लोगों ने तुरंत गिनना नहीं सीखा। आदिम समाज वस्तुओं की एक छोटी संख्या पर केंद्रित था - एक या दो। इससे अधिक कुछ भी डिफ़ॉल्ट रूप से "कई" नाम दिया गया था। इसे ही आधुनिक संख्या प्रणाली की शुरुआत माना जाता है।
संक्षिप्त ऐतिहासिक पृष्ठभूमि
सभ्यता के विकास की प्रक्रिया में, लोगों को वस्तुओं के छोटे संग्रह को अलग करने की आवश्यकता होने लगी, जो सामान्य विशेषताओं से एकजुट थे। संबंधित अवधारणाएं दिखाई देने लगीं: "तीन", "चार" और इसी तरह "सात" तक। हालांकि, यह एक बंद, सीमित श्रृंखला थी, अंतिम अवधारणा जिसमें पहले के "कई" के शब्दार्थ भार को जारी रखा गया था। इसका एक ज्वलंत उदाहरण लोककथा है जो अपने मूल रूप में हमारे सामने आई है (उदाहरण के लिए, कहावत "सात बार मापें - एक बार काटें")।
गणना के जटिल तरीकों का उदय
समय के साथ, जीवन और लोगों की गतिविधियों की सभी प्रक्रियाएं और अधिक जटिल होती गईं। यह, बदले में, एक अधिक जटिल प्रणाली के उद्भव का कारण बनाकलन उसी समय, लोगों ने अभिव्यक्ति की स्पष्टता के लिए सबसे सरल गिनती के उपकरणों का इस्तेमाल किया। उन्होंने उन्हें अपने आस-पास पाया: उन्होंने गुफा की दीवारों पर तात्कालिक साधनों के साथ छड़ें बनाईं, नुकीले बनाए, उन संख्याओं को रखा जो उन्हें लाठी और पत्थरों से पसंद थीं - यह उस समय मौजूद विविधता की एक छोटी सूची है। भविष्य में, आधुनिक वैज्ञानिकों ने इस प्रजाति को एक अनूठा नाम "यूनरी कैलकुलस" दिया। इसका सार एक ही प्रकार के चिन्ह का उपयोग करके एक संख्या लिखना है। आज यह सबसे सुविधाजनक प्रणाली है जो आपको वस्तुओं और संकेतों की संख्या की तुलना करने की अनुमति देती है। उसे स्कूलों के प्राथमिक ग्रेड (लाठी गिनने) में सबसे बड़ा वितरण मिला। "कंकड़ खाते" की विरासत को उनके विभिन्न संशोधनों में सुरक्षित रूप से आधुनिक उपकरण माना जा सकता है। आधुनिक शब्द "गणना" का उद्भव भी दिलचस्प है, जिसकी जड़ें लैटिन कैलकुलस से आती हैं, जिसका अनुवाद केवल "कंकड़" के रूप में होता है।
उंगलियों पर गिनना
आदिम मनुष्य की अत्यंत खराब शब्दावली की स्थितियों में, इशारों को अक्सर प्रेषित जानकारी के लिए एक महत्वपूर्ण जोड़ के रूप में कार्य किया जाता है। उंगलियों का लाभ उनकी बहुमुखी प्रतिभा में और उस वस्तु के साथ लगातार रहने में था जो जानकारी देना चाहता था। हालांकि, महत्वपूर्ण कमियां भी हैं: एक महत्वपूर्ण सीमा और संचरण की छोटी अवधि। इसलिए, "उंगली विधि" का उपयोग करने वाले लोगों की पूरी संख्या उन संख्याओं तक सीमित थी जो उंगलियों की संख्या के गुणक हैं: 5 - एक हाथ पर उंगलियों की संख्या से मेल खाती है; 10 - दोनों हाथों पर; 20 - की कुल संख्याहाथ और पैर। संख्यात्मक भंडार के अपेक्षाकृत धीमी गति से विकास के कारण, यह प्रणाली काफी लंबे समय से अस्तित्व में है।
पहला सुधार
संख्या प्रणाली के विकास और मानव जाति की संभावनाओं और जरूरतों के विस्तार के साथ, कई राष्ट्रों की संस्कृतियों में अधिकतम उपयोग की जाने वाली संख्या 40 थी। इसका अर्थ अनिश्चित (अगणनीय) राशि भी था। रूस में, अभिव्यक्ति "चालीस चालीस" का व्यापक रूप से उपयोग किया गया था। इसका अर्थ उन वस्तुओं की संख्या तक कम कर दिया गया था जिन्हें गिना नहीं जा सकता। विकास का अगला चरण 100 की संख्या का प्रकटन है। फिर दहाई में विभाजन शुरू हुआ। इसके बाद, संख्याएँ 1000, 10,000 और इसी तरह दिखाई देने लगीं, जिनमें से प्रत्येक ने सात और चालीस के समान सिमेंटिक लोड किया। आधुनिक दुनिया में, अंतिम खाते की सीमाओं को परिभाषित नहीं किया गया है। आज तक, "अनंत" की सार्वभौमिक अवधारणा पेश की गई है।
पूर्णांक और भिन्नात्मक संख्याएं
आधुनिक कलन प्रणाली सबसे छोटी संख्या के लिए एक लेती है। ज्यादातर मामलों में, यह एक अविभाज्य मूल्य है। हालांकि, अधिक सटीक माप के साथ, यह कुचल भी जाता है। यह इसके साथ है कि विकास के एक निश्चित चरण में दिखाई देने वाली भिन्नात्मक संख्या की अवधारणा जुड़ी हुई है। उदाहरण के लिए, बेबीलोन की मुद्रा प्रणाली (वजन) 60 मिनट की थी, जो 1 तालन के बराबर थी। बदले में, 1 मिनट 60 शेकेल के बराबर था। इसी के आधार पर बेबीलोन के गणित ने व्यापक रूप से सेक्जैसिमल विभाजन का प्रयोग किया। रूस में व्यापक रूप से उपयोग किए जाने वाले अंश हमारे पास आएप्राचीन यूनानियों और भारतीयों से। साथ ही, रिकॉर्ड स्वयं भारतीय लोगों के समान हैं। थोड़ा सा अंतर उत्तरार्द्ध में एक भिन्नात्मक रेखा की अनुपस्थिति है। यूनानियों ने अंश को ऊपर और हर को नीचे लिखा था। अंशों को लिखने का भारतीय संस्करण एशिया और यूरोप में व्यापक रूप से विकसित हुआ था, दो वैज्ञानिकों के लिए धन्यवाद: खोरेज़म के मुहम्मद और लियोनार्डो फिबोनाची। कैलकुलस की रोमन प्रणाली ने 12 इकाइयों की बराबरी की, जिन्हें औंस कहा जाता है, क्रमशः एक पूरे (1 गधा) के बराबर, ग्रहणी अंश सभी गणनाओं का आधार थे। आम तौर पर स्वीकृत लोगों के साथ, विशेष डिवीजनों का भी अक्सर उपयोग किया जाता था। उदाहरण के लिए, 17वीं शताब्दी तक, खगोलविदों ने तथाकथित सेक्सजेसिमल अंशों का उपयोग किया था, जिन्हें बाद में दशमलव अंशों द्वारा बदल दिया गया था (साइमन स्टीविन, एक वैज्ञानिक-इंजीनियर द्वारा पेश किया गया)। मानव जाति की आगे की प्रगति के परिणामस्वरूप, संख्या श्रृंखला के और भी अधिक महत्वपूर्ण विस्तार की आवश्यकता उत्पन्न हुई। इस प्रकार ऋणात्मक, अपरिमेय और सम्मिश्र संख्याएँ प्रकट हुईं। परिचित शून्य अपेक्षाकृत हाल ही में दिखाई दिया। इसका उपयोग तब किया जाने लगा जब आधुनिक कलन प्रणाली में ऋणात्मक संख्याओं को शामिल किया गया।
एक गैर-स्थितीय वर्णमाला का उपयोग करना
यह अक्षर क्या है? गणना की इस प्रणाली के लिए, यह विशेषता है कि संख्याओं का अर्थ उनकी व्यवस्था से नहीं बदलता है। एक गैर-स्थितीय वर्णमाला को असीमित संख्या में तत्वों की उपस्थिति की विशेषता है। इस प्रकार के वर्णमाला के आधार पर निर्मित प्रणालियाँ योगात्मकता के सिद्धांत पर आधारित होती हैं। दूसरे शब्दों में, किसी संख्या के कुल मूल्य में उन सभी अंकों का योग होता है जिनमें प्रविष्टि शामिल होती है।गैर-स्थितीय प्रणालियों का उद्भव स्थितीय प्रणालियों की तुलना में पहले हुआ। गणना पद्धति के आधार पर, किसी संख्या के कुल मान को संख्या बनाने वाले सभी अंकों के अंतर या योग के रूप में परिभाषित किया जाता है।
ऐसी प्रणालियों में कमियां हैं। उनमें से मुख्य पर प्रकाश डाला जाना चाहिए:
- बड़ी संख्या बनाते समय नए नंबर पेश करना;
- नकारात्मक और भिन्नात्मक संख्याओं को प्रतिबिंबित करने में असमर्थता;
- अंकगणितीय संचालन करने की जटिलता।
मानवता के इतिहास में गणना की विभिन्न प्रणालियों का उपयोग किया जाता था। सबसे प्रसिद्ध हैं: ग्रीक, रोमन, वर्णमाला, यूनरी, प्राचीन मिस्र, बेबीलोनियाई।
गणना के सबसे आम तरीकों में से एक
रोमन अंक, जो आज तक लगभग अपरिवर्तित है, सबसे प्रसिद्ध में से एक है। इसकी सहायता से वर्षगाँठ सहित विभिन्न तिथियों का संकेत दिया जाता है। इसे साहित्य, विज्ञान और जीवन के अन्य क्षेत्रों में भी व्यापक आवेदन मिला है। रोमन कलन में, लैटिन वर्णमाला के केवल सात अक्षरों का उपयोग किया जाता है, जिनमें से प्रत्येक एक निश्चित संख्या से मेल खाता है: I=1; वी=5; एक्स=10; एल=50; सी=100; डी=500; एम=1000.
उठना
रोमन अंकों की उत्पत्ति स्पष्ट नहीं है, इतिहास ने उनके स्वरूप के सटीक आंकड़ों को संरक्षित नहीं किया है। इसी समय, तथ्य निस्संदेह है: रोमन नंबरिंग पर क्विनरी नंबरिंग सिस्टम का महत्वपूर्ण प्रभाव पड़ा। हालाँकि, लैटिन में इसका कोई उल्लेख नहीं है। इस आधार पर उनके प्राचीन रोमवासियों द्वारा उधार लिए जाने के बारे में एक परिकल्पना उत्पन्न हुईदूसरे लोगों के सिस्टम (संभवतः इट्रस्केन्स)।
विशेषताएं
सभी पूर्णांकों (5000 तक) का लेखन ऊपर वर्णित संख्याओं को दोहराकर किया जाता है। मुख्य विशेषता संकेतों का स्थान है:
- जोड़ इस शर्त के तहत होता है कि बड़ा वाला छोटे से पहले आता है (XI=11);
- घटाव तब होता है जब छोटा अंक बड़े अंक (IX=9) से पहले आता है;
- एक ही वर्ण लगातार तीन बार से अधिक नहीं हो सकता (उदाहरण के लिए, 90 को LXXXX के बजाय XC लिखा जाता है)।
इसका नुकसान अंकगणितीय संचालन करने की असुविधा है। साथ ही, यह काफी लंबे समय तक अस्तित्व में रहा और यूरोप में अपेक्षाकृत हाल ही में - 16 वीं शताब्दी में गणना की मुख्य प्रणाली के रूप में उपयोग करना बंद कर दिया गया।
रोमन अंक प्रणाली को बिल्कुल गैर-स्थितीय नहीं माना जाता है। यह इस तथ्य के कारण है कि कुछ मामलों में बड़ी संख्या से छोटी संख्या घटा दी जाती है (उदाहरण के लिए, IX=9)।
प्राचीन मिस्र में गिनती की विधि
ईसा पूर्व तीसरी सहस्राब्दी को प्राचीन मिस्र में संख्या प्रणाली के उद्भव का क्षण माना जाता है। इसका सार संख्या 1, 10, 102, 104, 105, 106, 107 को विशेष वर्णों के साथ लिखना था। अन्य सभी संख्याओं को इन मूल वर्णों के संयोजन के रूप में लिखा गया था। उसी समय, एक प्रतिबंध था - प्रत्येक अंक को नौ बार से अधिक नहीं दोहराया जाना था। गिनती की यह विधि, जिसे आधुनिक वैज्ञानिक "गैर-स्थितीय दशमलव प्रणाली" कहते हैं, एक सरल सिद्धांत पर आधारित है। इसका अर्थ यह है कि लिखित संख्याउन सभी अंकों के योग के बराबर था जिनमें यह शामिल था।
यूनरी काउंटिंग मेथड
वह संख्या प्रणाली जिसमें संख्या लिखते समय एक चिह्न - I - का प्रयोग किया जाता है, एकात्मक कहलाती है। प्रत्येक बाद की संख्या पिछले एक में एक नया I जोड़कर प्राप्त की जाती है। इसके अलावा, ऐसे I की संख्या उनके साथ लिखी गई संख्या के मान के बराबर है।
अष्टक संख्या प्रणाली
यह संख्या 8 के आधार पर स्थितीय गणना पद्धति है। 0 से 7 तक संख्याएं प्रदर्शित की जाती हैं। इस प्रणाली का व्यापक रूप से डिजिटल उपकरणों के उत्पादन और उपयोग में उपयोग किया जाता है। इसका मुख्य लाभ संख्याओं का आसान अनुवाद है। उन्हें बाइनरी और इसके विपरीत में परिवर्तित किया जा सकता है। ये जोड़तोड़ संख्याओं के प्रतिस्थापन के कारण किए जाते हैं। ऑक्टल सिस्टम से, उन्हें बाइनरी ट्रिपल में बदल दिया जाता है (उदाहरण के लिए, 28=0102, 68=1102)। यह गणना पद्धति कंप्यूटर उत्पादन और प्रोग्रामिंग के क्षेत्र में व्यापक थी।
हेक्साडेसिमल नंबर सिस्टम
हाल ही में, कंप्यूटर क्षेत्र में, गिनती की इस पद्धति का काफी सक्रिय रूप से उपयोग किया जाता है। इस प्रणाली का मूल आधार - 16 है। इस पर आधारित कलन में 0 से 9 तक की संख्याओं और लैटिन वर्णमाला के कई अक्षरों (ए से एफ तक) का उपयोग शामिल है, जो 1010 से अंतराल को इंगित करने के लिए उपयोग किया जाता है। 1510 तक। गणना की यह विधि, जैसा कि यह पहले ही नोट किया जा चुका है कि इसका उपयोग कंप्यूटर और उनके घटकों से संबंधित सॉफ्टवेयर और प्रलेखन के उत्पादन में किया जाता है। यह गुणों पर आधारित हैआधुनिक कंप्यूटर, जिसकी मूल इकाई 8-बिट मेमोरी है। दो हेक्साडेसिमल अंकों का उपयोग करके इसे रूपांतरित करना और लिखना सुविधाजनक है। इस प्रक्रिया का अग्रणी आईबीएम/360 सिस्टम था। इसके लिए प्रलेखन का पहली बार इस तरह अनुवाद किया गया था। यूनिकोड मानक कम से कम 4 अंकों का उपयोग करके किसी भी वर्ण को हेक्साडेसिमल रूप में लिखने का प्रावधान करता है।
लिखने के तरीके
गणना पद्धति का गणितीय डिजाइन इसे दशमलव प्रणाली में एक सबस्क्रिप्ट में निर्दिष्ट करने पर आधारित है। उदाहरण के लिए, संख्या 1444 को 144410 लिखा जाता है। हेक्साडेसिमल सिस्टम लिखने के लिए प्रोग्रामिंग भाषाओं में अलग-अलग सिंटैक्स होते हैं:
- सी और जावा भाषाओं में "0x" उपसर्ग का प्रयोग करें;
- एडा और वीएचडीएल में निम्नलिखित मानक लागू होते हैं - "15165ए3";
- असेंबलर "h" अक्षर का उपयोग करते हैं, जो संख्या ("6A2h") या उपसर्ग "$" के बाद रखा जाता है, जो AT&T, Motorola, Pascal ("$6B2") के लिए विशिष्ट है;
- "6A2", संयोजन "&h" जैसी प्रविष्टियां भी हैं, जिन्हें संख्या ("&h5A3") और अन्य से पहले रखा गया है।
निष्कर्ष
कैलकुलस सिस्टम का अध्ययन कैसे किया जाता है? सूचना विज्ञान मुख्य अनुशासन है जिसके भीतर डेटा का संचय किया जाता है, उपभोग के लिए सुविधाजनक रूप में उनके पंजीकरण की प्रक्रिया। विशेष उपकरणों के उपयोग के साथ, सभी उपलब्ध जानकारी को एक प्रोग्रामिंग भाषा में डिज़ाइन और अनुवादित किया जाता है। बाद में इसका उपयोग के लिए किया जाता हैसॉफ्टवेयर और कंप्यूटर प्रलेखन का निर्माण। कलन की विभिन्न प्रणालियों का अध्ययन करते हुए, कंप्यूटर विज्ञान में, जैसा कि ऊपर उल्लेख किया गया है, विभिन्न उपकरणों का उपयोग शामिल है। उनमें से कई संख्याओं के त्वरित अनुवाद के कार्यान्वयन में योगदान करते हैं। इन "टूल्स" में से एक कैलकुलस सिस्टम की तालिका है। इसे इस्तेमाल करना काफी सुविधाजनक है। उदाहरण के लिए, इन तालिकाओं का उपयोग करके, आप विशेष वैज्ञानिक ज्ञान के बिना किसी संख्या को हेक्साडेसिमल सिस्टम से बाइनरी में त्वरित रूप से परिवर्तित कर सकते हैं। आज, इसमें रुचि रखने वाले लगभग हर व्यक्ति के पास डिजिटल परिवर्तन करने का अवसर है, क्योंकि उपयोगकर्ताओं को आवश्यक उपकरण खुले संसाधनों पर पेश किए जाते हैं। इसके अलावा, ऑनलाइन अनुवाद कार्यक्रम भी हैं। यह संख्याओं को परिवर्तित करने के कार्य को बहुत सरल करता है और संचालन के समय को कम करता है।
