश्चित मार्गों के साथ घोड़ों द्वारा खींची जाने वाली गाड़ी, जो बाद में नियमित सार्वजनिक परिवहन का पहला प्रकार बन गया, आदि।
पास्कल का अंकगणित त्रिभुज
जैसा कि पहले ही उल्लेख किया गया है, इस महान फ्रांसीसी वैज्ञानिक ने गणितीय विज्ञान में बहुत बड़ा योगदान दिया। उनकी पूर्ण वैज्ञानिक कृतियों में से एक "अंकगणित त्रिभुज पर ग्रंथ" है, जिसमें एक निश्चित क्रम में व्यवस्थित द्विपद गुणांक होते हैं। इस योजना के गुण उनकी विविधता में हड़ताली हैं, और यह स्वयं "सब कुछ सरल सरल है!" कहावत की पुष्टि करता है।
थोड़ा सा इतिहास
निष्पक्ष होने के लिए, यह कहा जाना चाहिए कि वास्तव में पास्कल का त्रिकोण 16 वीं शताब्दी की शुरुआत में यूरोप में जाना जाता था। विशेष रूप से, उनकी छवि इंगोल्स्तद विश्वविद्यालय के प्रसिद्ध खगोलशास्त्री पीटर एपियन द्वारा अंकगणितीय पाठ्यपुस्तक के कवर पर देखी जा सकती है। एक समान त्रिभुज को उदाहरण के रूप में भी दिखाया गया है।1303 में प्रकाशित चीनी गणितज्ञ यांग हुई की एक पुस्तक में। उल्लेखनीय फ़ारसी कवि और दार्शनिक उमर खय्याम भी 12 वीं शताब्दी की शुरुआत में इसके गुणों से अवगत थे। इसके अलावा, यह माना जाता है कि वह उनसे पहले लिखे गए अरब और भारतीय वैज्ञानिकों के ग्रंथों से मिले थे।
विवरण
पास्कल त्रिकोण के सबसे दिलचस्प गुणों की खोज करने से पहले, इसकी पूर्णता और सरलता में सुंदर, यह जानने लायक है कि यह क्या है।
वैज्ञानिक रूप से कहें तो यह संख्यात्मक योजना एक निश्चित क्रम में व्यवस्थित द्विपद गुणांकों से बनी एक अंतहीन त्रिकोणीय तालिका है। इसके शीर्ष पर और किनारों पर संख्याएँ 1 हैं। शेष पदों पर एक दूसरे के बगल में उनके ऊपर स्थित दो संख्याओं के योग के बराबर संख्याएँ हैं। इसके अलावा, पास्कल के त्रिभुज की सभी रेखाएँ इसके ऊर्ध्वाधर अक्ष के बारे में सममित हैं।
बुनियादी सुविधाएं
पास्कल का त्रिभुज अपनी पूर्णता के साथ प्रहार करता है। किसी भी पंक्ति क्रमांकित n (n=0, 1, 2…) के लिए सत्य:
- पहली और आखिरी संख्या 1 हैं;
- दूसरा और अंतिम - n;
- तीसरी संख्या त्रिकोणीय संख्या के बराबर है (एक समबाहु त्रिभुज में व्यवस्थित किए जा सकने वाले वृत्तों की संख्या, अर्थात 1, 3, 6, 10): T -1 =एन (एन -1) / 2.
- चौथी संख्या चतुष्फलकीय है, अर्थात यह एक पिरामिड है जिसके आधार पर एक त्रिभुज है।
इसके अलावा, अपेक्षाकृत हाल ही में, 1972 में पास्कल के त्रिकोण की एक और संपत्ति स्थापित की गई थी। उसके लिएयह पता लगाने के लिए, आपको इस योजना के तत्वों को एक तालिका के रूप में 2 पदों से एक पंक्ति शिफ्ट के साथ लिखने की आवश्यकता है। फिर रेखा संख्या से विभाज्य संख्याएँ नोट करें। यह पता चला है कि जिस कॉलम में सभी नंबर हाइलाइट किए गए हैं, वह एक अभाज्य संख्या है।
वही ट्रिक दूसरे तरीके से भी की जा सकती है। ऐसा करने के लिए, पास्कल के त्रिभुज में, संख्याओं को उनके विभाजन के शेष से तालिका में पंक्ति संख्या द्वारा प्रतिस्थापित किया जाता है। फिर लाइनों को परिणामी त्रिभुज में व्यवस्थित किया जाता है ताकि अगला वाला पिछले वाले के पहले तत्व से दाईं ओर 2 कॉलम शुरू करे। फिर अभाज्य संख्याओं वाले स्तंभों में केवल शून्य होंगे, और संयुक्त संख्याओं वाले स्तंभों में कम से कम एक शून्य होगा।
न्यूटन के द्विपद के साथ संबंध
जैसा कि आप जानते हैं, यह दो चरों के योग के एक गैर-ऋणात्मक पूर्णांक घात के पदों में विस्तार के लिए सूत्र का नाम है, जो इस तरह दिखता है:
इनमें मौजूद गुणांक बराबर हैं C m =n! / (एम! (एन - एम)!), जहां एम पास्कल के त्रिकोण की पंक्ति n में क्रमिक संख्या है। दूसरे शब्दों में, इस तालिका को हाथ में रखते हुए, आप आसानी से किसी भी संख्या को एक घात में बढ़ा सकते हैं, पहले उन्हें दो पदों में विघटित कर सकते हैं।
इस प्रकार, पास्कल का त्रिभुज और न्यूटन का द्विपद निकट से संबंधित हैं।
गणित के चमत्कार
पास्कल त्रिभुज की बारीकी से जांच करने पर पता चलता है कि:
- पंक्ति में सभी संख्याओं का योगक्रमांक n (0 से गिनती) है 2;
- यदि रेखाओं को संरेखित छोड़ दिया जाता है, तो नीचे से ऊपर और बाएं से दाएं जाने वाले पास्कल त्रिभुज के विकर्णों के साथ स्थित संख्याओं का योग फाइबोनैचि संख्याओं के बराबर होता है;
- पहले "विकर्ण" में क्रम में प्राकृतिक संख्याएँ होती हैं;
- पास्कल त्रिभुज का कोई भी तत्व, एक से घटाकर, समांतर चतुर्भुज के अंदर स्थित सभी संख्याओं के योग के बराबर होता है, जो इस संख्या पर प्रतिच्छेद करने वाले बाएँ और दाएँ विकर्णों द्वारा सीमित होता है;
- आरेख की प्रत्येक पंक्ति में, सम स्थानों में संख्याओं का योग विषम स्थानों में तत्वों के योग के बराबर होता है।
सिएरपिंस्की त्रिभुज
ऐसी दिलचस्प गणितीय योजना, जो जटिल समस्याओं को हल करने के मामले में काफी आशाजनक है, पास्कल छवि की सम संख्याओं को एक रंग में और विषम संख्याओं को दूसरे रंग में रंगकर प्राप्त की जाती है।
सिएरपिंस्की त्रिकोण को दूसरे तरीके से बनाया जा सकता है:
- छायांकित पास्कल योजना में, मध्य त्रिभुज को एक अलग रंग में रंगा जाता है, जो मूल त्रिभुज की भुजाओं के मध्य बिंदुओं को जोड़कर बनता है;
- कोनों में स्थित तीन अप्रकाशित लोगों के साथ ठीक ऐसा ही करें;
- यदि प्रक्रिया अनिश्चित काल तक जारी रहती है, तो परिणाम दो रंगों वाला होना चाहिए।
सिएरपिंस्की त्रिकोण की सबसे दिलचस्प संपत्ति इसकी आत्म-समानता है, क्योंकि इसमें इसकी 3 प्रतियां हैं, जो 2 गुना कम हो गई हैं। यह हमें इस योजना को फ्रैक्टल कर्व्स के लिए जिम्मेदार ठहराने की अनुमति देता है, और वे, जैसा कि नवीनतम द्वारा दिखाया गया हैबादलों, पौधों, नदी के डेल्टा और स्वयं ब्रह्मांड के गणितीय मॉडलिंग के लिए अनुसंधान सबसे उपयुक्त है।
कई दिलचस्प कार्य
पास्कल त्रिकोण का प्रयोग कहाँ किया जाता है? इसकी मदद से हल किए जा सकने वाले कार्यों के उदाहरण काफी विविध हैं और विज्ञान के विभिन्न क्षेत्रों से संबंधित हैं। आइए एक नजर डालते हैं कुछ और दिलचस्प पर।
समस्या 1. किले की दीवार से घिरे कुछ बड़े शहर में केवल एक प्रवेश द्वार है। पहले चौराहे पर मुख्य सड़क दो हिस्सों में बंट जाती है। ऐसा ही किसी और पर होता है। 210 लोग शहर में प्रवेश करते हैं। प्रत्येक चौराहे पर वे मिलते हैं, वे आधे में विभाजित होते हैं। हर चौराहे पर कितने लोग मिलेंगे जब बांटना संभव नहीं होगा। उसका उत्तर पास्कल त्रिभुज की पंक्ति 10 है (गुणांक सूत्र ऊपर प्रस्तुत किया गया है), जहाँ संख्या 210 ऊर्ध्वाधर अक्ष के दोनों ओर स्थित हैं।
कार्य 2. रंगों के 7 नाम होते हैं। आपको 3 फूलों का गुलदस्ता बनाने की जरूरत है। यह पता लगाना आवश्यक है कि यह कितने अलग-अलग तरीकों से किया जा सकता है। यह समस्या कॉम्बिनेटरिक्स के क्षेत्र से है। इसे हल करने के लिए, हम फिर से पास्कल के त्रिभुज का उपयोग करते हैं और 7वीं पंक्ति पर तीसरे स्थान पर (दोनों स्थितियों में 0 से अंक) प्राप्त करते हैं, संख्या 35.
अब आप जानते हैं कि महान फ्रांसीसी दार्शनिक और वैज्ञानिक ब्लेज़ पास्कल ने क्या आविष्कार किया था। इसका प्रसिद्ध त्रिकोण, जब सही ढंग से उपयोग किया जाता है, तो कई समस्याओं को हल करने के लिए एक वास्तविक जीवनरक्षक बन सकता है, खासकर क्षेत्र सेकॉम्बिनेटरिक्स। इसके अलावा, इसका उपयोग भग्न से संबंधित कई रहस्यों को सुलझाने के लिए किया जा सकता है।
