अपरिमेय संख्याएं क्या हैं? उन्हें ऐसा क्यों कहा जाता है? उनका उपयोग कहां किया जाता है और वे क्या हैं? इन सवालों का जवाब बिना किसी झिझक के कुछ ही जवाब दे सकते हैं। लेकिन वास्तव में, उनके उत्तर काफी सरल हैं, हालांकि हर किसी को उनकी आवश्यकता नहीं होती है और बहुत ही दुर्लभ स्थितियों में
सार और पद
अपरिमेय संख्याएं अनंत गैर-आवधिक दशमलव अंश हैं। इस अवधारणा को पेश करने की आवश्यकता इस तथ्य के कारण है कि वास्तविक या वास्तविक, पूर्णांक, प्राकृतिक और तर्कसंगत संख्याओं की पहले से मौजूद अवधारणाएं अब नई उभरती समस्याओं को हल करने के लिए पर्याप्त नहीं थीं। उदाहरण के लिए, गणना करने के लिए कि 2 का वर्ग क्या है, आपको गैर-आवर्ती अनंत दशमलव का उपयोग करने की आवश्यकता है। इसके अलावा, कई सरल समीकरणों का भी एक अपरिमेय संख्या की अवधारणा को पेश किए बिना कोई हल नहीं होता है।
इस सेट को I के रूप में दर्शाया गया है। और, जैसा कि पहले से ही स्पष्ट है, इन मानों को एक साधारण अंश के रूप में प्रदर्शित नहीं किया जा सकता है, जिसके अंश में एक पूर्णांक होगा, और हर में - एक प्राकृतिक संख्या.
पहली बारअन्यथा, भारतीय गणितज्ञों ने 7वीं शताब्दी ईसा पूर्व में इस घटना का सामना किया, जब यह पता चला कि कुछ मात्राओं के वर्गमूल को स्पष्ट रूप से इंगित नहीं किया जा सकता है। और ऐसी संख्याओं के अस्तित्व का पहला प्रमाण पाइथागोरस हिप्पासस को दिया जाता है, जिन्होंने एक समद्विबाहु समकोण त्रिभुज का अध्ययन करने की प्रक्रिया में ऐसा किया था। इस सेट के अध्ययन में एक गंभीर योगदान हमारे युग से पहले रहने वाले कुछ अन्य वैज्ञानिकों द्वारा किया गया था। अपरिमेय संख्याओं की अवधारणा की शुरूआत ने मौजूदा गणितीय प्रणाली का संशोधन किया, यही कारण है कि वे इतने महत्वपूर्ण हैं।
नाम की उत्पत्ति
यदि लैटिन में अनुपात का अर्थ "अंश", "अनुपात" है, तो उपसर्ग "ir"
इस शब्द का विपरीत अर्थ देता है। इस प्रकार इन संख्याओं के समुच्चय का नाम इंगित करता है कि इन्हें किसी पूर्णांक या भिन्न के साथ सहसंबद्ध नहीं किया जा सकता, इनका एक अलग स्थान होता है। यह उनके सार से इस प्रकार है।
समग्र वर्गीकरण में स्थान
अपरिमेय संख्याएँ, परिमेय संख्याओं के साथ, वास्तविक या वास्तविक संख्याओं के समूह से संबंधित होती हैं, जो बदले में सम्मिश्र संख्याओं से संबंधित होती हैं। कोई उपसमुच्चय नहीं हैं, हालांकि, बीजीय और अनुवांशिक किस्में हैं, जिनकी चर्चा नीचे की जाएगी।
गुण
चूंकि अपरिमेय संख्याएं वास्तविक संख्याओं के समुच्चय का हिस्सा हैं, उनके सभी गुण जो अंकगणित में अध्ययन किए जाते हैं (इन्हें मूल बीजगणितीय नियम भी कहा जाता है) उन पर लागू होते हैं।
a + b=b + a (कम्यूटेटिविटी);
(ए + बी) + सी=ए + (बी + सी)(सहयोगिता);
ए + 0=ए;
a + (-a)=0 (विपरीत संख्या का अस्तित्व);
ab=ba (विस्थापन कानून);
(ab)c=a(bc) (वितरण);
a(b+c)=ab + ac (वितरण कानून);
ए एक्स 1=ए
a x 1/a=1 (प्रतिलोम संख्या का अस्तित्व);
तुलना भी सामान्य कानूनों और सिद्धांतों के अनुसार की जाती है:
यदि a > b और b > c, तो a > c (अनुपात की ट्रांजिटिविटी) और। आदि
बेशक, सभी अपरिमेय संख्याओं को मूल अंकगणित का उपयोग करके परिवर्तित किया जा सकता है। इसके लिए कोई विशेष नियम नहीं हैं।
इसके अलावा, आर्किमिडीज का स्वयंसिद्ध तर्क अपरिमेय संख्याओं पर लागू होता है। यह कहता है कि किन्हीं दो राशियों a और b के लिए, कथन सत्य है कि a को पर्याप्त समय लेने पर, आप b को पार कर सकते हैं।
उपयोग
इस तथ्य के बावजूद कि सामान्य जीवन में आपको अक्सर उनका सामना नहीं करना पड़ता है, अपरिमेय संख्याओं की गणना नहीं की जा सकती है। उनमें से बहुत सारे हैं, लेकिन वे लगभग अदृश्य हैं। हम हर जगह अपरिमेय संख्याओं से घिरे हुए हैं। सभी के लिए परिचित उदाहरण हैं संख्या pi, 3 के बराबर, 1415926 …, या e, जो अनिवार्य रूप से प्राकृतिक लघुगणक का आधार है, 2, 718281828 … बीजगणित, त्रिकोणमिति और ज्यामिति में, उन्हें लगातार उपयोग करना पड़ता है. वैसे, "गोल्डन सेक्शन" का प्रसिद्ध मूल्य, यानी बड़े हिस्से से छोटे और इसके विपरीत दोनों का अनुपात भी
है
इस सेट से संबंधित है। कम ज्ञात "चांदी" - भी।
वे संख्या रेखा पर बहुत सघन रूप से स्थित होते हैं, इसलिए परिमेय समुच्चय से संबंधित किन्हीं दो मानों के बीच एक अपरिमेय होना निश्चित है।
अभी भी इस सेट से जुड़ी कई अनसुलझी समस्याएं हैं। अपरिमेयता की माप और किसी संख्या की सामान्यता जैसे मानदंड हैं। गणितज्ञ अपने एक समूह या दूसरे समूह से संबंधित होने के लिए सबसे महत्वपूर्ण उदाहरणों की जांच करना जारी रखते हैं। उदाहरण के लिए, यह माना जाता है कि e एक सामान्य संख्या है, यानी इसके रिकॉर्ड में अलग-अलग अंकों के आने की संभावना समान है। जहां तक पाई की बात है तो अभी इस पर शोध जारी है। अपरिमेयता के माप को एक मान भी कहा जाता है जो दर्शाता है कि इस या उस संख्या को परिमेय संख्याओं द्वारा कितनी अच्छी तरह अनुमानित किया जा सकता है।
बीजगणितीय और पारलौकिक
जैसा कि पहले ही उल्लेख किया गया है, अपरिमेय संख्याओं को सशर्त रूप से बीजीय और अनुवांशिक में विभाजित किया जाता है। सशर्त रूप से, चूंकि, कड़ाई से बोलते हुए, इस वर्गीकरण का उपयोग सेट सी को विभाजित करने के लिए किया जाता है।
यह पद सम्मिश्र संख्याओं को छुपाता है, जिसमें वास्तविक या वास्तविक संख्याएँ शामिल होती हैं।
तो, एक बीजीय मान एक ऐसा मान है जो एक बहुपद का मूल है जो समान रूप से शून्य के बराबर नहीं है। उदाहरण के लिए, 2 का वर्गमूल इस श्रेणी में होगा क्योंकि यह समीकरण x2 - 2=0.
का हल है।
अन्य सभी वास्तविक संख्याएँ जो इस शर्त को पूरा नहीं करती हैं, अनुवांशिक कहलाती हैं। इस किस्म के लिएसबसे प्रसिद्ध और पहले से ही उल्लेखित उदाहरणों को शामिल करें - संख्या pi और प्राकृतिक लघुगणक का आधार e.
दिलचस्प बात यह है कि इस क्षमता में गणितज्ञों द्वारा मूल रूप से न तो एक और न ही दूसरे का अनुमान लगाया गया था, उनकी खोज के कई साल बाद उनकी तर्कहीनता और श्रेष्ठता साबित हुई थी। पाई के लिए, प्रमाण 1882 में दिया गया था और 1894 में सरलीकृत किया गया था, जिसने वृत्त को वर्ग करने की समस्या के बारे में 2,500 साल के विवाद को समाप्त कर दिया। यह अभी भी पूरी तरह से समझ में नहीं आया है, इसलिए आधुनिक गणितज्ञों के पास काम करने के लिए कुछ है। वैसे, इस मूल्य की पहली पर्याप्त सटीक गणना आर्किमिडीज द्वारा की गई थी। उससे पहले, सभी गणनाएँ बहुत अनुमानित थीं।
ई (यूलर या नेपियर संख्या) के लिए, 1873 में इसकी श्रेष्ठता का प्रमाण मिला। इसका उपयोग लघुगणकीय समीकरणों को हल करने में किया जाता है।
अन्य उदाहरणों में किसी भी बीजीय गैर-शून्य मानों के लिए साइन, कोसाइन और स्पर्शरेखा मान शामिल हैं।
