गणित के शिक्षक की बात सुनकर अधिकांश छात्र सामग्री को स्वयंसिद्ध मानते हैं। उसी समय, कुछ लोग नीचे तक जाने की कोशिश करते हैं और यह पता लगाते हैं कि "प्लस" पर "माइनस" क्यों "माइनस" साइन देता है, और दो नेगेटिव नंबरों को गुणा करने पर यह पॉजिटिव आता है।
गणित के नियम
ज्यादातर वयस्क खुद को या अपने बच्चों को यह समझाने में असमर्थ होते हैं कि ऐसा क्यों होता है। उन्होंने इस सामग्री को स्कूल में अच्छी तरह से आत्मसात कर लिया था, लेकिन उन्होंने यह पता लगाने की कोशिश भी नहीं की कि ऐसे नियम कहां से आए हैं। परन्तु सफलता नहीं मिली। अक्सर, आधुनिक बच्चे इतने भोला नहीं होते हैं, उन्हें मामले की तह तक जाने और समझने की जरूरत है, उदाहरण के लिए, "माइनस" पर "प्लस" "माइनस" क्यों देता है। और कभी-कभी टोमबॉय जानबूझकर मुश्किल सवाल पूछते हैं ताकि उस पल का आनंद लिया जा सके जब वयस्क एक समझदार जवाब नहीं दे सकते। और यह वास्तव में एक आपदा है अगर एक युवा शिक्षक गड़बड़ हो जाता है…
वैसे, यह ध्यान दिया जाना चाहिए कि ऊपर वर्णित नियम गुणा और भाग दोनों के लिए मान्य है। एक ऋणात्मक और एक धनात्मक संख्या का गुणनफल केवल एक ऋण देगा। यदि हम "-" चिन्ह वाले दो अंकों की बात कर रहे हैं, तो परिणाम एक सकारात्मक संख्या होगी। वही विभाजन के लिए जाता है। यदि एकसंख्याओं में से एक ऋणात्मक है, तो भागफल भी "-" चिह्न के साथ होगा।
गणित के इस नियम की सत्यता को समझाने के लिए वलय के अभिगृहीत बनाना आवश्यक है। लेकिन पहले आपको यह समझने की जरूरत है कि यह क्या है। गणित में, रिंग को एक सेट कहने की प्रथा है जिसमें दो तत्वों के साथ दो ऑपरेशन शामिल होते हैं। लेकिन इससे बेहतर है कि इसे एक उदाहरण से निपटाया जाए।
अंगूठी का अभिगृहीत
गणित के कई नियम हैं।
- पहला वाला कम्यूटिव है, उनके अनुसार, C + V=V + C.
- दूसरे को साहचर्य (वी + सी) + डी=वी + (सी + डी) कहा जाता है।
वे गुणन (V x C) x D=V x (C x D) का भी पालन करते हैं।
कोष्ठक खोले जाने वाले नियमों को किसी ने रद्द नहीं किया है (V + C) x D=V x D + C x D, यह भी सत्य है कि C x (V + D)=C x V + C एक्स डी।
इसके अलावा, यह स्थापित किया गया है कि एक विशेष तत्व, जोड़ के मामले में तटस्थ, अंगूठी में पेश किया जा सकता है, जिसके उपयोग से निम्नलिखित सत्य होंगे: सी + 0=सी। इसके अलावा, प्रत्येक सी के लिए एक विपरीत तत्व है, जिसे (-सी) के रूप में दर्शाया जा सकता है। इस मामले में, सी + (-सी)=0.
ऋणात्मक संख्याओं के लिए अभिगृहीत की व्युत्पत्ति
उपरोक्त कथनों को स्वीकार करते हुए, हम इस प्रश्न का उत्तर दे सकते हैं: ""प्लस" से "माइनस" क्या संकेत देता है? ऋणात्मक संख्याओं के गुणन के अभिगृहीत को जानने के बाद, यह पुष्टि करना आवश्यक है कि वास्तव में (-C) x V=- (C x V) है। और यह भी कि निम्नलिखित समानता सत्य है: (-(-C))=C.
ऐसा करने के लिए, हमें पहले यह साबित करना होगा कि प्रत्येक तत्व में केवल एक ही हैविपरीत भाई। निम्नलिखित प्रमाण उदाहरण पर विचार करें। आइए कल्पना करने की कोशिश करें कि सी - वी और डी के लिए दो संख्याएं विपरीत हैं। इससे यह पता चलता है कि सी + वी=0 और सी + डी=0, यानी सी + वी=0=सी + डी। विस्थापन कानूनों को याद करते हुए और संख्या 0 के गुणों के बारे में, हम तीनों संख्याओं के योग पर विचार कर सकते हैं: C, V और D। आइए V का मान निकालने का प्रयास करें। यह तर्कसंगत है कि V=V + 0=V + (C + डी)=वी + सी + डी, क्योंकि सी + डी का मान, जैसा कि ऊपर स्वीकार किया गया था, 0 के बराबर है। इसलिए, वी=वी + सी + डी।
डी का मान ठीक उसी तरह निकाला जाता है: डी=वी + सी + डी=(वी + सी) + डी=0 + डी=डी। इसके आधार पर, यह स्पष्ट हो जाता है कि वी=डी.
यह समझने के लिए कि "माइनस" पर "प्लस" "माइनस" क्यों देता है, आपको निम्नलिखित को समझने की आवश्यकता है। तो, तत्व (-सी) के लिए, विपरीत सी और (-(-सी)) हैं, यानी वे एक दूसरे के बराबर हैं।
तब यह स्पष्ट है कि 0 x V=(C + (-C)) x V=C x V + (-C) x V। यह इस प्रकार है कि C x V, (-)C x के विपरीत है। वी, तो (-सी) एक्स वी=-(सी एक्स वी)।
पूर्ण गणितीय कठोरता के लिए किसी भी तत्व के लिए 0 x V=0 की पुष्टि करना भी आवश्यक है। यदि आप तर्क का पालन करते हैं, तो 0 x V \u003d (0 + 0) x V \u003d 0 x V + 0 x V। इसका मतलब है कि उत्पाद 0 x V जोड़ने से किसी भी तरह से निर्धारित राशि नहीं बदलती है। आखिरकार, यह उत्पाद शून्य के बराबर है।
इन सभी अभिगृहीतों को जानकर, आप न केवल "माइनस" द्वारा "प्लस" कितना देता है, बल्कि यह भी निकाल सकते हैं कि जब आप नकारात्मक संख्याओं को गुणा करते हैं तो क्या होता है।
दो संख्याओं का गुणा और भाग "-" चिह्न के साथ
यदि आप गणित की गहराई में नहीं जाते हैंबारीकियों, आप ऋणात्मक संख्याओं के साथ संचालन के नियमों को सरल तरीके से समझाने की कोशिश कर सकते हैं।
मान लें कि सी - (-वी)=डी, तो सी=डी + (-वी), यानी सी=डी - वी। स्थानांतरण वी और सी + वी=डी प्राप्त करें। यानी, सी + वी=सी - (-वी)। यह उदाहरण बताता है कि एक अभिव्यक्ति में जहां एक पंक्ति में दो "माइनस" हैं, उल्लिखित संकेतों को "प्लस" में क्यों बदला जाना चाहिए। अब गुणन की बात करते हैं।
(-C) x (-V)=D, आप व्यंजक में दो समान उत्पाद जोड़ और घटा सकते हैं, जिससे इसका मान नहीं बदलेगा: (-C) x (-V) + (C x V) - (सी एक्स वी)=डी.
कोष्ठक के साथ काम करने के नियमों को याद करते हुए, हमें मिलता है:
1) (-सी) एक्स (-वी) + (सी एक्स वी) + (-सी) एक्स वी=डी;
2) (-सी) एक्स ((-वी) + वी) + सी एक्स वी=डी;
3) (-सी) एक्स 0 + सी एक्स वी=डी;
4) सी एक्स वी=डी.
यह इस प्रकार है कि सी एक्स वी=(-सी) एक्स (-वी)।
इसी तरह, हम यह साबित कर सकते हैं कि दो ऋणात्मक संख्याओं को विभाजित करने पर एक धनात्मक संख्या प्राप्त होगी।
गणित के सामान्य नियम
बेशक, यह स्पष्टीकरण प्राथमिक विद्यालय के छात्रों के लिए उपयुक्त नहीं है जो अभी-अभी अमूर्त ऋणात्मक संख्याएँ सीखना शुरू कर रहे हैं। उनके लिए यह बेहतर है कि वे दिखने वाले कांच के माध्यम से परिचित शब्द में हेरफेर करते हुए, दृश्यमान वस्तुओं पर व्याख्या करें। उदाहरण के लिए, आविष्कार किए गए, लेकिन मौजूदा खिलौने वहां स्थित नहीं हैं। उन्हें "-" चिह्न के साथ प्रदर्शित किया जा सकता है। दो दिखने वाली काँच की वस्तुओं का गुणन उन्हें दूसरी दुनिया में स्थानांतरित कर देता है, जो वर्तमान के बराबर है, अर्थात, हमारे पास सकारात्मक संख्याएँ हैं। लेकिन एक अमूर्त ऋणात्मक संख्या को धनात्मक संख्या से गुणा करने पर ही सभी को परिचित परिणाम मिलता है। क्योंकि "प्लस""माइनस" से गुणा करने पर "माइनस" मिलता है। सच है, प्राथमिक विद्यालय की उम्र में, बच्चे वास्तव में सभी गणितीय बारीकियों को जानने की कोशिश नहीं करते हैं।
हालाँकि यदि आप सच्चाई का सामना करते हैं, तो कई लोगों के लिए, उच्च शिक्षा के साथ भी, कई नियम एक रहस्य बने रहते हैं। शिक्षक जो पढ़ाते हैं, उसे हर कोई मान लेता है, न कि उन सभी जटिलताओं में डूबने के लिए जो गणित से भरी हुई हैं। "माइनस" पर "माइनस" एक "प्लस" देता है - बिना किसी अपवाद के हर कोई इसके बारे में जानता है। यह पूर्णांकों और भिन्नात्मक संख्याओं दोनों के लिए सत्य है।
