अक्सर गणितीय विज्ञान में कई कठिनाइयाँ और प्रश्न होते हैं, और कई उत्तर हमेशा स्पष्ट नहीं होते हैं। सेट की कार्डिनैलिटी जैसा कोई अपवाद ऐसा विषय नहीं था। वास्तव में, यह वस्तुओं की संख्या की संख्यात्मक अभिव्यक्ति से ज्यादा कुछ नहीं है। एक सामान्य अर्थ में, एक सेट एक स्वयंसिद्ध है; इसकी कोई परिभाषा नहीं है। यह किसी भी वस्तु, या बल्कि उनके सेट पर आधारित है, जो खाली, परिमित या अनंत हो सकता है। इसके अलावा, इसमें पूर्णांक या प्राकृत संख्याएं, आव्यूह, अनुक्रम, खंड और रेखाएं शामिल हैं।
मौजूदा चर के बारे में
बिना किसी आंतरिक मूल्य के एक शून्य या खाली सेट को कार्डिनल तत्व माना जाता है क्योंकि यह एक सबसेट है। एक गैर-रिक्त समुच्चय S के सभी उपसमुच्चयों का संग्रह समुच्चयों का समुच्चय है। इस प्रकार, किसी दिए गए सेट का पावर सेट कई, बोधगम्य, लेकिन एकल माना जाता है। इस समुच्चय को S की घातों का समुच्चय कहा जाता है और इसे P (S) द्वारा निरूपित किया जाता है। यदि S में N अवयव हैं, तो P(S) में 2^n उपसमुच्चय हैं, क्योंकि P(S) का एक उपसमुच्चय या तो है या एक उपसमुच्चय है जिसमें S, r=1, 2, 3, से r तत्व हैं … अनंत सब कुछ से बना हैसेट एम को एक शक्ति मात्रा कहा जाता है और इसे पी (एम) द्वारा प्रतीकात्मक रूप से दर्शाया जाता है।
सेट थ्योरी के तत्व
ज्ञान के इस क्षेत्र का विकास जॉर्ज कैंटर (1845-1918) ने किया था। आज यह गणित की लगभग सभी शाखाओं में प्रयोग किया जाता है और इसके मूल भाग के रूप में कार्य करता है। सेट थ्योरी में, तत्वों को एक सूची के रूप में दर्शाया जाता है और उन्हें प्रकारों (खाली सेट, सिंगलटन, परिमित और अनंत सेट, बराबर और समकक्ष, सार्वभौमिक), संघ, चौराहे, अंतर और संख्याओं के जोड़ द्वारा दिया जाता है। रोजमर्रा की जिंदगी में, हम अक्सर वस्तुओं के संग्रह के बारे में बात करते हैं जैसे कि चाबियों का एक गुच्छा, पक्षियों का झुंड, ताश का एक पैकेट, आदि। गणित ग्रेड 5 और उसके बाद, प्राकृतिक, पूर्णांक, अभाज्य और संयुक्त संख्याएँ होती हैं।
निम्नलिखित सेटों पर विचार किया जा सकता है:
- प्राकृतिक संख्याएं;
- वर्णमाला के अक्षर;
- प्राथमिक ऑड्स;
- विभिन्न भुजाओं वाले त्रिभुज।
यह देखा जा सकता है कि ये निर्दिष्ट उदाहरण वस्तुओं के अच्छी तरह से परिभाषित सेट हैं। कुछ और उदाहरणों पर विचार करें:
- दुनिया के पांच सबसे प्रसिद्ध वैज्ञानिक;
- समाज में सात खूबसूरत लड़कियां;
- तीन बेहतरीन सर्जन।
ये कार्डिनैलिटी उदाहरण वस्तुओं का अच्छी तरह से परिभाषित संग्रह नहीं हैं, क्योंकि "सबसे प्रसिद्ध", "सबसे सुंदर", "सर्वश्रेष्ठ" के मानदंड हर व्यक्ति में भिन्न होते हैं।
सेट
यह मान विभिन्न वस्तुओं की एक अच्छी तरह से परिभाषित संख्या है।यह मानते हुए कि:
- वर्डसेट एक समानार्थी, समुच्चय, वर्ग है और इसमें तत्व शामिल हैं;
- वस्तुएं, सदस्य समान पद हैं;
- सेट को आमतौर पर बड़े अक्षरों A, B, C;
- सेट तत्वों को छोटे अक्षरों ए, बी, सी द्वारा दर्शाया जाता है।
द्वारा दर्शाया जाता है
यदि "ए" सेट ए का एक तत्व है, तो यह कहा जाता है कि "ए" ए से संबंधित है। आइए ग्रीक वर्ण "∈" (एप्सिलॉन) के साथ "संबंधित" वाक्यांश को निरूपित करें। इस प्रकार, यह पता चलता है कि ए ए। यदि 'बी' एक तत्व है जो ए से संबंधित नहीं है, तो इसे बी ∉ ए के रूप में दर्शाया जाता है। ग्रेड 5 गणित में उपयोग किए जाने वाले कुछ महत्वपूर्ण सेटों को निम्नलिखित तीन विधियों का उपयोग करके दर्शाया जाता है:
- आवेदन;
- रजिस्ट्री या सारणी;
- गठन बनाने का नियम।
करीब से जांच करने पर, आवेदन पत्र निम्नलिखित पर आधारित है। इस मामले में, सेट के तत्वों का स्पष्ट विवरण दिया गया है। वे सभी घुंघराले ब्रेसिज़ में संलग्न हैं। उदाहरण के लिए:
- 7 से कम विषम संख्याओं का सेट - {7 से कम} लिखा जाता है;
- 30 से अधिक और 55 से कम संख्याओं का एक सेट;
- एक कक्षा में शिक्षक से अधिक वजन वाले छात्रों की संख्या।
रजिस्ट्री (टेबल) फॉर्म में, सेट के तत्वों को कोष्ठक {} के एक जोड़े के भीतर सूचीबद्ध किया जाता है और अल्पविराम द्वारा अलग किया जाता है। उदाहरण के लिए:
- मान लीजिए N पहले पाँच प्राकृत संख्याओं के समुच्चय को निरूपित करता है। इसलिए, एन=→ रजिस्टर फॉर्म
- अंग्रेजी वर्णमाला के सभी स्वरों का समूह। अत: V={a, e, i, o, u, y} → पंजीकरण प्रपत्र
- सभी विषम संख्याओं का समुच्चय 9 से छोटा है। इसलिए, X={1, 3, 5, 7} → रूपरजिस्ट्री
- "गणित" शब्द के सभी अक्षरों का समुच्चय। इसलिए, Z={एम, ए, टी, एच, ई, आई, सी, एस} → रजिस्ट्री फॉर्म
- W साल के आखिरी चार महीनों का समुच्चय है। इसलिए, W={सितंबर, अक्टूबर, नवंबर, दिसंबर} → रजिस्ट्री।
ध्यान दें कि तत्वों को सूचीबद्ध करने का क्रम मायने नहीं रखता, लेकिन उन्हें दोहराया नहीं जाना चाहिए। निर्माण का एक स्थापित रूप, किसी दिए गए मामले में, एक नियम, सूत्र या ऑपरेटर को कोष्ठक की एक जोड़ी में लिखा जाता है ताकि सेट को सही ढंग से परिभाषित किया जा सके। सेट बिल्डर फॉर्म में, सभी तत्वों के पास विचाराधीन मूल्य का सदस्य बनने के लिए समान गुण होना चाहिए।
सेट प्रतिनिधित्व के इस रूप में, सेट के एक तत्व को वर्ण "x" या किसी अन्य चर के साथ वर्णित किया जाता है जिसके बाद एक कोलन (":" या "|" का उपयोग इंगित करने के लिए किया जाता है)। उदाहरण के लिए, मान लीजिए P 12 से बड़ी गणनीय संख्याओं का समुच्चय है। सेट-बिल्डर रूप में P को इस प्रकार लिखा जाता है - {गणनीय संख्या और 12 से अधिक}। यह एक निश्चित तरीके से पढ़ेगा। अर्थात्, "P x तत्वों का एक समुच्चय है जैसे कि x गणनीय है और 12 से बड़ा है।"
तीन सेट प्रतिनिधित्व विधियों का उपयोग करके हल किया गया उदाहरण: -2 और 3 के बीच पूर्णांकों की संख्या। नीचे विभिन्न प्रकार के सेटों के उदाहरण दिए गए हैं:
- एक खाली या शून्य सेट जिसमें कोई तत्व नहीं होता है और प्रतीक ∅ द्वारा दर्शाया जाता है और इसे फाई के रूप में पढ़ा जाता है। सूची के रूप में {} लिखा जाता है। परिमित सेट खाली है, क्योंकि तत्वों की संख्या 0 है। उदाहरण के लिए, पूर्णांक मानों का सेट 0 से कम है।
- जाहिर है <0 नहीं होना चाहिए। इसलिए, यहखाली सेट।
- केवल एक चर वाले समुच्चय को सिंगलटन समुच्चय कहा जाता है। न तो सरल है और न ही यौगिक।
परिमित सेट
एक निश्चित संख्या में तत्वों वाले सेट को परिमित या अनंत सेट कहा जाता है। खाली पहले को संदर्भित करता है। उदाहरण के लिए, इंद्रधनुष में सभी रंगों का एक सेट।
अनंत एक समुच्चय है। इसमें तत्वों की गणना नहीं की जा सकती है। अर्थात्, समान चर वाले अनंत समुच्चय कहलाते हैं। उदाहरण:
- विमान में सभी बिंदुओं के समुच्चय की शक्ति;
- सभी अभाज्य संख्याओं का समुच्चय।
लेकिन आपको यह समझना चाहिए कि एक समुच्चय के मिलन की सभी प्रमुखताओं को सूची के रूप में व्यक्त नहीं किया जा सकता है। उदाहरण के लिए, वास्तविक संख्याएँ, क्योंकि उनके अवयव किसी विशेष पैटर्न के अनुरूप नहीं होते हैं।
एक सेट की कार्डिनल संख्या दी गई मात्रा ए में विभिन्न तत्वों की संख्या है। इसे एन (ए) दर्शाया गया है।
उदाहरण के लिए:
- ए {एक्स: एक्स ∈ एन, एक्स <5}। ए={1, 2, 3, 4}। इसलिए, एन (ए)=4.
- B=ALGEBRA शब्द में अक्षरों का समूह।
सेट तुलना के लिए समतुल्य सेट
समुच्चय A और B की दो कार्डिनैलिटी ऐसी हैं यदि उनकी कार्डिनल संख्या समान है। समतुल्य सेट के लिए प्रतीक "↔" है। उदाहरण के लिए: ए ↔ बी.
समान सेट: सेट ए और बी की दो कार्डिनैलिटी यदि उनमें समान तत्व होते हैं। ए से प्रत्येक गुणांक बी से एक चर है, और बी में से प्रत्येक ए का निर्दिष्ट मान है।इसलिए, ए=बी। विभिन्न प्रकार के कार्डिनैलिटी यूनियनों और उनकी परिभाषाओं को प्रदान किए गए उदाहरणों का उपयोग करके समझाया गया है।
परिमितता और अनंत का सार
परिमित समुच्चय और अनंत समुच्चय की कार्डिनैलिटी में क्या अंतर हैं?
पहले मान का निम्न नाम है यदि यह या तो खाली है या तत्वों की एक सीमित संख्या है। एक परिमित सेट में, एक चर निर्दिष्ट किया जा सकता है यदि इसकी सीमित संख्या है। उदाहरण के लिए, प्राकृतिक संख्या 1, 2, 3 का उपयोग करते हुए। और लिस्टिंग प्रक्रिया कुछ एन पर समाप्त होती है। परिमित सेट एस में गिने जाने वाले विभिन्न तत्वों की संख्या को एन (एस) द्वारा दर्शाया जाता है। इसे आदेश या कार्डिनल भी कहा जाता है। मानक सिद्धांत के अनुसार प्रतीकात्मक रूप से निरूपित। इस प्रकार, यदि सेट एस रूसी वर्णमाला है, तो इसमें 33 तत्व होते हैं। यह भी याद रखना महत्वपूर्ण है कि एक तत्व एक सेट में एक से अधिक बार नहीं आता है।
सेट में अनंत
यदि तत्वों की गणना नहीं की जा सकती है तो एक सेट को अनंत कहा जाता है। यदि इसमें किसी n के लिए असीमित (अर्थात, बेशुमार) प्राकृत संख्या 1, 2, 3, 4 है। एक समुच्चय जो परिमित नहीं है, अनंत कहलाता है। अब हम विचाराधीन संख्यात्मक मानों के उदाहरणों पर चर्चा कर सकते हैं। अंतिम मूल्य विकल्प:
- मान लीजिए Q={25 से कम प्राकृत संख्याएं}। तब Q एक परिमित समुच्चय है और n (P)=24.
- मान लीजिए R={5 और 45 के बीच के पूर्णांक}। तब R एक परिमित समुच्चय है और n (R)=38.
- चलो एस={संख्या मोडुलो 9}। तब एस={-9, 9} एक परिमित समुच्चय है और n (S)=2.
- सभी लोगों का समूह।
- सभी पक्षियों की संख्या।
अनंत उदाहरण:
- विमान में मौजूदा बिंदुओं की संख्या;
- रेखा खंड में सभी बिंदुओं की संख्या;
- 3 से विभाज्य धनात्मक पूर्णांकों का समुच्चय अनंत है;
- सभी पूर्ण और प्राकृतिक संख्याएं।
इस प्रकार, उपरोक्त तर्क से, यह स्पष्ट है कि परिमित और अनंत सेट के बीच अंतर कैसे किया जाए।
सातत्य सेट की शक्ति
यदि हम सेट और अन्य मौजूदा मानों की तुलना करते हैं, तो सेट के साथ एक जोड़ संलग्न होता है। यदि ξ सार्वत्रिक है और A, का उपसमुच्चय है, तो A का पूरक के उन सभी तत्वों की संख्या है जो A के तत्व नहीं हैं। प्रतीकात्मक रूप से, के संबंध में A का पूरक A है। उदाहरण के लिए, के केवल 2, 4, 5, 6 ही ऐसे तत्व हैं जो A से संबंधित नहीं हैं। इसलिए, A'={2, 4, 5, 6}
कार्डिनैलिटी सातत्य के साथ एक सेट में निम्नलिखित विशेषताएं हैं:
- सार्वभौम मात्रा का पूरक प्रश्न में रिक्त मान है;
- यह शून्य सेट चर सार्वभौमिक है;
- राशि और उसके पूरक संयुक्त हैं।
उदाहरण के लिए:
- मान लीजिए प्राकृत संख्याओं की संख्या एक सार्वत्रिक समुच्चय है और A सम है। तब A '{x: x समान अंकों वाला एक विषम समुच्चय है}।
- चलो ξ=वर्णमाला में अक्षरों का समूह। ए=व्यंजन का सेट। तब A '=स्वरों की संख्या।
- सार्वभौम समुच्चय का पूरक रिक्त मात्रा है। द्वारा निरूपित किया जा सकता है। तब '=उन तत्वों का समुच्चय जो में शामिल नहीं है। खाली समुच्चय को लिखा और दर्शाया जाता है। इसलिए=। इस प्रकार, सार्वत्रिक समुच्चय का पूरक रिक्त है।
गणित में, "निरंतर" का प्रयोग कभी-कभी एक वास्तविक रेखा का प्रतिनिधित्व करने के लिए किया जाता है। और अधिक सामान्यतः, समान वस्तुओं का वर्णन करने के लिए:
- सातत्य (सेट थ्योरी में) - वास्तविक रेखा या संगत कार्डिनल नंबर;
- रैखिक - कोई भी आदेशित सेट जो वास्तविक रेखा के कुछ गुणों को साझा करता है;
- सातत्य (टोपोलॉजी में) - गैर-खाली कॉम्पैक्ट कनेक्टेड मेट्रिक स्पेस (कभी-कभी हॉसडॉर्फ);
- यह परिकल्पना कि कोई भी अनंत समुच्चय पूर्णांकों से बड़ा नहीं है लेकिन वास्तविक संख्याओं से छोटा है;
- सातत्य की शक्ति एक कार्डिनल संख्या है जो वास्तविक संख्याओं के समुच्चय के आकार का प्रतिनिधित्व करती है।
अनिवार्य रूप से, एक सातत्य (माप), सिद्धांत या मॉडल जो बिना किसी अचानक परिवर्तन के एक राज्य से दूसरे राज्य में क्रमिक संक्रमण की व्याख्या करते हैं।
मिलन और चौराहे की समस्या
यह ज्ञात है कि दो या दो से अधिक समुच्चयों का प्रतिच्छेदन वह संख्या है जिसमें उन सभी तत्वों का समावेश होता है जो इन मूल्यों में सामान्य हैं। सेट पर वर्ड टास्क को हल किया जाता है ताकि सेट के मिलन और इंटरसेक्शन गुणों का उपयोग करने के बारे में बुनियादी विचार प्राप्त किए जा सकें। शब्दों की मुख्य समस्याओं को हल कियासेट इस तरह दिखते हैं:
मान लीजिए A और B दो परिमित समुच्चय हैं। वे ऐसे हैं कि n (A)=20, n (B)=28 और n (A ∪ B)=36, n (A ∩ B) ज्ञात कीजिए।
वेन आरेख का उपयोग करके सेट में संबंध:
- दो समुच्चयों के मिलन को एक छायांकित क्षेत्र द्वारा दर्शाया जा सकता है जो A B. A ∪ B का प्रतिनिधित्व करता है जब A और B असंयुक्त समुच्चय हैं।
- दो सेटों के प्रतिच्छेदन को वेन आरेख द्वारा दर्शाया जा सकता है। A ∩ B का प्रतिनिधित्व करने वाले छायांकित क्षेत्र के साथ।
- दो सेटों के बीच के अंतर को वेन आरेखों द्वारा दर्शाया जा सकता है। A - B का प्रतिनिधित्व करने वाले छायांकित क्षेत्र के साथ।
- वेन आरेख का उपयोग करके तीन सेटों के बीच संबंध। यदि एक सार्वभौमिक राशि का प्रतिनिधित्व करता है, तो A, B, C तीन उपसमुच्चय हैं। यहाँ तीनों सेट अतिव्यापी हैं।
सेट जानकारी का सारांश
एक सेट की कार्डिनैलिटी को सेट में अलग-अलग तत्वों की कुल संख्या के रूप में परिभाषित किया गया है। और अंतिम निर्दिष्ट मान को सभी सबसेट की संख्या के रूप में वर्णित किया गया है। ऐसे मुद्दों का अध्ययन करते समय, विधियों, विधियों और समाधानों की आवश्यकता होती है। तो, एक सेट की कार्डिनैलिटी के लिए, निम्नलिखित उदाहरण इस प्रकार काम कर सकते हैं:
चलो ए={0, 1, 2, 3}| |=4, जहां | ए | सेट ए की कार्डिनैलिटी का प्रतिनिधित्व करता है।
अब आप अपना पावर पैक पा सकते हैं। यह काफी सरल भी है। जैसा कि पहले ही कहा गया है, पावर सेट किसी दिए गए नंबर के सभी सबसेट से सेट होता है। तो किसी को मूल रूप से ए के सभी चर, तत्वों और अन्य मूल्यों को परिभाषित करना चाहिए,जो हैं {}, {0}, {1}, {2}, {3}, {0, 1}, {0, 2}, {0, 3}, {1, 2}, {1, 3}, { 2, 3}, {0, 1, 2}, {0, 1, 3}, {1, 2, 3}, {0, 2, 3}, {0, 1, 2, 3}।
अब पावर फिगर P={{}, {0}, {1}, {2}, {3}, {0, 1}, {0, 2}, {0, 3}, { 1, 2}, {1, 3}, {2, 3}, {0, 1, 2}, {0, 1, 3}, {1, 2, 3}, {0, 2, 3}, { 0, 1, 2, 3}} जिसमें 16 तत्व हैं। इस प्रकार, समुच्चय A की कार्डिनैलिटी=16। जाहिर है, इस समस्या को हल करने के लिए यह एक थकाऊ और बोझिल तरीका है। हालांकि, एक सरल सूत्र है जिसके द्वारा आप सीधे किसी दिए गए नंबर के पावर सेट में तत्वों की संख्या जान सकते हैं। | पी |=2 ^ एन, जहां एन कुछ ए में तत्वों की संख्या है। यह सूत्र सरल संयोजन का उपयोग करके प्राप्त किया जा सकता है। तो सवाल 2^11 है क्योंकि सेट ए में तत्वों की संख्या 11 है।
तो, समुच्चय कोई भी संख्यात्मक रूप से व्यक्त मात्रा है, जो कोई भी संभावित वस्तु हो सकती है। उदाहरण के लिए, कार, लोग, नंबर। गणितीय अर्थ में, यह अवधारणा व्यापक और अधिक सामान्यीकृत है। यदि प्रारंभिक चरणों में उनके समाधान के लिए संख्याओं और विकल्पों को सुलझा लिया जाता है, तो मध्य और उच्च चरणों में स्थितियां और कार्य जटिल होते हैं। वास्तव में, किसी समुच्चय के मिलन की प्रधानता वस्तु के किसी समूह से संबंधित होने से निर्धारित होती है। अर्थात्, एक तत्व एक वर्ग से संबंधित है, लेकिन इसमें एक या अधिक चर हैं।
