लघुगणक: उदाहरण और समाधान

2024 लेखक: Angel Austin | [email protected]. अंतिम बार संशोधित: 2024-01-02 17:47

जैसा कि आप जानते हैं, जब व्यंजकों को घातों से गुणा करते हैं, तो उनके घातांक हमेशा जोड़ते हैं (a^ba^c=a^{b+ सी)। यह गणितीय नियम आर्किमिडीज द्वारा प्राप्त किया गया था, और बाद में, 8 वीं शताब्दी में, गणितज्ञ विरासेन ने पूर्णांक संकेतकों की एक तालिका बनाई। यह वे थे जिन्होंने लघुगणक की आगे की खोज के लिए कार्य किया। इस फ़ंक्शन का उपयोग करने के उदाहरण लगभग हर जगह पाए जा सकते हैं जहां बोझिल गुणा को सरल जोड़ के लिए सरल बनाने की आवश्यकता होती है। यदि आप इस लेख को पढ़ने में 10 मिनट का समय लगाते हैं, तो हम आपको समझाएंगे कि लघुगणक क्या हैं और उनके साथ कैसे कार्य करें। सरल और सुलभ भाषा।}

गणित में परिभाषा

लघुगणक निम्नलिखित रूप का एक व्यंजक है: लॉग_ab=c c" जिसमें अंत में मान प्राप्त करने के लिए आपको आधार "a" को ऊपर उठाने की आवश्यकता है " बी"। आइए उदाहरणों का उपयोग करके लघुगणक का विश्लेषण करें, मान लें कि एक व्यंजक है लॉग_{28. उत्तर कैसे खोजा जाए? यह बहुत आसान है, आपको इतनी डिग्री ढूंढनी होगी कि 2 से आवश्यक डिग्री तक आपको 8 मिले। अपने दिमाग में कुछ गणना करने के बाद, हमें नंबर 3 मिलता है! और यह सच है, क्योंकि2 को 3 के घात तक बढ़ा कर उत्तर 8 दिया जाता है।}

लघुगणक की किस्में

कई विद्यार्थियों और छात्रों के लिए, यह विषय जटिल और समझ से बाहर लगता है, लेकिन वास्तव में, लॉगरिदम इतना डरावना नहीं है, मुख्य बात यह है कि उनके सामान्य अर्थ को समझना और उनके गुणों और कुछ नियमों को याद रखना। लघुगणक व्यंजक तीन अलग-अलग प्रकार के होते हैं:

1. प्राकृतिक लघुगणक ln a, जहां आधार यूलर संख्या (e=2, 7) है।
2. दशमलव लघुगणक lg a, जहां आधार संख्या 10 है।
3. किसी भी संख्या b का आधार a>1 का लघुगणक।

उनमें से प्रत्येक को एक मानक तरीके से हल किया जाता है, जिसमें लॉगरिदमिक प्रमेयों का उपयोग करके सरलीकरण, कमी और बाद में एक लघुगणक में कमी शामिल है। लघुगणक के सही मान प्राप्त करने के लिए, किसी को उनके गुण और उन्हें हल करने में क्रियाओं के क्रम को याद रखना चाहिए।

नियम और कुछ प्रतिबंध

गणित में कई नियम-प्रतिबंध हैं जो एक स्वयंसिद्ध के रूप में स्वीकार किए जाते हैं, अर्थात वे परक्राम्य नहीं हैं और सत्य हैं। उदाहरण के लिए, संख्याओं को शून्य से विभाजित करना असंभव है, और ऋणात्मक संख्याओं से सम मूल लेना भी असंभव है। लॉगरिदम के भी अपने नियम होते हैं, जिनका पालन करके आप आसानी से सीख सकते हैं कि लंबी और विशाल लॉगरिदमिक अभिव्यक्तियों के साथ भी कैसे काम करना है:

• "ए" का आधार हमेशा शून्य से बड़ा होना चाहिए, और साथ ही 1 के बराबर नहीं होना चाहिए, अन्यथा अभिव्यक्ति अपना अर्थ खो देगी, क्योंकि "1" और "0" किसी भी हद तक हमेशा होते हैं उनके मूल्यों के बराबर;
• अगर एक > 0, तो एकबी>0,यह पता चला है कि "c" भी शून्य से बड़ा होना चाहिए।

लघुगणक कैसे हल करें?

उदाहरण के लिए, समीकरण 10^x=100 का उत्तर खोजने का कार्य दिया गया है। यह बहुत आसान है, आपको ऐसी शक्ति चुनने की आवश्यकता है, संख्या दस बढ़ाकर, हम 100 प्राप्त करें। यह निश्चित रूप से ठीक है, द्विघात शक्ति! 10^2=100.

अब इस व्यंजक को लघुगणक के रूप में प्रस्तुत करते हैं। हमें लॉग मिलता है_{10100=2। लघुगणक को हल करते समय, सभी क्रियाएं व्यावहारिक रूप से उस शक्ति को खोजने के लिए अभिसरण करती हैं जिसमें किसी दिए गए नंबर को प्राप्त करने के लिए लॉगरिदम का आधार दर्ज किया जाना चाहिए।}

अज्ञात डिग्री के मूल्य को सटीक रूप से निर्धारित करने के लिए, आपको यह सीखना होगा कि डिग्री तालिका के साथ कैसे काम किया जाए। यह इस तरह दिखता है:

जैसा कि आप देख सकते हैं, कुछ घातांकों का सहज रूप से अनुमान लगाया जा सकता है यदि आपके पास गुणन तालिका की तकनीकी मानसिकता और ज्ञान है। हालांकि, बड़े मूल्यों के लिए पावर टेबल की आवश्यकता होगी। इसका उपयोग उनके द्वारा भी किया जा सकता है जो जटिल गणितीय विषयों में कुछ भी नहीं समझते हैं। बाएँ स्तंभ में संख्याएँ (आधार a) हैं, संख्याओं की शीर्ष पंक्ति घात c का मान है, जिससे संख्या a उठाई जाती है। प्रतिच्छेदन पर, कोशिकाएँ उन संख्याओं के मानों को परिभाषित करती हैं जो उत्तर हैं (ac=b)। आइए, उदाहरण के लिए, संख्या 10 के साथ बहुत पहले सेल को लें और इसे वर्ग करें, हमें 100 का मान मिलता है, जो हमारे दो कोशिकाओं के चौराहे पर इंगित किया गया है। सब कुछ इतना सरल और आसान है कि सबसे वास्तविक मानवतावादी भी समझ जाएगा!

समीकरण और असमानताएं

पता चला है कि जबकुछ शर्तों के तहत, घातांक लघुगणक है। इसलिए, किसी भी गणितीय संख्यात्मक व्यंजक को लघुगणक समीकरण के रूप में लिखा जा सकता है। उदाहरण के लिए, 3⁴=81 को आधार 3 के 81 के लघुगणक के रूप में लिखा जा सकता है, जो चार है (लॉग₃81=4)। नकारात्मक डिग्री के लिए, नियम समान हैं: 2^-5=1/32 को लघुगणक के रूप में लिखा जाता है, हमें लॉग_{2 (1/32) मिलता है)=-5। गणित के सबसे आकर्षक वर्गों में से एक "लघुगणक" का विषय है। समीकरणों के गुणों का अध्ययन करने के तुरंत बाद, हम समीकरणों के उदाहरणों और समाधानों पर थोड़ा कम विचार करेंगे। अभी के लिए, आइए देखें कि असमानताएँ कैसी दिखती हैं और उन्हें समीकरणों से कैसे अलग किया जाए।}

निम्नलिखित व्यंजक दिया गया है: log_{2(x-1) > 3 - यह एक लघुगणकीय असमानता है, क्योंकि अज्ञात मान "x" के चिह्न के नीचे है लघुगणक व्यंजक भी दो मानों की तुलना करता है: वांछित संख्या का आधार दो लघुगणक संख्या तीन से बड़ा है।}

लघुगणकीय समीकरणों और असमानताओं के बीच सबसे महत्वपूर्ण अंतर यह है कि लघुगणक वाले समीकरण (उदाहरण - लघुगणक₂x=√9) _{अर्थ उत्तर में एक या अधिक विशिष्ट संख्यात्मक मान, असमानता को हल करते समय, स्वीकार्य मानों की सीमा और इस फ़ंक्शन के ब्रेकपॉइंट दोनों निर्धारित किए जाते हैं। नतीजतन, उत्तर व्यक्तिगत संख्याओं का एक साधारण सेट नहीं है, जैसा कि समीकरण के उत्तर में है, बल्कि एक सतत श्रृंखला या संख्याओं का सेट है।}

लघुगणक पर मूल प्रमेय

लॉगरिदम के मूल्यों को खोजने के लिए आदिम कार्यों को हल करते समय, आप इसके गुणों को नहीं जान सकते हैं। हालांकि, जब लॉगरिदमिक समीकरणों या असमानताओं की बात आती है, तो सबसे पहले, लॉगरिदम के सभी बुनियादी गुणों को स्पष्ट रूप से समझना और व्यवहार में लागू करना आवश्यक है। हम बाद में समीकरणों के उदाहरणों से परिचित होंगे, आइए पहले प्रत्येक गुण का अधिक विस्तार से विश्लेषण करें।

1. मूल पहचान इस तरह दिखती है: alogaB=B. यह केवल तभी लागू होता है जब a 0 से बड़ा हो, एक के बराबर न हो, और B शून्य से बड़ा हो।
2. उत्पाद के लघुगणक को निम्न सूत्र में दर्शाया जा सकता है: लॉग_d(s₁s_2)=लॉगडी_एस1 _{+ लॉग}डी_एस2. _{इस मामले में, अनिवार्य शर्त है: d, s}1 _{और s}2 _{> 0; ए≠1. आप लघुगणक के इस सूत्र के लिए उदाहरण और समाधान के साथ एक प्रमाण दे सकते हैं। चलो लॉग करें}a_s1 _=f1 _{और लॉग करें}a_{s 2}=f₂, फिर a_f1=s¹, a f2_=s2. ^{हम पाते हैं कि s}1_s2 _=af1_a f2^=af1+f2 ^{(डिग्री गुण), और आगे परिभाषा के अनुसार: लॉग}a^(s1 _s2_)=f1_{+ f}2_=लॉग a_{s1 + log}a_s2, _{जो साबित होना था।}
3. भागफल का लघुगणक इस तरह दिखता है: log_a(s_1/s₂)=लॉग _as₁- लॉग_as_2.
4. सूत्र के रूप में प्रमेय निम्नलिखित रूप लेता है: लॉग_a^qbⁿ =n/q लॉग_ab.

इस सूत्र को "लघुगणक की घात का गुण" कहा जाता है। यह सामान्य डिग्री के गुणों जैसा दिखता है, और यह आश्चर्य की बात नहीं है, क्योंकि सभी गणित नियमित पदों पर टिकी हुई है। आइए सबूत देखें।

लॉग करें_ab=t, हमें एक^t=b मिलता है। यदि आप दोनों पक्षों को m घात तक बढ़ाते हैं: a^tn=b^;

लेकिन क्योंकि a^tn=(a^q)^nt/q=b^{, इसलिए लॉग करें}aq _bn=(nt)/t, फिर लॉग करें^a_q b_{n=n/q लॉग}a^{b. प्रमेय सिद्ध।}

समस्याओं और असमानताओं के उदाहरण

सबसे आम प्रकार की लघुगणक समस्याएं समीकरणों और असमानताओं के उदाहरण हैं। वे लगभग सभी समस्या पुस्तकों में पाए जाते हैं, और गणित में परीक्षा के अनिवार्य भाग में भी शामिल हैं। किसी विश्वविद्यालय में प्रवेश करने या गणित में प्रवेश परीक्षा उत्तीर्ण करने के लिए, आपको यह जानना होगा कि ऐसी समस्याओं को सही तरीके से कैसे हल किया जाए।

दुर्भाग्य से, लघुगणक के अज्ञात मान को हल करने और निर्धारित करने के लिए कोई एकल योजना या योजना नहीं है, लेकिन प्रत्येक गणितीय असमानता या लघुगणक समीकरण पर कुछ नियम लागू किए जा सकते हैं। सबसे पहले, आपको यह पता लगाना चाहिए कि क्या व्यंजक को सरल बनाया जा सकता है या सामान्य रूप में घटाया जा सकता है। यदि आप उनके गुणों का सही उपयोग करते हैं, तो आप लंबे लघुगणकीय व्यंजकों को सरल बना सकते हैं। आइए उन्हें जल्द ही जानते हैं।

लॉगरिदमिक समीकरणों को हल करते समय,यह निर्धारित करना आवश्यक है कि हमारे सामने किस प्रकार का लघुगणक है: एक व्यंजक के उदाहरण में एक प्राकृतिक लघुगणक या एक दशमलव हो सकता है।

यहां दशमलव लघुगणक के उदाहरण दिए गए हैं: ln100, ln1026. उनका समाधान इस तथ्य तक उबाल जाता है कि आपको यह निर्धारित करने की आवश्यकता है कि आधार 10 क्रमशः 100 और 1026 के बराबर होगा। प्राकृतिक लघुगणक के समाधान के लिए, लघुगणकीय पहचान या उनके गुणों को लागू करना चाहिए। आइए विभिन्न प्रकार की लघुगणकीय समस्याओं को हल करने के उदाहरण देखें।

लॉगरिदम फ़ार्मुलों का उपयोग कैसे करें: उदाहरणों और समाधानों के साथ

तो, आइए लघुगणक के बारे में मुख्य प्रमेयों के उपयोग के उदाहरण देखें।

1. उत्पाद के लघुगणक की संपत्ति का उपयोग उन कार्यों में किया जा सकता है जहां संख्या बी के बड़े मूल्य को सरल कारकों में विघटित करना आवश्यक है। उदाहरण के लिए, लॉग₂4 + लॉग₂128=लॉग₂(4128)=लॉग2_{512. उत्तर है 9.}
2. लॉग₄8=लॉग_2² 2³ =3/2 लॉग_{22=1, 5 - जैसा कि आप देख सकते हैं, लॉगरिदम की डिग्री की चौथी संपत्ति को लागू करके, हम पहली नज़र में हल करने में कामयाब रहे एक जटिल और अघुलनशील अभिव्यक्ति। आपको बस आधार का गुणनखंड करना है और फिर लघुगणक के चिह्न से शक्ति को निकालना है।}

परीक्षा से असाइनमेंट

लॉगरिदम अक्सर प्रवेश परीक्षाओं में पाए जाते हैं, विशेष रूप से एकीकृत राज्य परीक्षा (सभी स्कूल स्नातकों के लिए राज्य परीक्षा) में लॉगरिदमिक समस्याओं का एक बहुत। आमतौर पर ये कार्य न केवल भाग ए (सबसे अधिक.) में मौजूद होते हैंपरीक्षा का आसान परीक्षण भाग), लेकिन भाग सी (सबसे कठिन और भारी कार्य) में भी। परीक्षा के लिए "प्राकृतिक लघुगणक" विषय का सटीक और सही ज्ञान आवश्यक है।

उदाहरण और समस्या समाधान परीक्षा के आधिकारिक संस्करणों से लिए गए हैं। आइए देखें कि ऐसे कार्यों को कैसे हल किया जाता है।

दिए गए लॉग₂(2x-1)=4. समाधान:

एक्सप्रेशन को फिर से लिखें, इसे थोड़ा सा सरल करें लॉग_2(2x-1)=22^{, लघुगणक की परिभाषा से हम पाते हैं कि 2x-1=2}4^{, इसलिए 2x=17; एक्स=8, 5.}

कुछ दिशा-निर्देशों का पालन करते हुए, जिनका पालन करके आप उन सभी समीकरणों को आसानी से हल कर सकते हैं जिनमें व्यंजक हैं जो लघुगणक के चिह्न के अंतर्गत हैं।

• सभी लघुगणक को एक ही आधार पर कम करना सबसे अच्छा है ताकि समाधान बोझिल और भ्रमित करने वाला न हो।
• लघुगणक चिह्न के अंतर्गत सभी व्यंजक धनात्मक के रूप में इंगित किए जाते हैं, इसलिए जब व्यंजक के घातांक को लघुगणक चिह्न के अंतर्गत और उसके आधार के रूप में गुणा करते हैं, तो लघुगणक के नीचे शेष व्यंजक धनात्मक होना चाहिए।