विश्वविद्यालय गणित के सबसे कठिन और समझ से बाहर के विषयों में से एक एकीकरण और अंतर कलन है। आपको इन अवधारणाओं को जानने और समझने की आवश्यकता है, साथ ही उन्हें लागू करने में सक्षम होना चाहिए। कई विश्वविद्यालय तकनीकी विषय अंतर और अभिन्न से बंधे हैं।
समीकरणों के बारे में संक्षिप्त जानकारी
ये समीकरण शैक्षिक प्रणाली में सबसे महत्वपूर्ण गणितीय अवधारणाओं में से एक हैं। डिफरेंशियल इक्वेशन एक ऐसा समीकरण है जो स्वतंत्र चरों, मिलने वाले फलन और उस फलन के व्युत्पन्नों को उन चरों से जोड़ता है जिन्हें स्वतंत्र माना जाता है। एक चर का फलन ज्ञात करने के लिए अवकलन को साधारण कहा जाता है। यदि वांछित फलन कई चरों पर निर्भर करता है, तो एक आंशिक अवकल समीकरण की बात करता है।
वास्तव में, समीकरण का एक निश्चित उत्तर खोजना एकीकरण के लिए नीचे आता है, और समाधान विधि समीकरण के प्रकार से निर्धारित होती है।
पहले क्रम के समीकरण
एक प्रथम-क्रम अंतर समीकरण एक समीकरण है जो एक चर, एक वांछित फ़ंक्शन और इसके पहले व्युत्पन्न का वर्णन कर सकता है। इस तरह के समीकरण तीन रूपों में दिए जा सकते हैं: स्पष्ट, निहित, अंतर।
अवधारणाओं को हल करने की आवश्यकता है
आरंभिक स्थिति - स्वतंत्र चर के दिए गए मान के लिए वांछित फ़ंक्शन का मान सेट करना।
डिफरेंशियल इक्वेशन का सॉल्यूशन - कोई भी डिफरेंशियल फंक्शन, जिसे मूल इक्वेशन में बिल्कुल बदल दिया जाता है, उसे एकसमान बराबर में बदल देता है। प्राप्त समाधान, जो स्पष्ट नहीं है, समीकरण का अभिन्न अंग है।
डिफरेंशियल इक्वेशन का सामान्य हल एक फ़ंक्शन y=y(x;C) है, जो निम्नलिखित निर्णयों को संतुष्ट कर सकता है:
- एक फ़ंक्शन में केवल एक मनमाना स्थिरांक हो सकता है.
- परिणामी फ़ंक्शन किसी भी मनमाना स्थिरांक के किसी भी मनमाना मान के लिए समीकरण का समाधान होना चाहिए।
- दी गई प्रारंभिक स्थिति के साथ, एक मनमाना स्थिरांक को एक अनोखे तरीके से परिभाषित किया जा सकता है ताकि परिणामी विशेष समाधान दी गई प्रारंभिक प्रारंभिक स्थिति के अनुरूप हो।
व्यवहार में, कॉची समस्या का अक्सर उपयोग किया जाता है - एक ऐसा समाधान खोजना जो विशेष हो और जिसकी तुलना शुरुआत में निर्धारित स्थिति से की जा सके।
कॉची की प्रमेय एक प्रमेय है जो अंतर कलन में एक विशेष समाधान के अस्तित्व और विशिष्टता पर जोर देती है।
ज्यामितीय अर्थ:
- सामान्य समाधान y=y(x;C)समीकरण पूर्णांक वक्रों की कुल संख्या है।
- डिफरेंशियल कैलकुलस आपको XOY प्लेन में एक बिंदु के निर्देशांक और इंटीग्रल कर्व पर खींची गई स्पर्शरेखा को जोड़ने की अनुमति देता है।
- प्रारंभिक स्थिति निर्धारित करने का अर्थ है विमान पर एक बिंदु सेट करना।
- कॉची समस्या को हल करने का मतलब है कि समीकरण के एक ही समाधान का प्रतिनिधित्व करने वाले अभिन्न वक्रों के पूरे सेट से, केवल एक ही संभावित बिंदु से गुजरने वाले एक का चयन करना आवश्यक है।
- एक बिंदु पर कॉची प्रमेय की शर्तों की पूर्ति का मतलब है कि एक अभिन्न वक्र (इसके अलावा, केवल एक) आवश्यक रूप से विमान में चुने हुए बिंदु से होकर गुजरता है।
वियोज्य चर समीकरण
परिभाषा के अनुसार, डिफरेंशियल इक्वेशन एक ऐसा समीकरण होता है, जहां इसका दायां पक्ष दो कार्यों के उत्पाद (कभी-कभी अनुपात) के रूप में वर्णन करता है या परिलक्षित होता है, एक केवल "x" पर निर्भर करता है, और दूसरा - केवल "y" पर निर्भर करता है "। इस प्रकार के लिए एक स्पष्ट उदाहरण: y'=f1(x)f2(y).
किसी विशेष रूप के समीकरणों को हल करने के लिए, आपको पहले व्युत्पन्न y'=dy/dx को बदलना होगा। फिर, समीकरण में हेरफेर करके, आपको इसे एक ऐसे रूप में लाना होगा जहाँ आप समीकरण के दो भागों को एकीकृत कर सकें। आवश्यक परिवर्तनों के बाद, हम दोनों भागों को एकीकृत करते हैं और परिणाम को सरल बनाते हैं।
सजातीय समीकरण
परिभाषा के अनुसार, एक अवकल समीकरण को सजातीय कहा जा सकता है यदि उसके निम्नलिखित रूप हैं: y'=g(y/x).
इस मामले में, प्रतिस्थापन y/x=सबसे अधिक बार उपयोग किया जाता हैटी(एक्स).
ऐसे समीकरणों को हल करने के लिए, एक समांगी समीकरण को वियोज्य चर वाले रूप में कम करना आवश्यक है। ऐसा करने के लिए, आपको निम्नलिखित ऑपरेशन करने होंगे:
- किसी भी मूल फ़ंक्शन से मूल फ़ंक्शन के व्युत्पन्न को नए समीकरण के रूप में प्रदर्शित करते हुए प्रदर्शित करें।
- अगला चरण परिणामी फ़ंक्शन को f(x;y)=g(y/x) के रूप में बदलना है। सरल शब्दों में, समीकरण में केवल y/x और अचर का अनुपात हो।
- निम्न प्रतिस्थापन करें: y/x=t(x); वाई=टी (एक्स)एक्स; वाई'=टी'एक्स + टी। किया गया प्रतिस्थापन चरों को समीकरण में विभाजित करने में मदद करेगा, धीरे-धीरे इसे सरल रूप में लाएगा।
रैखिक समीकरण
ऐसे समीकरणों की परिभाषा इस प्रकार है: एक रेखीय अवकल समीकरण एक ऐसा समीकरण होता है जिसमें मूल फलन के संबंध में इसका दायां पक्ष एक रैखिक व्यंजक के रूप में व्यक्त किया जाता है। इस मामले में वांछित कार्य: y'=a(x)y + b(x).
आइए परिभाषा को इस प्रकार से फिर से परिभाषित करें: 1 क्रम का कोई भी समीकरण अपने रूप में रैखिक हो जाएगा यदि मूल फ़ंक्शन और उसके व्युत्पन्न को प्रथम डिग्री समीकरण में शामिल किया जाता है और एक दूसरे से गुणा नहीं किया जाता है। एक रैखिक अंतर समीकरण के "शास्त्रीय रूप" में निम्नलिखित संरचना होती है: y' + P(x)y=Q(x).
ऐसे समीकरण को हल करने से पहले इसे "शास्त्रीय रूप" में बदलना चाहिए। अगला चरण समाधान विधि का चुनाव होगा: बर्नौली विधि या लैग्रेंज विधि।
समीकरण को हल करनाबर्नौली द्वारा शुरू की गई विधि का उपयोग करते हुए, एक रैखिक अंतर समीकरण के प्रतिस्थापन और कमी को दो समीकरणों के लिए अलग-अलग चर के साथ यू (एक्स) और वी (एक्स) के सापेक्ष घटाया जाता है, जो उनके मूल रूप में दिए गए थे।
लैग्रेंज विधि मूल समीकरण का एक सामान्य हल खोजना है।
- सजातीय समीकरण का वही हल निकालना आवश्यक है। खोजने के बाद, हमारे पास फलन y=y(x, C) प्राप्त होता है, जहाँ C एक मनमाना स्थिरांक है।
- हम उसी रूप में मूल समीकरण का हल ढूंढ रहे हैं, लेकिन हम C=C(x) पर विचार करते हैं। हम फलन y=y(x, C(x)) को मूल समीकरण में प्रतिस्थापित करते हैं, फलन C(x) पाते हैं और सामान्य मूल समीकरण का हल लिखते हैं।
बर्नौली समीकरण
बर्नौली का समीकरण - यदि कलन का दाहिना भाग f(x;y)=a(x)y + b(x)yk का रूप लेता है, जहां k कोई भी संभावित परिमेय संख्यात्मक मान है, न कि एक के रूप में उदाहरण के मामले जब के=0 और के=1.
यदि k=1 है, तो कलन वियोज्य हो जाता है, और जब k=0 होता है, तो समीकरण रैखिक रहता है।
आइए इस प्रकार के समीकरण को हल करने के सामान्य मामले पर विचार करें। हमारे पास मानक बर्नौली समीकरण है। इसे एक रैखिक में घटाया जाना चाहिए, इसके लिए आपको समीकरण को yk से विभाजित करना होगा। इस ऑपरेशन के बाद, z(x)=y1-k को बदलें। परिवर्तनों की एक श्रृंखला के बाद, समीकरण को एक रैखिक में घटा दिया जाएगा, सबसे अधिक बार प्रतिस्थापन विधि z=UV द्वारा।
कुल अंतर में समीकरण
परिभाषा। संरचना P(x;y)dx + Q(x;y)dy=0 के साथ एक समीकरण को पूर्ण रूप से एक समीकरण कहा जाता हैअंतर, यदि निम्न शर्त पूरी होती है (इस स्थिति में, "d" एक आंशिक अंतर है): dP(x;y)/dy=dQ(x;y)/dx.
पहले माने गए सभी प्रथम-क्रम अंतर समीकरणों को अंतर के रूप में प्रदर्शित किया जा सकता है।
ऐसी गणनाओं को कई तरह से हल किया जाता है। लेकिन, हालांकि, वे सभी एक शर्त जांच के साथ शुरू करते हैं। यदि शर्त संतुष्ट है, तो समीकरण का सबसे बायां क्षेत्र अभी तक अज्ञात फ़ंक्शन U(x;y) का कुल अंतर है। फिर, समीकरण के अनुसार, dU (x; y) शून्य के बराबर होगा, और इसलिए कुल अंतर में समीकरण का समान अभिन्न U (x; y) u003d C. के रूप में प्रदर्शित किया जाएगा। इसलिए, समीकरण का हल फ़ंक्शन U (x; y) खोजने के लिए घटाया गया है।
एकीकरण कारक
यदि शर्त dP(x;y)/dy=dQ(x;y)/dx समीकरण में संतुष्ट नहीं है, तो समीकरण का वह रूप नहीं है जिसे हमने ऊपर माना है। लेकिन कभी-कभी कुछ फ़ंक्शन M(x;y) को चुनना संभव होता है, जब इसे गुणा किया जाता है, जिससे समीकरण पूर्ण रूप से "diffurs" में एक समीकरण का रूप ले लेता है। फलन M (x;y) को समाकलन कारक कहा जाता है।
एक इंटीग्रेटर तभी मिल सकता है जब वह केवल एक वेरिएबल का फंक्शन बन जाए।
