स्कूल में भी, सभी छात्र "यूक्लिडियन ज्यामिति" की अवधारणा से परिचित हो जाते हैं, जिसके मुख्य प्रावधान बिंदु, विमान, रेखा, गति जैसे ज्यामितीय तत्वों पर आधारित कई स्वयंसिद्धों के आसपास केंद्रित होते हैं। ये सभी मिलकर "यूक्लिडियन स्पेस" शब्द के तहत लंबे समय से जाने जाते हैं।
यूक्लिडियन अंतरिक्ष, जिसकी परिभाषा वैक्टर के अदिश गुणन की अवधारणा पर आधारित है, एक रैखिक (एफ़िन) स्थान का एक विशेष मामला है जो कई आवश्यकताओं को पूरा करता है। सबसे पहले, वैक्टर का स्केलर उत्पाद बिल्कुल सममित है, अर्थात, निर्देशांक (x;y) के साथ वेक्टर मात्रात्मक रूप से निर्देशांक (y;x) वाले वेक्टर के समान है, लेकिन दिशा में विपरीत है।
दूसरा, यदि किसी सदिश का अदिश गुणन स्वयं के साथ किया जाता है, तो इस क्रिया का परिणाम सकारात्मक होगा। एकमात्र अपवाद तब होगा जब इस वेक्टर के प्रारंभिक और अंतिम निर्देशांक शून्य के बराबर होंगे: इस मामले में, इसका उत्पाद भी शून्य के बराबर होगा।
तीसरा, स्केलर उत्पाद वितरणात्मक है, अर्थात, इसके एक निर्देशांक को दो मानों के योग में विघटित करना संभव है, जिससे वैक्टर के अदिश गुणन के अंतिम परिणाम में कोई परिवर्तन नहीं होगा। अंत में, चौथा, जब सदिशों को एक ही वास्तविक संख्या से गुणा किया जाता है, तो उनका अदिश गुणनफल भी उसी कारक से बढ़ जाएगा।
यदि ये सभी चार शर्तें पूरी होती हैं, तो हम विश्वास के साथ कह सकते हैं कि हमारे पास एक यूक्लिडियन स्थान है।
एक व्यावहारिक दृष्टिकोण से यूक्लिडियन स्थान को निम्नलिखित विशिष्ट उदाहरणों द्वारा चित्रित किया जा सकता है:
- ज्यामिति के मूल नियमों के अनुसार परिभाषित एक अदिश उत्पाद के साथ वैक्टर के एक सेट की उपस्थिति सबसे सरल मामला है।
- यूक्लिडियन स्थान भी प्राप्त किया जाएगा यदि वैक्टर से हमारा मतलब वास्तविक संख्याओं के एक निश्चित परिमित सेट से है जो उनके स्केलर योग या उत्पाद का वर्णन करने वाले दिए गए सूत्र के साथ है।
- यूक्लिडियन अंतरिक्ष का एक विशेष मामला तथाकथित शून्य स्थान है, जो प्राप्त होता है यदि दोनों वैक्टर की अदिश लंबाई शून्य के बराबर है।
यूक्लिडियन स्पेस में कई विशिष्ट गुण हैं। सबसे पहले, अदिश गुणनफल को अदिश गुणनफल के पहले और दूसरे गुणनखंड दोनों से कोष्ठकों से निकाला जा सकता है, इससे परिणाम किसी भी तरह से नहीं बदलेगा। दूसरा, अदिश के पहले तत्व के वितरण के साथउत्पाद, दूसरे तत्व की वितरणता भी कार्य करती है। इसके अलावा, सदिशों के अदिश योग के अलावा, सदिश घटाव के मामले में भी वितरण होता है। अंत में, तीसरा, जब एक सदिश को शून्य से अदिश रूप से गुणा किया जाता है, तो परिणाम भी शून्य होगा।
इस प्रकार, यूक्लिडियन स्थान सबसे महत्वपूर्ण ज्यामितीय अवधारणा है जिसका उपयोग एक दूसरे के सापेक्ष वैक्टर की पारस्परिक व्यवस्था के साथ समस्याओं को हल करने में किया जाता है, जो कि स्केलर उत्पाद जैसी अवधारणा की विशेषता है।
