परिभाषा का दायरा - यह क्या है?

2024 लेखक: Angel Austin | [email protected]. अंतिम बार संशोधित: 2024-01-02 17:47

इसे सरल और संक्षेप में कहें तो दायरा वह मान है जो कोई भी फ़ंक्शन ले सकता है। इस विषय का पूरी तरह से पता लगाने के लिए, आपको निम्नलिखित बिंदुओं और अवधारणाओं को धीरे-धीरे अलग करना होगा। सबसे पहले, आइए फ़ंक्शन की परिभाषा और इसके प्रकटन के इतिहास को समझते हैं।

फ़ंक्शन क्या है

सभी सटीक विज्ञान हमें ऐसे कई उदाहरण प्रदान करते हैं जहां विचाराधीन चर किसी न किसी तरह से एक दूसरे पर निर्भर करते हैं। उदाहरण के लिए, किसी पदार्थ का घनत्व उसके द्रव्यमान और आयतन से पूरी तरह से निर्धारित होता है। स्थिर आयतन पर एक आदर्श गैस का दबाव तापमान के साथ बदलता रहता है। ये उदाहरण इस तथ्य से एकजुट हैं कि सभी सूत्रों में चर के बीच निर्भरता होती है, जिन्हें कार्यात्मक कहा जाता है।

एक फलन एक अवधारणा है जो एक मात्रा की दूसरे पर निर्भरता को व्यक्त करती है। इसका रूप y=f(x) है, जहां y फ़ंक्शन का मान है, जो x - तर्क पर निर्भर करता है। इस प्रकार, हम कह सकते हैं कि y एक चर है जो x के मान पर निर्भर करता है। वे मान जो x एक साथ ले सकते हैं:दिए गए फ़ंक्शन का डोमेन (D(y) या D(f)), और तदनुसार, y के मान फ़ंक्शन मानों (E(f) या E(y)) के सेट का गठन करते हैं। ऐसे मामले हैं जब कोई फ़ंक्शन किसी सूत्र द्वारा दिया जाता है। इस मामले में, परिभाषा के क्षेत्र में ऐसे चरों का मान होता है, जिसमें सूत्र के साथ अंकन समझ में आता है।

मिलान या समान विशेषताएं हैं। ये दो फंक्शन हैं जिनमें मान्य मानों की समान रेंज होती है, साथ ही फ़ंक्शन के मान सभी समान तर्कों के लिए समान होते हैं।

सटीक विज्ञान के कई नियमों को वास्तविक जीवन में स्थितियों के समान ही नाम दिया गया है। गणितीय कार्य के बारे में भी ऐसा ही एक दिलचस्प तथ्य है। दो अन्य लोगों के बीच "सैंडविच" फ़ंक्शन की सीमा के बारे में एक प्रमेय है जिसकी समान सीमा है - लगभग दो पुलिसकर्मी। वे इसे इस तरह से समझाते हैं: चूंकि दो पुलिसकर्मी एक कैदी को उनके बीच एक कोठरी में ले जा रहे हैं, अपराधी को वहां जाने के लिए मजबूर किया जाता है, और उसके पास कोई विकल्प नहीं होता है।

ऐतिहासिक विशेषता संदर्भ

किसी फ़ंक्शन की अवधारणा तुरंत अंतिम और सटीक नहीं बन गई, यह बनने का एक लंबा सफर तय कर चुकी है। सबसे पहले, फ़र्मेट का परिचय और समतल और ठोस स्थानों का अध्ययन, 17वीं शताब्दी के अंत में प्रकाशित हुआ, निम्नलिखित में कहा गया है:

अंतिम समीकरण में जब भी दो अज्ञात होते हैं, तो जगह होती है।

सामान्य तौर पर, यह कार्य कार्यात्मक निर्भरता और इसकी भौतिक छवि (स्थान=रेखा) की बात करता है।

इसके अलावा, लगभग उसी समय, रेने डेसकार्टेस ने अपने काम "ज्यामिति" (1637) में उनके समीकरणों द्वारा रेखाओं का अध्ययन किया, जहां फिर से तथ्यदो राशियों की एक दूसरे पर निर्भरता।

"फ़ंक्शन" शब्द का उल्लेख केवल 17 वीं शताब्दी के अंत में लाइबनिज़ के साथ दिखाई दिया, लेकिन इसकी आधुनिक व्याख्या में नहीं। अपने वैज्ञानिक कार्य में, उन्होंने माना कि एक फलन एक वक्र रेखा से जुड़े विभिन्न खंड होते हैं।

लेकिन पहले से ही 18वीं शताब्दी में, समारोह को और अधिक सही ढंग से परिभाषित किया जाने लगा। बर्नौली ने निम्नलिखित लिखा:

एक फ़ंक्शन एक वैरिएबल और एक स्थिरांक से बना एक मान है।

यूलर के विचार भी इसके करीब थे:

एक चर मात्रा फलन एक विश्लेषणात्मक व्यंजक है जो इस चर मात्रा और संख्याओं या स्थिर मात्राओं के किसी न किसी रूप में बनता है।

जब कुछ राशियाँ दूसरों पर इस प्रकार निर्भर करती हैं कि जब बाद में परिवर्तन होता है, तो वे स्वयं परिवर्तित हो जाती हैं, तो पहली राशि बाद वाले के फलन कहलाती है।

फंक्शन ग्राफ

फ़ंक्शन के ग्राफ़ में समन्वय विमान की कुल्हाड़ियों से संबंधित सभी बिंदु होते हैं, जिनमें से एब्सिसास तर्क के मान लेते हैं, और इन बिंदुओं पर फ़ंक्शन के मान निर्देशांक होते हैं।

फ़ंक्शन का दायरा सीधे उसके ग्राफ़ से संबंधित होता है, क्योंकि यदि किसी भी एब्सिसास को मान्य मानों की श्रेणी से बाहर रखा जाता है, तो आपको ग्राफ़ पर खाली बिंदु खींचने या कुछ सीमाओं के भीतर ग्राफ़ खींचने की आवश्यकता होती है। उदाहरण के लिए, यदि फॉर्म y=tgx का ग्राफ लिया जाता है, तो मान x=pi / 2 + pin, n∉R को परिभाषा क्षेत्र से बाहर रखा जाता है, स्पर्शरेखा ग्राफ के मामले में, आपको आकर्षित करने की आवश्यकता होती हैy-अक्ष के समानांतर खड़ी रेखाएं (इन्हें स्पर्शोन्मुख कहा जाता है) ±pi/2. बिंदुओं से गुजरती हैं

फ़ंक्शन का कोई भी गहन और सावधानीपूर्वक अध्ययन गणित की एक बड़ी शाखा का निर्माण करता है जिसे कैलकुलस कहा जाता है। प्रारंभिक गणित में, कार्यों के बारे में प्राथमिक प्रश्नों पर भी ध्यान दिया जाता है, उदाहरण के लिए, एक साधारण ग्राफ बनाना और किसी फ़ंक्शन के कुछ बुनियादी गुणों को स्थापित करना।

कौन सा फंक्शन सेट किया जा सकता है

कार्य कर सकते हैं:

• एक सूत्र बनें, उदाहरण के लिए: y=cos x;
• फॉर्म के जोड़े की किसी भी तालिका द्वारा सेट (x; y);
• तत्काल एक ग्राफिकल दृश्य है, इसके लिए फॉर्म के पिछले आइटम (x; y) से जोड़े को निर्देशांक अक्षों पर प्रदर्शित किया जाना चाहिए।

कुछ उच्च-स्तरीय समस्याओं को हल करते समय सावधान रहें, फ़ंक्शन y (x) के मान के लिए कुछ तर्क के संबंध में लगभग किसी भी अभिव्यक्ति को एक फ़ंक्शन के रूप में माना जा सकता है। ऐसे कार्यों में परिभाषा का क्षेत्र खोजना समाधान की कुंजी हो सकता है।

क्या गुंजाइश है?

किसी फंक्शन का अध्ययन या निर्माण करने के लिए सबसे पहले आपको उसके बारे में जानने की जरूरत है, वह है उसका दायरा। ग्राफ़ में केवल वे बिंदु होने चाहिए जहाँ फ़ंक्शन मौजूद हो सकता है। परिभाषा के डोमेन (x) को स्वीकार्य मूल्यों के डोमेन के रूप में भी संदर्भित किया जा सकता है (संक्षिप्त रूप में ODZ)।

फ़ंक्शंस का ग्राफ़ सही ढंग से और तेज़ी से बनाने के लिए, आपको इस फ़ंक्शन के डोमेन को जानना होगा, क्योंकि ग्राफ़ की उपस्थिति और फ़िडेलिटी इस पर निर्भर करती हैनिर्माण। उदाहरण के लिए, एक फ़ंक्शन y=√x बनाने के लिए, आपको यह जानना होगा कि x केवल सकारात्मक मान ले सकता है। इसलिए, यह केवल प्रथम निर्देशांक चतुर्थांश में निर्मित होता है।

प्राथमिक कार्यों के उदाहरण पर परिभाषा का दायरा

अपने शस्त्रागार में, गणित के सरल, परिभाषित कार्यों की एक छोटी संख्या है। उनका दायरा सीमित है। आपके सामने तथाकथित जटिल कार्य होने पर भी इस समस्या का समाधान कठिनाइयों का कारण नहीं बनेगा। यह कई साधारण लोगों का एक संयोजन है।

1. इसलिए, फ़ंक्शन भिन्नात्मक हो सकता है, उदाहरण के लिए: f(x)=1/x। इस प्रकार, चर (हमारा तर्क) हर में है, और हर कोई जानता है कि एक अंश का हर 0 के बराबर नहीं हो सकता है, इसलिए, तर्क 0 को छोड़कर कोई भी मान ले सकता है। संकेतन इस तरह दिखेगा: डी (वाई)=x∈ (-∞; 0) (0; +∞)। यदि हर में एक चर के साथ कुछ अभिव्यक्ति है, तो आपको x के लिए समीकरण को हल करने और उन मानों को बाहर करने की आवश्यकता है जो हर को 0 में बदल देते हैं। एक योजनाबद्ध प्रतिनिधित्व के लिए, 5 अच्छी तरह से चुने गए बिंदु पर्याप्त हैं। इस फ़ंक्शन का ग्राफ़ एक हाइपरबोला होगा जिसमें एक ऊर्ध्वाधर स्पर्शोन्मुख बिंदु (0; 0) और संयोजन में, ऑक्स और ओए अक्षों से होकर गुजरेगा। यदि ग्राफिक छवि स्पर्शोन्मुख के साथ प्रतिच्छेद करती है, तो ऐसी त्रुटि को सबसे बड़ा माना जाएगा।
2. लेकिन रूट का डोमेन क्या है? एक रेडिकल एक्सप्रेशन (f(x)=√(2x + 5)) के साथ एक फ़ंक्शन के डोमेन, जिसमें एक चर होता है, की भी अपनी बारीकियां होती हैं (केवल एक सम डिग्री की जड़ पर लागू होती है)। जैसाअंकगणितीय मूल एक धनात्मक व्यंजक या 0 के बराबर है, तो मूल व्यंजक 0 से बड़ा या उसके बराबर होना चाहिए, हम निम्नलिखित असमानता को हल करते हैं: 2x + 5 ≧ 0, x -2, 5, इसलिए, इस का डोमेन फ़ंक्शन: डी (वाई)=एक्स (-2, 5; +∞)। ग्राफ एक परवलय की शाखाओं में से एक है, जिसे 90 डिग्री घुमाया जाता है, जो पहले निर्देशांक चतुर्थांश में स्थित होता है।
3. यदि हम एक लघुगणकीय कार्य के साथ काम कर रहे हैं, तो आपको याद रखना चाहिए कि लघुगणक के आधार और लघुगणक के संकेत के तहत अभिव्यक्ति के संबंध में एक प्रतिबंध है, इस मामले में आप परिभाषा के क्षेत्र को पा सकते हैं अनुसरण करता है। हमारे पास एक फ़ंक्शन है: y=log_{a(x + 7), हम असमानता को हल करते हैं: x + 7 > 0, x > -7। तब इस फलन का प्रांत D(y)=x (-7; +∞) है।}
4. y=tgx और y=ctgx के त्रिकोणमितीय कार्यों पर भी ध्यान दें, क्योंकि y=tgx=sinx/cos/x और y=ctgx=cosx/sinx, इसलिए, आपको मानों को बाहर करने की आवश्यकता है जिस पर हर शून्य के बराबर हो सकता है। यदि आप त्रिकोणमितीय फलनों के रेखांकन से परिचित हैं, तो उनके क्षेत्र को समझना एक सरल कार्य है।

जटिल कार्यों के साथ कैसे काम कर रहा है अलग

कुछ बुनियादी नियम याद रखें। यदि हम एक जटिल फ़ंक्शन के साथ काम कर रहे हैं, तो कुछ को हल करने, सरल बनाने, भिन्न जोड़ने, सबसे कम सामान्य भाजक को कम करने और जड़ों को निकालने की कोई आवश्यकता नहीं है। हमें इस फ़ंक्शन की जांच करनी चाहिए क्योंकि अलग-अलग (यहां तक कि समान) संचालन फ़ंक्शन के दायरे को बदल सकते हैं, जिसके परिणामस्वरूप गलत उत्तर हो सकता है।

उदाहरण के लिए, हमारे पास एक जटिल कार्य है: y=(x2 - 4)/(x - 2)। हम भिन्न के अंश और हर को कम नहीं कर सकते, क्योंकि यह तभी संभव है जब x 2, और यह फ़ंक्शन के डोमेन को खोजने का कार्य है, इसलिए हम अंश का कारक नहीं बनाते हैं और किसी भी असमानता को हल नहीं करते हैं, क्योंकि वह मान जिस पर फ़ंक्शन मौजूद नहीं है, नग्न आंखों को दिखाई देता है। इस मामले में, x मान 2 नहीं ले सकता, क्योंकि हर 0 पर नहीं जा सकता, संकेतन इस तरह दिखेगा: D(y)=x ∉ (-∞; 2) ∪ (2; +∞).

पारस्परिक कार्य

शुरुआत के लिए, यह कहने योग्य है कि एक फ़ंक्शन केवल वृद्धि या कमी के अंतराल पर प्रतिवर्ती हो सकता है। व्युत्क्रम फ़ंक्शन को खोजने के लिए, आपको x और y को नोटेशन में स्वैप करना होगा और x के लिए समीकरण को हल करना होगा। परिभाषा के डोमेन और मूल्य के डोमेन बस उलट दिए जाते हैं।

प्रतिवर्तीता के लिए मुख्य शर्त किसी फ़ंक्शन का एक मोनोटोन अंतराल है, यदि किसी फ़ंक्शन में वृद्धि और कमी के अंतराल हैं, तो किसी एक अंतराल (बढ़ते या घटते) के व्युत्क्रम फ़ंक्शन की रचना करना संभव है।

उदाहरण के लिए, घातांकीय फलन y=e^x के लिए व्युत्क्रम प्राकृतिक लघुगणकीय फलन है y=log_{ea=lna. त्रिकोणमिति के लिए, ये उपसर्ग चाप के साथ कार्य होंगे-: y=sinx और y=arcsinx और इसी तरह। कुछ अक्षों या अनंतस्पर्शियों के संबंध में रेखांकन सममित रूप से रखे जाएंगे।}

निष्कर्ष

कार्यों के ग्राफ की जांच करने के लिए स्वीकार्य मूल्यों की सीमा की खोज नीचे आती है (यदि कोई है तो),रिकॉर्डिंग और असमानताओं की आवश्यक विशिष्ट प्रणाली को हल करना।

तो, इस लेख ने आपको यह समझने में मदद की कि किसी फ़ंक्शन का दायरा क्या है और इसे कैसे खोजना है। हमें उम्मीद है कि यह आपको बुनियादी स्कूल पाठ्यक्रम को अच्छी तरह से समझने में मदद करेगा।