एक सिलेंडर सरल त्रि-आयामी आकृतियों में से एक है जिसका अध्ययन स्कूल ज्यामिति पाठ्यक्रम (सेक्शन सॉलिड ज्योमेट्री) में किया जाता है। इस मामले में, एक सिलेंडर की मात्रा और द्रव्यमान की गणना करने के साथ-साथ इसके सतह क्षेत्र को निर्धारित करने में अक्सर समस्याएं उत्पन्न होती हैं। चिह्नित प्रश्नों के उत्तर इस लेख में दिए गए हैं।
सिलेंडर क्या है?
प्रश्न के उत्तर की ओर बढ़ने से पहले, बेलन का द्रव्यमान और उसका आयतन क्या है, यह विचार करने योग्य है कि यह स्थानिक आकृति क्या है। यह तुरंत ध्यान दिया जाना चाहिए कि एक सिलेंडर एक त्रि-आयामी वस्तु है। यही है, अंतरिक्ष में, आप एक कार्टेशियन आयताकार समन्वय प्रणाली में प्रत्येक अक्ष के साथ इसके तीन मापदंडों को माप सकते हैं। वास्तव में, एक सिलेंडर के आयामों को स्पष्ट रूप से निर्धारित करने के लिए, इसके केवल दो मापदंडों को जानना पर्याप्त है।
सिलेंडर एक त्रि-आयामी आकृति है जो दो वृत्तों और एक बेलनाकार सतह से बनती है। इस वस्तु का अधिक स्पष्ट रूप से प्रतिनिधित्व करने के लिए, एक आयत लेना और इसके किसी भी पक्ष के चारों ओर घूमना शुरू करना पर्याप्त है, जो रोटेशन की धुरी होगी। इस मामले में, घूर्णन आयत आकार का वर्णन करेगारोटेशन - सिलेंडर।
दो गोल सतहों को बेलन का आधार कहा जाता है, इनकी विशेषता एक निश्चित त्रिज्या होती है। आधारों के बीच की दूरी को ऊँचाई कहते हैं। दो आधार एक बेलनाकार सतह से जुड़े हुए हैं। दोनों वृत्तों के केन्द्रों से गुजरने वाली रेखा बेलन की धुरी कहलाती है।
आयतन और सतह क्षेत्र
जैसा कि आप ऊपर से देख सकते हैं, सिलेंडर को दो मापदंडों द्वारा परिभाषित किया गया है: ऊंचाई h और इसके आधार r की त्रिज्या। इन मापदंडों को जानने के बाद, माना शरीर की अन्य सभी विशेषताओं की गणना करना संभव है। नीचे मुख्य हैं:
- ठिकाने का क्षेत्रफल। इस मान की गणना सूत्र द्वारा की जाती है: S1=2pir2, जहां pi 3, 14 के बराबर पाई है। अंक 2 सूत्र में प्रकट होता है क्योंकि बेलन के दो समान आधार होते हैं।
- बेलनाकार सतह क्षेत्र। इसकी गणना इस प्रकार की जा सकती है: S2=2pirh. इस सूत्र को समझना आसान है: यदि एक बेलनाकार सतह को एक आधार से दूसरे आधार पर लंबवत काट दिया जाता है और विस्तारित किया जाता है, तो एक आयत प्राप्त होगी, जिसकी ऊंचाई सिलेंडर की ऊंचाई के बराबर होगी, और चौड़ाई के अनुरूप होगी त्रि-आयामी आकृति के आधार की परिधि। चूँकि परिणामी आयत का क्षेत्रफल उसकी भुजाओं का गुणनफल होता है, जो h और 2pir के बराबर होता है, उपरोक्त सूत्र प्राप्त होता है।
- सिलेंडर सतह क्षेत्र। यह S1 और S2 के क्षेत्रफलों के योग के बराबर है, हम पाते हैं: S3=S 1 + S2=2pir2 + 2pir h=2pi r(r+h).
- वॉल्यूम। यह मान खोजना आसान है, आपको बस एक आधार के क्षेत्रफल को आकृति की ऊंचाई से गुणा करने की आवश्यकता है: V=(S1/2)h=pir 2 ज.
बेलन का द्रव्यमान ज्ञात करना
आखिरकार, यह सीधे लेख के विषय पर जाने लायक है। सिलेंडर के द्रव्यमान का निर्धारण कैसे करें? ऐसा करने के लिए, आपको इसकी मात्रा जानने की जरूरत है, गणना का सूत्र जो ऊपर प्रस्तुत किया गया था। और उस पदार्थ का घनत्व जिसमें यह होता है। द्रव्यमान एक सरल सूत्र द्वारा निर्धारित किया जाता है: m=V, जहां उस सामग्री का घनत्व है जो प्रश्न में वस्तु बनाता है।
घनत्व की अवधारणा एक पदार्थ के द्रव्यमान की विशेषता है जो अंतरिक्ष की एक इकाई मात्रा में है। उदाहरण के लिए। यह ज्ञात है कि लोहे में लकड़ी की तुलना में अधिक घनत्व होता है। इसका मतलब यह है कि लोहे और लकड़ी के समान मात्रा के मामले में, पहले वाले का द्रव्यमान बाद वाले (लगभग 16 गुना) की तुलना में बहुत बड़ा होगा।
तांबे के बेलन के द्रव्यमान की गणना
एक साधारण समस्या पर विचार करें। तांबे के बने बेलन का द्रव्यमान ज्ञात करना आवश्यक है। निश्चितता के लिए, मान लें कि बेलन का व्यास 20 सेमी और ऊंचाई 10 सेमी है।
समस्या का समाधान शुरू करने से पहले, आपको स्रोत डेटा से निपटना चाहिए। बेलन की त्रिज्या उसके व्यास के आधे के बराबर है, जिसका अर्थ है r=20/2=10 सेमी, जबकि ऊँचाई h=10 सेमी है। चूंकि समस्या में माना गया सिलेंडर तांबे का बना है, तो, इसका जिक्र करते हुए संदर्भ डेटा, हम इस सामग्री का घनत्व मान लिखते हैं:=8, 96 g/cm3 (तापमान 20 डिग्री सेल्सियस के लिए)।
अब आप समस्या का समाधान शुरू कर सकते हैं। सबसे पहले, वॉल्यूम की गणना करें: V=pir2h=3, 14(10)210=3140 सेमी3. तब बेलन का द्रव्यमान होगा: m=V=8.963140=28134 ग्राम या लगभग 28 किलोग्राम।
आपको उनके उपयोग के दौरान संबंधित सूत्रों में इकाइयों के आयाम पर ध्यान देना चाहिए। तो, समस्या में, सभी मापदंडों को सेंटीमीटर और ग्राम में प्रस्तुत किया गया था।
सजातीय और खोखले सिलेंडर
उपरोक्त परिणाम से यह देखा जा सकता है कि अपेक्षाकृत छोटे आयाम (10 सेमी) वाले तांबे के सिलेंडर में एक बड़ा द्रव्यमान (28 किलो) होता है। यह न केवल इस तथ्य के कारण है कि यह भारी सामग्री से बना है, बल्कि इस तथ्य के कारण भी है कि यह सजातीय है। इस तथ्य को समझना महत्वपूर्ण है, क्योंकि द्रव्यमान की गणना के लिए उपरोक्त सूत्र का उपयोग केवल तभी किया जा सकता है जब सिलेंडर पूरी तरह से (बाहर और अंदर) एक ही सामग्री से बना हो, अर्थात यह सजातीय हो।
व्यवहार में अक्सर खोखले सिलेंडरों का उपयोग किया जाता है (उदाहरण के लिए, पानी के लिए बेलनाकार बैरल)। यानी ये किसी न किसी सामग्री की पतली चादरों से बने होते हैं, लेकिन अंदर से खाली होते हैं। एक खोखले सिलेंडर के लिए, द्रव्यमान की गणना के लिए संकेतित सूत्र का उपयोग नहीं किया जा सकता है।
खोखले बेलन के द्रव्यमान की गणना
यह गणना करना दिलचस्प है कि तांबे के सिलेंडर के अंदर खाली होने पर उसका द्रव्यमान कितना होगा। उदाहरण के लिए, इसे केवल d=2 मिमी की मोटाई वाली एक पतली तांबे की शीट से बनाया जाना चाहिए।
इस समस्या को हल करने के लिए, आपको स्वयं तांबे का आयतन ज्ञात करना होगा, जिससे वस्तु बनाई गई है। सिलेंडर की मात्रा नहीं। क्योंकि मोटाईसिलेंडर के आयामों की तुलना में शीट छोटी है (डी=2 मिमी और आर=10 सेमी), तो तांबे की मात्रा जिससे वस्तु बनाई जाती है, सिलेंडर के पूरे सतह क्षेत्र को गुणा करके पाया जा सकता है तांबे की शीट की मोटाई, हम प्राप्त करते हैं: V=dS 3=d2pir(r+h)। पिछली समस्या से डेटा को प्रतिस्थापित करने पर, हम प्राप्त करते हैं: V=0.223, 1410(10+10)=251.2 cm3। तांबे के घनत्व से, इसके निर्माण के लिए आवश्यक तांबे की प्राप्त मात्रा को गुणा करके एक खोखले सिलेंडर का द्रव्यमान प्राप्त किया जा सकता है: मी \u003d 251.28.96 \u003d 2251 ग्राम या 2.3 किग्रा। यानी, माना गया खोखला सिलेंडर एक सजातीय सिलेंडर से 12 (28, 1/2, 3) गुना कम वजन का होता है।
