चर क्या हैं? गणित में चर

2024 लेखक: Angel Austin | [email protected]. अंतिम बार संशोधित: 2024-01-02 17:47

गणित में चर का महत्व बहुत अधिक है, क्योंकि इसके अस्तित्व के दौरान, वैज्ञानिक इस क्षेत्र में कई खोज करने में कामयाब रहे, और इस या उस प्रमेय को संक्षेप में और स्पष्ट रूप से बताने के लिए, हम संबंधित सूत्रों को लिखने के लिए चर का उपयोग करते हैं।. उदाहरण के लिए, एक समकोण त्रिभुज पर पाइथागोरस प्रमेय: a² =b² + c^{2। किसी समस्या को हल करते समय हर बार कैसे लिखें: पाइथागोरस प्रमेय के अनुसार, कर्ण का वर्ग पैरों के वर्गों के योग के बराबर होता है - हम इसे एक सूत्र के साथ लिखते हैं, और सब कुछ तुरंत स्पष्ट हो जाता है।}

तो, यह लेख चर्चा करेगा कि चर क्या हैं, उनके प्रकार और गुण। विभिन्न गणितीय अभिव्यक्तियों पर भी विचार किया जाएगा: उनके समाधान के लिए असमानताएं, सूत्र, सिस्टम और एल्गोरिदम।

परिवर्तनीय अवधारणा

सबसे पहले, एक वेरिएबल क्या है? यह एक संख्यात्मक मान है जो कई मान ले सकता है। यह स्थिर नहीं हो सकता, क्योंकि विभिन्न समस्याओं और समीकरणों में, सुविधा के लिए, हम समाधान इस प्रकार लेते हैंचर भिन्न संख्याएँ, अर्थात्, उदाहरण के लिए, z प्रत्येक मात्रा के लिए एक सामान्य पदनाम है जिसके लिए इसे लिया गया है। आमतौर पर उन्हें लैटिन या ग्रीक वर्णमाला (x, y, a, b, और इसी तरह) के अक्षरों से दर्शाया जाता है।

विभिन्न प्रकार के चर हैं। वे कुछ भौतिक मात्राएँ - पथ (S), समय (t), और समीकरणों, कार्यों और अन्य भावों में बस अज्ञात मान दोनों निर्धारित करते हैं।

उदाहरण के लिए, एक सूत्र है: S=Vt। यहां, चर वास्तविक दुनिया से संबंधित कुछ मात्राओं को दर्शाते हैं - पथ, गति और समय।

और फॉर्म का एक समीकरण है: 3x - 16=12x। यहाँ, x को पहले से ही एक अमूर्त संख्या के रूप में लिया गया है जो इस संकेतन में समझ में आता है।

मात्राओं के प्रकार

राशि का अर्थ कुछ ऐसा है जो किसी निश्चित वस्तु, पदार्थ या घटना के गुणों को व्यक्त करता है। उदाहरण के लिए, हवा का तापमान, एक जानवर का वजन, एक गोली में विटामिन का प्रतिशत - ये सभी मात्राएँ हैं जिनके संख्यात्मक मूल्यों की गणना की जा सकती है।

प्रत्येक मात्रा की माप की अपनी इकाइयाँ होती हैं, जो मिलकर एक प्रणाली बनाती हैं। इसे संख्या प्रणाली (एसआई) कहा जाता है।

चर और स्थिरांक क्या हैं? विशिष्ट उदाहरणों के साथ उन पर विचार करें।

आइए रेक्टिलिनियर एकसमान गति करें। अंतरिक्ष में एक बिंदु हर बार एक ही गति से चलता है। यानी समय और दूरी बदल जाती है, लेकिन गति वही रहती है। इस उदाहरण में, समय और दूरी चर हैं, और गति स्थिर है।

या, उदाहरण के लिए, "पाई"। यह एक अपरिमेय संख्या है जो बिना दोहराए जारी रहती हैअंकों का एक क्रम और पूर्ण रूप से नहीं लिखा जा सकता है, इसलिए गणित में इसे आम तौर पर स्वीकृत प्रतीक द्वारा व्यक्त किया जाता है जो केवल दिए गए अनंत अंश का मान लेता है। अर्थात्, "pi" एक स्थिर मान है।

इतिहास

चरों के अंकन का इतिहास सत्रहवीं शताब्दी में वैज्ञानिक रेने डेसकार्टेस के साथ शुरू होता है।

उन्होंने वर्णमाला के पहले अक्षरों के साथ ज्ञात मानों को निर्दिष्ट किया: ए, बी और इसी तरह, और अज्ञात के लिए उन्होंने अंतिम अक्षरों का उपयोग करने का सुझाव दिया: x, y, z। यह उल्लेखनीय है कि डेसकार्टेस ने ऐसे चर को गैर-ऋणात्मक संख्या माना, और जब नकारात्मक मापदंडों का सामना किया, तो उन्होंने चर के सामने एक ऋण चिह्न लगाया या, यदि यह ज्ञात नहीं था कि संख्या क्या थी, तो एक दीर्घवृत्त। लेकिन समय के साथ, चरों के नाम किसी भी चिन्ह की संख्या को दर्शाने लगे, और यह गणितज्ञ जोहान हड के साथ शुरू हुआ।

चर के साथ, गणित में गणनाओं को हल करना आसान होता है, क्योंकि, उदाहरण के लिए, अब हम द्विघात समीकरणों को कैसे हल करते हैं? हम एक चर दर्ज करते हैं। उदाहरण के लिए:

x⁴ + 15x^{2 + 7=0}

x2 के लिए हम कुछ k लेते हैं, और समीकरण स्पष्ट हो जाता है:

x2=k, k 0 के लिए

k2 + 15k + 7=0

वैरिएबल का परिचय गणित में यही लाता है।

असमानता, समाधान के उदाहरण

असमानता एक ऐसा रिकॉर्ड है जिसमें दो गणितीय व्यंजक या दो संख्याएं तुलना चिह्नों से जुड़ी होती हैं:,,. वे सख्त हैं और संकेतों द्वारा इंगित किए जाते हैं या संकेतों के साथ गैर-सख्त होते हैं,.

पहली बार पेश हुए ये संकेतथॉमस हैरियट। थॉमस की मृत्यु के बाद, इन नोटेशन वाली उनकी पुस्तक प्रकाशित हुई, गणितज्ञों ने उन्हें पसंद किया, और समय के साथ वे गणितीय गणनाओं में व्यापक रूप से उपयोग हो गए।

एकल चर असमानताओं को हल करते समय पालन करने के लिए कई नियम हैं:

किसी संख्या को असमानता के एक भाग से दूसरे भाग में स्थानांतरित करते समय, उसके चिह्न को विपरीत दिशा में बदलें।
असमानता के भागों को ऋणात्मक संख्या से गुणा या भाग करने पर उनके चिन्ह उलट जाते हैं।
यदि आप असमानता के दोनों पक्षों को एक धनात्मक संख्या से गुणा या विभाजित करते हैं, तो आपको मूल संख्या के बराबर असमानता प्राप्त होती है।

असमानता को हल करने का अर्थ है एक चर के लिए सभी मान्य मान खोजना।

एकल चर उदाहरण:

10x - 50 > 150

हम इसे एक सामान्य रैखिक समीकरण की तरह हल करते हैं - हम एक चर के साथ शब्दों को बाईं ओर, बिना किसी चर के - दाईं ओर ले जाते हैं और समान शब्द देते हैं:

10x > 200

हम असमानता के दोनों पक्षों को 10 से विभाजित करते हैं और प्राप्त करते हैं:

x > 20

स्पष्टता के लिए, एक चर के साथ असमानता को हल करने के उदाहरण में, एक संख्या रेखा खींचें, उस पर छेद किए गए बिंदु 20 को चिह्नित करें, क्योंकि असमानता सख्त है, और यह संख्या इसके समाधान के सेट में शामिल नहीं है.

इस असमानता का समाधान अंतराल (20; +∞) है।

गैर-सख्त असमानता का समाधान उसी तरह किया जाता है जैसे सख्त असमानता:

6x - 12 18

6x ≧ 30

x 5

लेकिन एक अपवाद है। फॉर्म x 5 के रिकॉर्ड को इस प्रकार समझा जाना चाहिए: x पांच से बड़ा या उसके बराबर है, जिसका अर्थ हैसंख्या पांच को असमानता के सभी समाधानों के सेट में शामिल किया जाता है, अर्थात उत्तर लिखते समय, हम संख्या पांच के सामने एक वर्ग कोष्ठक लगाते हैं।

x [5; +∞)

वर्ग असमानताएं

यदि हम ax2 + bx +c=0 के रूप का द्विघात समीकरण लेते हैं और उसमें समान चिह्न को असमानता चिह्न में बदलते हैं, तो हम तदनुसार एक प्राप्त करेंगे द्विघात असमानता।

द्विघात असमानता को हल करने के लिए, आपको द्विघात समीकरणों को हल करने में सक्षम होना चाहिए।

y=ax2 + bx + c एक द्विघात फलन है। हम इसे विवेचक का उपयोग करके, या विएटा प्रमेय का उपयोग करके हल कर सकते हैं। याद कीजिए कि इन समीकरणों को कैसे हल किया जाता है:

1) y=x2 + 12x + 11 - फलन एक परवलय है। इसकी शाखाएं ऊपर की ओर निर्देशित होती हैं, क्योंकि गुणांक "a" का चिन्ह धनात्मक होता है।

2) x2 + 12x + 11=0 - शून्य के बराबर और विवेचक का उपयोग करके हल करें।

ए=1, बी=12, सी=11

D=b2 - 4ac=144 - 44=100 > 0, 2 जड़ें

द्विघात समीकरण के मूलों के सूत्र के अनुसार, हमें प्राप्त होता है:

x₁ =-1, x_2=-11

या आप Vieta प्रमेय का उपयोग करके इस समीकरण को हल कर सकते हैं:

x₁ + x₂ =-b/a, x₁ + x _2=-12

x₁x₂ =सी/ए, एक्स₁x₂₌₁₁

चयन विधि का उपयोग करके, हम समीकरण के समान मूल प्राप्त करते हैं।

परबोला

तो, द्विघात असमानता को हल करने का पहला तरीका एक परवलय है। इसे हल करने के लिए एल्गोरिथ्म इस प्रकार है:

1. निर्धारित करें कि परवलय की शाखाएँ कहाँ निर्देशित हैं।

2.फ़ंक्शन को शून्य के बराबर करें और समीकरण की जड़ों को खोजें।

3. हम एक संख्या रेखा बनाते हैं, उस पर जड़ों को चिह्नित करते हैं, एक परवलय खींचते हैं और असमानता के संकेत के आधार पर हमें जो अंतर चाहिए, उसे ढूंढते हैं।

असमानता को हल करें x2 + x - 12 > 0

एक समारोह के रूप में लिखें:

1) y=x2 + x - 12 - परवलय, शाखाएं ऊपर।

शून्य पर सेट करें।

2) x2 + x -12=0

अगला, हम द्विघात समीकरण के रूप में हल करते हैं और फ़ंक्शन के शून्य पाते हैं:

x₁ =3, x_2=-4

3) अंक 3 और -4 के साथ एक संख्या रेखा खींचें। परवलय उनसे होकर गुजरेगा, शाखाएं ऊपर उठेंगी और असमानता का उत्तर सकारात्मक मूल्यों का एक समुच्चय होगा, अर्थात (-∞; -4), (3; +∞).

अंतराल विधि

दूसरा तरीका है रिक्ति विधि। इसे हल करने के लिए एल्गोरिथम:

1. उस समीकरण के मूल ज्ञात कीजिए जिसके लिए असमानता शून्य के बराबर है।

2. हम उन्हें संख्या रेखा पर अंकित करते हैं। इस प्रकार, यह कई अंतरालों में विभाजित है।

3. किसी भी अंतराल का चिह्न ज्ञात कीजिए।

4. हम शेष अंतरालों पर चिह्न लगाते हैं, उन्हें एक के बाद एक बदलते हैं।

असमानता को हल करें (x - 4)(x - 5)(x + 7) ≦ 0

1) असमानता शून्य: 4, 5 और -7.

2) उन्हें संख्या रेखा पर खींचिए।

3) अंतराल के संकेत निर्धारित करें।

उत्तर: (-∞; -7]; [4; 5]।

एक और असमानता को हल करें: x2(3x - 6)(x + 2)(x - 1) > 0

1. असमानता शून्य: 0, 2, -2 और 1.

2. उन्हें संख्या रेखा पर चिह्नित करें।

3.अंतराल संकेत निर्धारित करें।

रेखा अंतरालों में विभाजित है - -2 से 0 तक, 0 से 1 तक, 1 से 2 तक।

पहले अंतराल पर मान लें - (-1)। असमानता में बदलें। इस मान के साथ, असमानता धनात्मक हो जाती है, जिसका अर्थ है कि इस अंतराल पर चिन्ह + होगा।

आगे, पहले अंतराल से शुरू करते हुए, हम संकेतों को एक के बाद एक बदलते हुए व्यवस्थित करते हैं।

असमानता शून्य से अधिक है, यानी आपको लाइन पर सकारात्मक मूल्यों का एक सेट खोजने की जरूरत है।

उत्तर: (-2; 0), (1; 2)।

समीकरणों के सिस्टम

दो चर वाले समीकरणों की एक प्रणाली दो समीकरण हैं जो एक घुंघराले ब्रेस से जुड़ते हैं जिसके लिए एक सामान्य समाधान खोजना आवश्यक है।

सिस्टम समकक्ष हो सकते हैं यदि उनमें से एक का सामान्य समाधान दूसरे का समाधान है, या दोनों का कोई समाधान नहीं है।

हम दो चर वाले समीकरण प्रणालियों के हल का अध्ययन करेंगे। इन्हें हल करने के दो तरीके हैं - प्रतिस्थापन विधि या बीजगणितीय विधि।

बीजगणितीय विधि

इस पद्धति का उपयोग करके चित्र में दिखाए गए सिस्टम को हल करने के लिए, आपको पहले इसके किसी एक भाग को ऐसी संख्या से गुणा करना होगा, ताकि बाद में आप समीकरण के दोनों भागों से एक चर को परस्पर रद्द कर सकें। यहां हम तीन से गुणा करते हैं, सिस्टम के नीचे एक रेखा खींचते हैं और इसके भागों को जोड़ते हैं। नतीजतन, x मापांक में समान हो जाते हैं, लेकिन संकेत में विपरीत होते हैं, और हम उन्हें कम करते हैं। इसके बाद, हम एक चर के साथ एक रैखिक समीकरण प्राप्त करते हैं और इसे हल करते हैं।

हमें Y मिल गया, लेकिन हम वहाँ नहीं रुक सकते, क्योंकि हमें अभी तक X नहीं मिला है। विकल्पवाई उस हिस्से तक जहां से एक्स को वापस लेना सुविधाजनक होगा, उदाहरण के लिए:

-x + 5y=8, साथ में y=1

-x + 5=8

परिणामी समीकरण को हल करें और x ज्ञात करें।

-x=-5 + 8

-x=3

x=-3

सिस्टम के समाधान में मुख्य बात उत्तर को सही ढंग से लिखना है। कई छात्र लिखने की गलती करते हैं:

उत्तर: -3, 1.

लेकिन यह गलत प्रविष्टि है। आखिरकार, जैसा कि पहले ही ऊपर उल्लेख किया गया है, समीकरणों की एक प्रणाली को हल करते समय, हम इसके भागों के लिए एक सामान्य समाधान की तलाश कर रहे हैं। सही उत्तर होगा:

(-3; 1)