साइन के व्युत्पन्न के साथ सादृश्य द्वारा कोसाइन का व्युत्पन्न पाया जाता है, प्रमाण का आधार फ़ंक्शन की सीमा की परिभाषा है। आप कोणों की कोज्या और ज्या के लिए त्रिकोणमितीय न्यूनीकरण सूत्रों का उपयोग करके दूसरी विधि का उपयोग कर सकते हैं। एक फ़ंक्शन को दूसरे के रूप में व्यक्त करें - कोसाइन के संदर्भ में, और एक जटिल तर्क के साथ साइन को अलग करें।
सूत्र निकालने के पहले उदाहरण पर विचार करें (Cos(x))'
फलन y=Cos(x) के तर्क x के लिए नगण्य रूप से छोटी वृद्धि Δx दें। तर्क х+Δх के एक नए मान के साथ, हम फ़ंक्शन Cos(х+Δх) का एक नया मान प्राप्त करते हैं। फिर फंक्शन इंक्रीमेंट Δy, Cos(х+Δx)-Cos(x) के बराबर होगा।
फंक्शन इंक्रीमेंट का Δх से अनुपात होगा: (Cos(х+Δx)-Cos(x)) /Δх. आइए परिणामी भिन्न के अंश में समान परिवर्तन करें। कोणों के कोज्या में अंतर के लिए सूत्र को याद करें, परिणाम उत्पाद -2Sin (Δx / 2) गुना पाप (x + Δx / 2) होगा। हम x पर इस उत्पाद के भागफल सीमा की सीमा पाते हैं क्योंकि x शून्य हो जाता है। ज्ञात हो कि प्रथम(इसे अद्भुत कहा जाता है) सीमा lim(Sin(Δx/2)/(Δx/2)) 1 के बराबर है, और सीमा -Sin(x+Δx/2) बराबर है -Sin(x) के रूप में Δx शून्य हो जाता है। परिणाम लिखिए: (Cos(x))' का अवकलज - sin(x) के बराबर है।
कुछ लोग समान सूत्र निकालने का दूसरा तरीका पसंद करते हैं
इसे त्रिकोणमिति के क्रम से जाना जाता है: Cos(x) sin(0, 5 -x) के बराबर है, इसी तरह Sin(x) बराबर Cos(0, 5 -x) है। फिर हम एक जटिल फलन - अतिरिक्त कोण की ज्या (कोसाइन x के बजाय) में अंतर करते हैं।
हमें गुणनफल Cos(0, 5 ∏-x) (0, 5 -x)' प्राप्त होता है, क्योंकि साइन एक्स का व्युत्पन्न कोसाइन एक्स के बराबर है। हम कोसाइन को ज्या से बदलने के दूसरे सूत्र Sin(x)=Cos(0.5 ∏-x) की ओर मुड़ते हैं, यह ध्यान में रखते हुए कि (0.5 -x)'=-1। अब हम प्राप्त करते हैं -Sin(x). तो, कोज्या का अवकलज पाया जाता है, y'=-Sin(x) फलन y=Cos(x) के लिए।
वर्ग कोसाइन व्युत्पन्न
आमतौर पर इस्तेमाल किया जाने वाला उदाहरण जहां कोसाइन व्युत्पन्न का उपयोग किया जाता है। फलन y=Cos2(x) कठिन है। हम पहले घातांक 2 के साथ घात फलन का अंतर ज्ञात करते हैं, यह 2·Cos(x) होगा, फिर हम इसे अवकलज (Cos(x))' से गुणा करते हैं, जो -Sin(x) के बराबर है। हमें y'=-2 Cos(x) sin(x) प्राप्त होता है। जब हम दोहरे कोण की ज्या Sin(2x) सूत्र लागू करते हैं, तो हमें अंतिम सरलीकृत प्राप्त होता हैउत्तर y'=-Sin(2x)
अतिशयोक्तिपूर्ण कार्य
उनका उपयोग कई तकनीकी विषयों के अध्ययन में किया जाता है: गणित में, उदाहरण के लिए, वे इंटीग्रल की गणना, अंतर समीकरणों के समाधान की सुविधा प्रदान करते हैं। उन्हें काल्पनिक के साथ त्रिकोणमितीय कार्यों के रूप में व्यक्त किया जाता हैतर्क, इसलिए अतिपरवलयिक कोज्या ch(x)=Cos(i x), जहां मैं काल्पनिक इकाई है, अतिपरवलयिक ज्या sh(x)=sin(i x).
हाइपरबॉलिक कोसाइन के व्युत्पन्न की गणना काफी सरलता से की जाती है।
फ़ंक्शन पर विचार करें y=(ex+e-x) /2, यह और अतिपरवलयिक कोज्या ch(x) है। हम दो व्यंजकों के योग का अवकलज ज्ञात करने के लिए नियम का प्रयोग करते हैं, अवकलज के चिह्न से अचर गुणनखंड (स्थिरांक) निकालने का नियम। दूसरा पद 0.5 e-x एक जटिल फलन है (इसका व्युत्पन्न -0.5 e-x है), 0.5 eх पहला कार्यकाल। (ch(x)) '=((ex+e-x)/2)' लिखा जा सकता है दूसरे तरीके से: (0, 5 ईx+0, 5 ई-x)'=0, 5 ई x-0, 5 e-x, क्योंकि व्युत्पन्न (e - x)' बराबर -1 गुना e-x। परिणाम एक अंतर है, और यह अतिपरवलयिक ज्या है sh(x).Output: (ch(x))'=sh(x).
आइए एक उदाहरण देखें कि कैसे फ़ंक्शन के व्युत्पन्न की गणना करें y=ch(x
3+1)। जटिल तर्क के साथ हाइपरबोलिक कोसाइन भेदभाव नियम के अनुसार y'=sh(x
3+1) (x 3+1)', कहा पे (x3+1)'=3 x 2+0. उत्तर: इस फ़ंक्शन का व्युत्पन्न 3 x2
sh(x3+1) है.
माना गया फलन का सारणीबद्ध अवकलज y=ch(x) और y=Cos(x)
उदाहरणों को हल करते समय उन्हें प्रस्तावित योजना के अनुसार हर बार अलग करने की आवश्यकता नहीं है, यह अनुमान का उपयोग करने के लिए पर्याप्त है।
उदाहरण। फलन y=. में अंतर कीजिएCos(x)+Cos2(-x)-Ch(5 x). गणना करने में आसान (सारणीबद्ध डेटा का उपयोग करें), y'=-Sin(x) +पाप(2 x)-5 श(5 x).
