नंबर सिस्टम - यह क्या है? इस प्रश्न का उत्तर जाने बिना भी, हम में से प्रत्येक अपने जीवन में अनैच्छिक रूप से संख्या प्रणाली का उपयोग करता है और इस पर संदेह नहीं करता है। यह सही है, बहुवचन! यानी एक नहीं, बल्कि कई। गैर-स्थितीय संख्या प्रणालियों का उदाहरण देने से पहले, आइए इस मुद्दे को समझते हैं, आइए स्थितीय प्रणालियों के बारे में भी बात करते हैं।
चालान की आवश्यकता
प्राचीन काल से, लोगों को गिनती की आवश्यकता थी, अर्थात, उन्होंने सहज रूप से महसूस किया कि उन्हें किसी तरह चीजों और घटनाओं की मात्रात्मक दृष्टि व्यक्त करने की आवश्यकता है। मस्तिष्क ने सुझाव दिया कि गिनने के लिए वस्तुओं का उपयोग करना आवश्यक था। उंगलियां हमेशा सबसे सुविधाजनक रही हैं, और यह समझ में आता है, क्योंकि वे हमेशा उपलब्ध हैं (दुर्लभ अपवादों के साथ)।
इसलिए मानव जाति के प्राचीन प्रतिनिधियों को अपनी उंगलियों को शाब्दिक अर्थों में मोड़ना पड़ा - उदाहरण के लिए मारे गए मैमथ की संख्या को इंगित करने के लिए। खाते के ऐसे तत्वों के नाम अभी तक नहीं थे, बल्कि केवल एक दृश्य चित्र, एक तुलना थी।
आधुनिक स्थितीय संख्या प्रणाली
संख्या प्रणाली कुछ संकेतों (प्रतीकों या अक्षरों) का उपयोग करके मात्रात्मक मूल्यों और मात्राओं का प्रतिनिधित्व करने की एक विधि (तरीका) है।
गैर-स्थितीय संख्या प्रणालियों का उदाहरण देने से पहले यह समझना आवश्यक है कि गणना में स्थितीय और गैर-स्थितीय क्या है। कई स्थितीय संख्या प्रणालियां हैं। अब ज्ञान के विभिन्न क्षेत्रों में निम्नलिखित का उपयोग किया जाता है: बाइनरी (केवल दो महत्वपूर्ण तत्व शामिल हैं: 0 और 1), हेक्साडेसिमल (वर्णों की संख्या - 6), अष्टाधारी (वर्ण - 8), ग्रहणी (बारह वर्ण), हेक्साडेसिमल (सोलह शामिल हैं) पात्र)। इसके अलावा, सिस्टम में वर्णों की प्रत्येक पंक्ति शून्य से शुरू होती है। आधुनिक कंप्यूटर प्रौद्योगिकियां बाइनरी कोड - बाइनरी पोजिशनल नंबर सिस्टम के उपयोग पर आधारित हैं।
दशमलव संख्या प्रणाली
स्थिति अलग-अलग डिग्री के लिए महत्वपूर्ण पदों की उपस्थिति है, जिस पर संख्या के संकेत स्थित हैं। इसे दशमलव संख्या प्रणाली के उदाहरण का उपयोग करके सर्वोत्तम रूप से प्रदर्शित किया जा सकता है। आखिर हम बचपन से ही इसका इस्तेमाल करने के आदी हैं। इस प्रणाली में दस संकेत हैं: 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9. संख्या 327 लें। इसके तीन संकेत हैं: 3, 2, 7। उनमें से प्रत्येक में स्थित है अपनी स्थिति (स्थान)। सात एकल मानों (इकाइयों), दो - दहाई, और तीन - सैकड़ों के लिए आरक्षित स्थिति लेता है। चूंकि संख्या तीन अंकों की है, इसलिए इसमें केवल तीन स्थान हैं।
उपरोक्त के आधार पर, यहतीन अंकों की दशमलव संख्या को इस प्रकार वर्णित किया जा सकता है: तीन सौ, दो दहाई और सात इकाइयाँ। इसके अलावा, पदों का महत्व (महत्व) बाएं से दाएं, कमजोर स्थिति (एक) से मजबूत स्थिति (सैकड़ों) तक गिना जाता है।
हम दशमलव स्थितीय संख्या प्रणाली में बहुत सहज महसूस करते हैं। हमारे हाथों पर दस उंगलियां होती हैं, और हमारे पैरों में भी यही होती है। फाइव प्लस फाइव - तो, उंगलियों के लिए धन्यवाद, हम आसानी से बचपन से एक दर्जन की कल्पना करते हैं। इसलिए बच्चों के लिए पांच और दस की गुणन सारणी सीखना आसान है। और यह सीखना भी इतना आसान है कि बैंकनोटों को कैसे गिनना है, जो अक्सर पांच और दस से गुणा (अर्थात, शेष के बिना विभाजित) होते हैं।
अन्य पोजिशनल नंबर सिस्टम
कई लोगों को आश्चर्य होता है कि दशमलव गणना प्रणाली में ही नहीं, हमारा मस्तिष्क कुछ गणना करने का आदी है। अब तक, मानव जाति छह और डुओडेसिमल संख्या प्रणालियों का उपयोग कर रही है। अर्थात्, ऐसी प्रणाली में केवल छह वर्ण होते हैं (हेक्साडेसिमल में): 0, 1, 2, 3, 4, 5। ग्रहणी में बारह होते हैं: 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, ए, बी, जहां ए - संख्या 10 को दर्शाता है, बी - संख्या 11 (चूंकि संकेत एक होना चाहिए)।
अपने लिए जज करें। हम छक्कों में समय गिनते हैं, है ना? एक घंटा साठ मिनट (छः दहाई) है, एक दिन चौबीस घंटे (दो गुना बारह) है, एक वर्ष बारह महीने है, और इसी तरह … सभी समय अंतराल आसानी से छह- और ग्रहणी श्रृंखला में फिट होते हैं। लेकिन हम इसके इतने अभ्यस्त हैं कि समय गिनते समय हम इसके बारे में सोचते भी नहीं हैं।
नॉन-पोजिशनल नंबर सिस्टम। यूनरी
यह परिभाषित करना आवश्यक है कि यह क्या है - एक गैर-स्थितीय संख्या प्रणाली। यह एक ऐसी संकेत प्रणाली है जिसमें किसी संख्या के संकेतों के लिए कोई स्थिति नहीं होती है, या किसी संख्या को "पढ़ने" का सिद्धांत स्थिति पर निर्भर नहीं करता है। लिखने या गणना करने के भी इसके अपने नियम हैं।
आइए गैर-स्थितीय संख्या प्रणालियों के उदाहरण देते हैं। आइए पुरातनता पर वापस जाएं। लोगों को एक खाते की आवश्यकता थी और सबसे सरल आविष्कार - समुद्री मील के साथ आए। गैर-स्थितीय संख्या प्रणाली गांठदार है। एक वस्तु (चावल का एक थैला, एक बैल, एक घास का ढेर, आदि) गिना जाता था, उदाहरण के लिए, खरीदते या बेचते समय, और एक धागे पर एक गाँठ बांधा।
परिणामस्वरूप, रस्सी पर जितनी गांठें बन गईं, उतनी ही चावल की बोरियां खरीदी गईं (उदाहरण के तौर पर)। लेकिन यह लकड़ी की छड़ी, पत्थर की पटिया आदि पर भी निशान हो सकता है। ऐसी संख्या प्रणाली को नोडुलर के रूप में जाना जाने लगा। उसका दूसरा नाम है - यूनरी, या सिंगल (लैटिन में "अनो" का अर्थ है "एक")।
यह स्पष्ट हो जाता है कि यह संख्या प्रणाली गैर-स्थितीय है। आखिर हम किस तरह की स्थिति के बारे में बात कर सकते हैं जब यह (स्थिति) केवल एक ही हो! अजीब तरह से, पृथ्वी के कुछ हिस्सों में, एकात्मक गैर-स्थितीय संख्या प्रणाली अभी भी उपयोग में है।
इसके अलावा, गैर-स्थितीय संख्या प्रणाली में शामिल हैं:
- रोमन (संख्या लिखने के लिए अक्षरों का उपयोग किया जाता है - लैटिन वर्ण);
- प्राचीन मिस्र (रोमन के समान, प्रतीकों का भी उपयोग किया जाता था);
- वर्णमाला (वर्णमाला के अक्षरों का इस्तेमाल किया गया था);
- बेबीलोनियन (क्यूनिफॉर्म - सीधे इस्तेमाल किया गया औरउलटा "पच्चर");
- ग्रीक (जिसे वर्णमाला भी कहा जाता है)।
रोमन अंक प्रणाली
प्राचीन रोमन साम्राज्य के साथ-साथ इसका विज्ञान भी बहुत प्रगतिशील था। रोमनों ने दुनिया को विज्ञान और कला के कई उपयोगी आविष्कार दिए, जिसमें उनकी गिनती प्रणाली भी शामिल थी। दो सौ साल पहले, रोमन अंकों का उपयोग व्यावसायिक दस्तावेजों में राशियों को दर्शाने के लिए किया जाता था (इस प्रकार जालसाजी से बचा जाता था)।
रोमन अंक एक गैर-स्थितीय संख्या प्रणाली का एक उदाहरण है, हम इसे अब जानते हैं। इसके अलावा, रोमन प्रणाली का सक्रिय रूप से उपयोग किया जाता है, लेकिन गणितीय गणना के लिए नहीं, बल्कि संकीर्ण रूप से केंद्रित कार्यों के लिए। उदाहरण के लिए, रोमन संख्याओं की सहायता से, ऐतिहासिक तिथियों, सदियों, खंडों की संख्या, अनुभागों और अध्यायों को पुस्तक प्रकाशनों में निर्दिष्ट करने की प्रथा है। घड़ी के डायल को सजाने के लिए अक्सर रोमन चिन्हों का उपयोग किया जाता है। और रोमन अंक भी एक गैर-स्थितीय संख्या प्रणाली का एक उदाहरण है।
रोमियों ने संख्याओं को लैटिन अक्षरों से निरूपित किया। इसके अलावा, उन्होंने कुछ नियमों के अनुसार संख्याएँ लिखीं। रोमन अंक प्रणाली में प्रमुख प्रतीकों की एक सूची है, जिसकी सहायता से सभी संख्याओं को बिना किसी अपवाद के लिखा जाता था।
| संख्या (दशमलव) | रोमन अंक (लैटिन वर्णमाला का अक्षर) |
| 1 | मैं |
| 5 | वी |
| 10 | एक्स |
| 50 | एल |
| 100 | सी |
| 500 | डी |
| 1000 | एम |
संख्या लिखने के नियम
चिह्नों (लैटिन अक्षरों) को जोड़कर और उनके योग की गणना करके आवश्यक संख्या प्राप्त की गई थी। आइए विचार करें कि रोमन प्रणाली में संकेतों को प्रतीकात्मक रूप से कैसे लिखा जाता है और उन्हें कैसे "पढ़ा" जाना चाहिए। आइए रोमन गैर-स्थितीय संख्या प्रणाली में संख्या निर्माण के मुख्य नियमों की सूची बनाएं।
- संख्या चार - IV, में दो वर्ण होते हैं (I, V - एक और पांच)। यह छोटे चिन्ह को बड़े से घटाकर प्राप्त किया जाता है यदि यह बाईं ओर है। जब छोटा चिन्ह दाईं ओर स्थित होता है, तो आपको जोड़ने की आवश्यकता होती है, फिर आपको संख्या छह - VI मिलती है।
- एक दूसरे के बगल में दो समान चिन्ह जोड़ना आवश्यक है। उदाहरण के लिए: SS 200 है (C 100 है), या XX 20 है।
- यदि किसी संख्या का पहला चिन्ह दूसरे से छोटा है, तो इस पंक्ति में तीसरा वर्ण एक ऐसा वर्ण हो सकता है जिसका मान पहले से भी कम हो। भ्रम से बचने के लिए, यहां एक उदाहरण दिया गया है: सीडीएक्स - 410 (दशमलव में)।
- कुछ बड़ी संख्याओं को अलग-अलग तरीकों से निरूपित किया जा सकता है, जो कि रोमन गणना प्रणाली की कमियों में से एक है। यहां कुछ उदाहरण दिए गए हैं: एमवीएम (रोमन)=1000 + (1000 - 5)=1995 (दशमलव) या एमडीवीडी=1000 + 500 + (500 - 5)=1995. और इतना ही नहीं।
अंकगणित के गुर
नॉन-पोज़िशनल नंबर सिस्टम कभी-कभी संख्याओं के निर्माण, उनके प्रसंस्करण (उन पर कार्रवाई) के लिए नियमों का एक जटिल सेट होता है। गैर-स्थितीय संख्या प्रणालियों में अंकगणितीय संचालन आसान नहीं हैआधुनिक लोगों के लिए। हम प्राचीन रोमन गणितज्ञों से ईर्ष्या नहीं करते!
जोड़ने का उदाहरण। आइए दो संख्याओं को जोड़ने का प्रयास करें: XIX + XXVI=XXXV, यह कार्य दो चरणों में किया जाता है:
- पहले - संख्याओं के छोटे अंश लें और जोड़ें: IX + VI=XV (मैं वी के बाद और मैं एक्स से पहले एक दूसरे को "नष्ट" करता हूं)।
- दूसरा - दो संख्याओं के बड़े अंश जोड़ें: X + XX=XXX।
घटाव कुछ अधिक जटिल है। कम की जाने वाली संख्या को उसके घटक तत्वों में विभाजित किया जाना चाहिए, और फिर डुप्लिकेट किए गए वर्णों को कम करने और घटाने के लिए संख्या में घटाया जाना चाहिए। 500 में से 263 घटाएं:
D - CCLXIII=CCCCLXXXXVIIIIII - CCLXIII=CCXXXVII।
रोमन अंक गुणन। वैसे, यह उल्लेख करना आवश्यक है कि रोमनों के पास अंकगणितीय संक्रियाओं के संकेत नहीं थे, उन्होंने बस उन्हें शब्दों से निरूपित किया।
गुणक के प्रत्येक व्यक्तिगत प्रतीक से गुणक संख्या को गुणा करना पड़ता था, जिसके परिणामस्वरूप कई उत्पादों को जोड़ा जाना था। इस प्रकार बहुपदों को गुणा किया जाता है।
विभाजन के लिए, रोमन अंक प्रणाली में यह प्रक्रिया सबसे कठिन थी और बनी हुई है। यहां प्राचीन रोमन अबेकस का उपयोग किया गया था। उसके साथ काम करने के लिए, लोगों को विशेष रूप से प्रशिक्षित किया गया था (और हर व्यक्ति इस तरह के विज्ञान में महारत हासिल करने में कामयाब नहीं हुआ)।
गैर-स्थितीय प्रणालियों के नुकसान पर
जैसा कि ऊपर उल्लेख किया गया है, गैर-स्थितीय संख्या प्रणालियों की अपनी कमियां हैं, उपयोग में असुविधाएं हैं। सरल गणना के लिए यूनरी काफी सरल है, लेकिन अंकगणित और जटिल गणना के लिए, यह नहीं हैकाफी अच्छा।
रोमन में बड़ी संख्या के गठन के लिए कोई समान नियम नहीं हैं और भ्रम पैदा होता है, और इसमें गणना करना भी बहुत मुश्किल है। साथ ही, प्राचीन रोम के लोग अपनी पद्धति से सबसे बड़ी संख्या 100,000 लिख सकते थे।
