साधारण भिन्नों का उपयोग किसी भाग का संपूर्ण से अनुपात दर्शाने के लिए किया जाता है। उदाहरण के लिए, पांच बच्चों के बीच एक केक बांटा गया था, इसलिए प्रत्येक को केक का पांचवां हिस्सा (1/5) मिला।
साधारण भिन्न, a/b के रूप के अंकन हैं, जहाँ a और b कोई प्राकृत संख्या हैं। अंश पहली या शीर्ष संख्या है, और हर दूसरी या निचली संख्या है। भाजक उन भागों की संख्या को इंगित करता है जिनके द्वारा पूरे को विभाजित किया गया था, और अंश लिए गए भागों की संख्या को इंगित करता है।
सामान्य भिन्नों का इतिहास
आठवीं शताब्दी की पांडुलिपियों में पहली बार अंशों का उल्लेख किया गया है, बहुत बाद में - 17 वीं शताब्दी में - उन्हें "टूटी हुई संख्या" कहा जाएगा। ये संख्याएँ प्राचीन भारत से हमारे पास आईं, फिर इनका उपयोग अरबों द्वारा किया गया, और 12वीं शताब्दी तक ये यूरोपीय लोगों के बीच दिखाई देने लगे।
शुरुआत में साधारण भिन्नों के निम्नलिखित रूप होते थे: 1/2, 1/3, 1/4, आदि। ऐसे भिन्न, जिनके अंश में एक इकाई होती थी और एक पूरे के अंशों को निरूपित करते थे, मूल कहलाते थे। कई सदियों बादयूनानियों और उनके बाद भारतीयों ने अन्य भिन्नों का उपयोग करना शुरू किया, जिनमें से कुछ भाग किसी भी प्राकृतिक संख्या से मिलकर बने हो सकते हैं।
सामान्य भिन्नों का वर्गीकरण
सही और अनुचित भिन्न हैं। सही वे हैं जिनमें भाजक अंश से बड़ा है, और गलत इसके विपरीत हैं।
हर भिन्न एक भागफल का परिणाम होता है, इसलिए भिन्नात्मक रेखा को विभाजन चिह्न से सुरक्षित रूप से बदला जा सकता है। इस प्रकार की रिकॉर्डिंग का उपयोग तब किया जाता है जब विभाजन पूरी तरह से नहीं किया जा सकता है। लेख की शुरुआत में उदाहरण का जिक्र करते हुए, मान लें कि बच्चे को केक का हिस्सा मिलता है, न कि पूरे इलाज का।
यदि किसी संख्या में 2 3/5 (दो पूर्णांक और तीन पांचवें) के रूप में इस तरह के एक जटिल संकेतन है, तो इसे मिश्रित किया जाता है, क्योंकि एक प्राकृतिक संख्या में भी एक भिन्नात्मक भाग होता है। सभी अनुचित भिन्नों को अंश को पूरी तरह से हर से विभाजित करके मिश्रित संख्याओं में परिवर्तित किया जा सकता है (इस प्रकार, पूरा भाग आवंटित किया जाता है), शेष को अंश के स्थान पर एक सशर्त हर के साथ लिखा जाता है। आइए अंश 77/15 को एक उदाहरण के रूप में लेते हैं। 77 को 15 से भाग देने पर, हमें पूर्णांक भाग 5 और शेष 2 प्राप्त होता है। इसलिए, हमें मिश्रित संख्या 5 2/15 (पांच पूर्णांक और दो पंद्रहवां) प्राप्त होता है।
आप रिवर्स ऑपरेशन भी कर सकते हैं - सभी मिश्रित नंबर आसानी से गलत में बदल जाते हैं। हम हर के साथ प्राकृत संख्या (पूर्णांक भाग) को गुणा करते हैं और इसे भिन्नात्मक भाग के अंश के साथ जोड़ते हैं। आइए उपरोक्त 5 2/15 भिन्न के साथ करते हैं। हम 5 को 15 से गुणा करते हैं, हमें 75 मिलता है। फिर हम परिणामी संख्या में 2 जोड़ते हैं, हमें 77 मिलता है। हम हर को वही छोड़ते हैं, और यहाँ वांछित प्रकार का अंश है - 77/15।
साधारण को कम करनाभिन्न
अंशों को कम करने की क्रिया का क्या अर्थ है? अंश और हर को एक गैर-शून्य संख्या से विभाजित करना, जो सामान्य भाजक होगा। एक उदाहरण में, यह इस तरह दिखता है: 5/10 को 5 से कम किया जा सकता है। अंश और हर को पूरी तरह से संख्या 5 से विभाजित किया जाता है, और अंश 1/2 प्राप्त होता है। यदि किसी भिन्न को घटाना असम्भव हो तो उसे इरेड्यूसबल कहते हैं।
m/n और p/q के रूप के भिन्नों के बराबर होने के लिए, निम्नलिखित समानता होनी चाहिए: mq=np. तदनुसार, समानता संतुष्ट नहीं होने पर भिन्न समान नहीं होंगे। अंशों की तुलना भी की जाती है। समान भाजक वाले भिन्नों में से बड़ा अंश वाला भिन्न बड़ा होता है। इसके विपरीत, समान अंश वाले भिन्नों में, बड़ा हर वाला छोटा होता है। दुर्भाग्य से, इस तरह से सभी भिन्नों की तुलना नहीं की जा सकती है। अक्सर, भिन्नों की तुलना करने के लिए, आपको उन्हें सबसे कम आम भाजक (एलसीडी) पर लाना होगा।
नोज़
आइए इसे एक उदाहरण से समझते हैं: हमें भिन्नों 1/3 और 5/12 की तुलना करने की आवश्यकता है। हम हर के साथ काम करते हैं, संख्या 3 और 12 - 12 के लिए सबसे छोटा सामान्य गुणक (LCM)। अगला, आइए अंशों की ओर मुड़ें। हम एलसीएम को पहले हर से विभाजित करते हैं, हमें संख्या 4 मिलती है (यह एक अतिरिक्त कारक है)। फिर हम पहली भिन्न के अंश से संख्या 4 को गुणा करते हैं, इसलिए एक नया अंश 4/12 दिखाई देता है। इसके अलावा, सरल बुनियादी नियमों द्वारा निर्देशित, हम आसानी से भिन्नों की तुलना कर सकते हैं: 4/12 < 5/12, जिसका अर्थ है 1/3 < 5/12।
याद रखें: जब अंश शून्य होता है, तो पूर्ण भिन्न शून्य होता है। लेकिन भाजक कभी भी शून्य के बराबर नहीं हो सकता, क्योंकि आप शून्य से भाग नहीं कर सकते। कबभाजक एक के बराबर होता है, तो पूर्ण भिन्न का मान अंश के बराबर होता है। यह पता चला है कि किसी भी संख्या को एकता के अंश और हर के रूप में स्वतंत्र रूप से दर्शाया जाता है: 5/1, 4/1, और इसी तरह।
अंशों के साथ अंकगणितीय संक्रिया
भिन्नों की तुलना ऊपर चर्चा की गई थी। आइए योग, अंतर, गुणनफल और आंशिक अंश प्राप्त करने की ओर मुड़ें:
अंशों को NOZ में घटाने के बाद ही जोड़ या घटाव किया जाता है। उसके बाद, अंशों को जोड़ा या घटाया जाता है और हर अपरिवर्तित के साथ लिखा जाता है: 5/7 + 1/7=6/7, 5/7 - 1/7=4/7।
- अंशों का गुणन कुछ अलग है: वे अंशों के साथ अलग से काम करते हैं, और फिर हर के साथ: 5/71/7=(51) / (77)=5/49।
- भिन्नों को विभाजित करने के लिए, आपको पहले वाले को दूसरे के व्युत्क्रम से गुणा करना होगा (व्युत्क्रम 5/7 और 7/5 हैं)। इस प्रकार: 5/7: 1/7=5/77/1=35/7=5.
आपको यह जानने की जरूरत है कि मिश्रित संख्याओं के साथ काम करते समय, पूर्णांक भागों के साथ अलग-अलग ऑपरेशन किए जाते हैं और अलग-अलग भिन्न के साथ: 5 5/7 + 3 1/7=8 6/7 (आठ पूर्णांक और छह सातवें) इस मामले में, हमने 5 और 3 को जोड़ा, फिर 5/7 को 1/7 के साथ जोड़ा। गुणा या भाग के लिए, आपको मिश्रित संख्याओं का अनुवाद करना चाहिए और अनुचित भिन्नों के साथ काम करना चाहिए।
सबसे अधिक संभावना है, इस लेख को पढ़ने के बाद, आपने साधारण भिन्नों के बारे में सब कुछ सीख लिया है, उनके घटित होने के इतिहास से लेकर अंकगणितीय संक्रियाओं तक। हम आशा करते हैं कि आपके सभी प्रश्नों का समाधान हो गया होगा।
