गणितीय प्रश्नों का प्रयोग अनेक विज्ञानों में किया जाता है। इनमें न केवल भौतिकी, रसायन विज्ञान, इंजीनियरिंग और अर्थशास्त्र, बल्कि चिकित्सा, पारिस्थितिकी और अन्य विषय भी शामिल हैं। महत्वपूर्ण दुविधाओं के समाधान खोजने के लिए मास्टर करने के लिए एक महत्वपूर्ण अवधारणा एक फ़ंक्शन का व्युत्पन्न है। इसका भौतिक अर्थ समझाना बिल्कुल भी मुश्किल नहीं है क्योंकि यह मुद्दे के सार में एकतरफा लग सकता है। वास्तविक जीवन और सामान्य रोजमर्रा की स्थितियों में इसके उपयुक्त उदाहरण खोजने के लिए पर्याप्त है। वास्तव में, कोई भी मोटर चालक हर दिन एक समान कार्य का सामना करता है जब वह स्पीडोमीटर को देखता है, एक निश्चित समय के एक विशेष पल में अपनी कार की गति निर्धारित करता है। आखिरकार, यह इस पैरामीटर में है कि व्युत्पन्न के भौतिक अर्थ का सार निहित है।
गति कैसे पता करें
सड़क पर किसी व्यक्ति की गति निर्धारित करें, यात्रा की गई दूरी और यात्रा के समय को जानकर, कोई भी पांचवां ग्रेडर आसानी से कर सकता है। ऐसा करने के लिए, दिए गए मानों में से पहले को दूसरे से विभाजित किया जाता है। लेकिनप्रत्येक युवा गणितज्ञ यह नहीं जानता कि वह वर्तमान में किसी फलन के वेतन वृद्धि और तर्क का अनुपात ज्ञात कर रहा है। वास्तव में, यदि हम एक ग्राफ के रूप में गति की कल्पना करते हैं, y-अक्ष के साथ पथ की साजिश रचते हैं, और समय भुजंग के साथ, यह बिल्कुल ऐसा ही होगा।
हालाँकि, एक पैदल यात्री या किसी अन्य वस्तु की गति जो हम पथ के एक बड़े हिस्से पर निर्धारित करते हैं, आंदोलन को एक समान मानते हुए, अच्छी तरह से बदल सकता है। भौतिकी में गति के कई रूप हैं। यह न केवल एक निरंतर त्वरण के साथ किया जा सकता है, बल्कि धीमा और मनमाने तरीके से बढ़ सकता है। यह ध्यान दिया जाना चाहिए कि इस मामले में आंदोलन का वर्णन करने वाली रेखा अब सीधी रेखा नहीं होगी। ग्राफिक रूप से, यह सबसे जटिल कॉन्फ़िगरेशन ले सकता है। लेकिन ग्राफ़ के किसी भी बिंदु के लिए, हम हमेशा एक रैखिक फलन द्वारा निरूपित स्पर्श रेखा खींच सकते हैं।
समय के आधार पर विस्थापन परिवर्तन के पैरामीटर को स्पष्ट करने के लिए, मापा खंडों को छोटा करना आवश्यक है। जब वे असीम रूप से छोटे हो जाते हैं, तो गणना की गई गति तात्कालिक होगी। यह अनुभव हमें व्युत्पत्ति को परिभाषित करने में मदद करता है। इस तरह के तर्क से इसका भौतिक अर्थ भी तार्किक रूप से अनुसरण करता है।
ज्यामिति के संदर्भ में
यह ज्ञात है कि पिंड की गति जितनी अधिक होती है, समय पर विस्थापन की निर्भरता का ग्राफ उतना ही तेज होता है, और इसलिए एक निश्चित बिंदु पर स्पर्शरेखा के झुकाव का कोण होता है। ऐसे परिवर्तनों का सूचक x-अक्ष और स्पर्श रेखा के बीच के कोण की स्पर्श रेखा हो सकता है। यह केवल व्युत्पन्न का मूल्य निर्धारित करता है और लंबाई के अनुपात से गणना की जाती हैकिसी बिंदु से x-अक्ष पर गिराए गए लंब द्वारा बनाए गए समकोण त्रिभुज में आसन्न पैर के विपरीत।
यह प्रथम व्युत्पन्न का ज्यामितीय अर्थ है। भौतिक एक इस तथ्य में प्रकट होता है कि हमारे मामले में विपरीत पैर का मूल्य तय की गई दूरी है, और आसन्न एक समय है। उनका अनुपात गति है। और फिर से हम इस निष्कर्ष पर पहुंचते हैं कि तात्कालिक गति, निर्धारित की जाती है जब दोनों अंतराल असीम रूप से छोटे होते हैं, व्युत्पन्न की अवधारणा का सार है, जो इसके भौतिक अर्थ को दर्शाता है। इस उदाहरण में दूसरा व्युत्पन्न शरीर का त्वरण होगा, जो बदले में गति में परिवर्तन की दर को प्रदर्शित करता है।
भौतिकी में व्युत्पन्न खोजने के उदाहरण
व्युत्पन्न किसी भी फ़ंक्शन के परिवर्तन की दर का एक संकेतक है, तब भी जब हम शब्द के शाब्दिक अर्थ में आंदोलन के बारे में बात नहीं कर रहे हैं। इसे स्पष्ट रूप से प्रदर्शित करने के लिए, आइए कुछ ठोस उदाहरण लेते हैं। मान लीजिए कि वर्तमान ताकत, समय के आधार पर, निम्नलिखित कानून के अनुसार बदलती है: I=0, 4t2। प्रक्रिया के 8वें सेकंड के अंत में यह पैरामीटर जिस दर पर बदलता है उसका मान ज्ञात करना आवश्यक है। ध्यान दें कि वांछित मूल्य, जैसा कि समीकरण से आंका जा सकता है, लगातार बढ़ रहा है।
इसे हल करने के लिए, आपको पहले व्युत्पन्न को खोजने की जरूरत है, जिसका भौतिक अर्थ पहले माना जाता था। यहाँ dI / dt=0.8t। अगला, हम इसे t \u003d 8 पर पाते हैं, हम पाते हैं कि जिस दर पर वर्तमान शक्ति में परिवर्तन होता है वह 6.4 A / c है। यहाँ यह माना जाता है किकरंट को एम्पीयर में और समय को क्रमशः सेकंड में मापा जाता है।
सब कुछ बदल जाता है
द्रव्य से बना दृश्य आसपास का संसार उसमें होने वाली विभिन्न प्रक्रियाओं की गति में होने के कारण निरंतर परिवर्तन के दौर से गुजर रहा है। उनका वर्णन करने के लिए विभिन्न मापदंडों का उपयोग किया जा सकता है। यदि वे निर्भरता से एकजुट होते हैं, तो उन्हें गणितीय रूप से एक फ़ंक्शन के रूप में लिखा जाता है जो उनके परिवर्तनों को स्पष्ट रूप से दर्शाता है। और जहां गति होती है (किसी भी रूप में इसे व्यक्त किया जाता है), वहां एक व्युत्पन्न भी मौजूद होता है, जिसका भौतिक अर्थ इस समय हम विचार कर रहे हैं।
इस अवसर पर निम्न उदाहरण। मान लीजिए शरीर का तापमान नियम T=0, 2 t 2 के अनुसार बदलता है। आपको 10वें सेकंड के अंत में इसके गर्म होने की दर ज्ञात करनी चाहिए। समस्या को पिछले मामले में वर्णित तरीके से हल किया जाता है। यही है, हम व्युत्पन्न पाते हैं और इसमें t \u003d 10 के मान को प्रतिस्थापित करते हैं, हमें T \u003d 0, 4 t \u003d 4 मिलता है। इसका मतलब है कि अंतिम उत्तर 4 डिग्री प्रति सेकंड है, यानी हीटिंग प्रक्रिया और तापमान परिवर्तन, डिग्री में मापा जाता है, ठीक इतनी गति से होता है।
व्यावहारिक समस्याओं का समाधान
बेशक, वास्तविक जीवन में सैद्धांतिक समस्याओं की तुलना में सब कुछ बहुत अधिक जटिल है। व्यवहार में, मात्राओं का मूल्य आमतौर पर प्रयोग के दौरान निर्धारित किया जाता है। इस मामले में, ऐसे उपकरणों का उपयोग किया जाता है जो एक निश्चित त्रुटि के साथ माप के दौरान रीडिंग देते हैं। इसलिए, गणना में, किसी को मापदंडों के अनुमानित मूल्यों से निपटना पड़ता है और असुविधाजनक संख्याओं को गोल करने का सहारा लेना पड़ता है,साथ ही अन्य सरलीकरण। इसे ध्यान में रखते हुए, हम फिर से व्युत्पन्न के भौतिक अर्थ की समस्याओं पर आगे बढ़ेंगे, यह देखते हुए कि वे प्रकृति में होने वाली सबसे जटिल प्रक्रियाओं का केवल एक प्रकार का गणितीय मॉडल हैं।
ज्वालामुखी विस्फोट
मान लें कि एक ज्वालामुखी फटता है। वह कितना खतरनाक हो सकता है? इस प्रश्न का उत्तर देने के लिए, कई कारकों पर विचार करने की आवश्यकता है। हम उनमें से एक को समायोजित करने का प्रयास करेंगे।
"उग्र राक्षस" के मुंह से पत्थर लंबवत ऊपर की ओर फेंके जाते हैं, जिस क्षण से वे 120 मीटर/सेकेंड के बाहर निकलते हैं, प्रारंभिक गति होती है। यह गणना करना आवश्यक है कि वे अधिकतम ऊंचाई तक क्या पहुंच सकते हैं।
वांछित मान ज्ञात करने के लिए, हम अन्य मानों पर मीटर में मापी गई ऊँचाई H की निर्भरता के लिए एक समीकरण की रचना करेंगे। इनमें प्रारंभिक गति और समय शामिल हैं। त्वरण मान ज्ञात माना जाता है और लगभग 10 m/s2 के बराबर होता है।
आंशिक व्युत्पन्न
अब आइए किसी फ़ंक्शन के व्युत्पन्न के भौतिक अर्थ को थोड़ा अलग कोण से देखें, क्योंकि समीकरण में एक नहीं, बल्कि कई चर हो सकते हैं। उदाहरण के लिए, पिछली समस्या में, ज्वालामुखी के वेंट से निकाले गए पत्थरों की ऊंचाई की निर्भरता न केवल समय विशेषताओं में परिवर्तन से निर्धारित होती थी, बल्कि प्रारंभिक वेग के मूल्य से भी निर्धारित होती थी। उत्तरार्द्ध को एक स्थिर, निश्चित मूल्य माना जाता था। लेकिन अन्य कार्यों में पूरी तरह से अलग परिस्थितियों में, सब कुछ अलग हो सकता है। यदि मात्राएँ जिस पर सम्मिश्रफ़ंक्शन, कई, गणना नीचे दिए गए सूत्रों के अनुसार की जाती है।
अक्सर व्युत्पन्न का भौतिक अर्थ सामान्य मामले की तरह निर्धारित किया जाना चाहिए। यह वह दर है जिस पर चर के पैरामीटर बढ़ने पर किसी विशेष बिंदु पर फ़ंक्शन बदलता है। इसकी गणना इस तरह की जाती है कि अन्य सभी घटकों को स्थिरांक के रूप में लिया जाता है, केवल एक को चर माना जाता है। फिर सब कुछ सामान्य नियमों के अनुसार होता है।
कई मुद्दों पर अपरिहार्य सलाहकार
व्युत्पत्ति के भौतिक अर्थ को समझते हुए, जटिल और जटिल समस्याओं को हल करने के उदाहरण देना मुश्किल नहीं है, जिसमें इस तरह के ज्ञान से उत्तर मिल सकता है। यदि हमारे पास एक फ़ंक्शन है जो कार की गति के आधार पर ईंधन की खपत का वर्णन करता है, तो हम गणना कर सकते हैं कि बाद वाले के कौन से पैरामीटर गैसोलीन की खपत कम से कम होगी।
चिकित्सा में, आप अनुमान लगा सकते हैं कि डॉक्टर द्वारा बताई गई दवा पर मानव शरीर की प्रतिक्रिया कैसी होगी। दवा लेना विभिन्न शारीरिक मापदंडों को प्रभावित करता है। इनमें रक्तचाप, हृदय गति, शरीर के तापमान और बहुत कुछ में परिवर्तन शामिल हैं। ये सभी ली गई दवा की खुराक पर निर्भर करते हैं। ये गणना अनुकूल अभिव्यक्तियों और अवांछनीय दुर्घटनाओं दोनों में उपचार के पाठ्यक्रम की भविष्यवाणी करने में मदद करती हैं जो रोगी के शरीर में परिवर्तन को घातक रूप से प्रभावित कर सकती हैं।
निस्संदेह, तकनीकी में व्युत्पन्न के भौतिक अर्थ को समझना महत्वपूर्ण हैमुद्दों, विशेष रूप से इलेक्ट्रिकल इंजीनियरिंग, इलेक्ट्रॉनिक्स, डिजाइन और निर्माण में।
ब्रेकिंग दूरी
आइए अगली समस्या पर विचार करें। एक स्थिर गति से चलते हुए, पुल के पास आने वाली कार को प्रवेश द्वार से 10 सेकंड पहले धीमा करना पड़ा, क्योंकि चालक ने 36 किमी / घंटा से अधिक की गति से सड़क पर चलने पर रोक लगाने वाला एक संकेत देखा। क्या ड्राइवर ने नियमों का उल्लंघन किया है यदि ब्रेकिंग दूरी को सूत्र S=26t - t2 द्वारा वर्णित किया जा सकता है?
पहले व्युत्पन्न की गणना करते हुए, हम गति के लिए सूत्र पाते हैं, हमें v=28 – 2t मिलता है। अगला, मान t=10 को निर्दिष्ट व्यंजक में प्रतिस्थापित करें।
चूंकि यह मान सेकंड में व्यक्त किया गया था, गति 8 मीटर/सेकेंड है, जिसका अर्थ है 28.8 किमी/घंटा। इससे यह समझना संभव हो जाता है कि चालक ने समय पर धीमा करना शुरू कर दिया और यातायात नियमों का उल्लंघन नहीं किया, और इसलिए गति संकेत पर इंगित सीमा।
यह व्युत्पत्ति के भौतिक अर्थ के महत्व को सिद्ध करता है। इस समस्या को हल करने का एक उदाहरण जीवन के विभिन्न क्षेत्रों में इस अवधारणा के उपयोग की व्यापकता को दर्शाता है। रोज़मर्रा की स्थितियों में शामिल।
अर्थशास्त्र में व्युत्पन्न
19वीं शताब्दी तक, अर्थशास्त्री ज्यादातर औसत पर काम करते थे, चाहे वह श्रम उत्पादकता हो या उत्पादन की कीमत। लेकिन कुछ बिंदु से, इस क्षेत्र में प्रभावी पूर्वानुमान लगाने के लिए मूल्यों को सीमित करना अधिक आवश्यक हो गया। इनमें सीमांत उपयोगिता, आय या लागत शामिल हैं। इसे समझने से आर्थिक अनुसंधान में एक पूरी तरह से नए उपकरण के निर्माण को प्रोत्साहन मिला,जो सौ से अधिक वर्षों से अस्तित्व में है और विकसित हुई है।
ऐसी गणना करने के लिए, जहां न्यूनतम और अधिकतम जैसी अवधारणाएं प्रबल होती हैं, व्युत्पन्न के ज्यामितीय और भौतिक अर्थ को समझना आवश्यक है। इन विषयों के सैद्धांतिक आधार के रचनाकारों में, ऐसे प्रमुख अंग्रेजी और ऑस्ट्रियाई अर्थशास्त्रियों को यूएस जेवन्स, के। मेंगर और अन्य के रूप में नामित किया जा सकता है। बेशक, आर्थिक गणना में मूल्यों को सीमित करना हमेशा उपयोग करने के लिए सुविधाजनक नहीं होता है। और, उदाहरण के लिए, त्रैमासिक रिपोर्ट जरूरी नहीं कि मौजूदा योजना में फिट हो, लेकिन फिर भी, कई मामलों में इस तरह के सिद्धांत का प्रयोग उपयोगी और प्रभावी होता है।
