जटिल संख्याएं: परिभाषा और बुनियादी अवधारणाएं

2024 लेखक: Angel Austin | [email protected]. अंतिम बार संशोधित: 2023-12-17 05:27

द्विघात समीकरण के गुणों का अध्ययन करते समय, एक प्रतिबंध निर्धारित किया गया था - शून्य से कम के विवेचक के लिए, कोई समाधान नहीं है। यह तुरंत निर्धारित किया गया था कि हम वास्तविक संख्याओं के एक समूह के बारे में बात कर रहे हैं। एक गणितज्ञ के जिज्ञासु मन की दिलचस्पी होगी - वास्तविक मूल्यों के बारे में खंड में निहित रहस्य क्या है?

समय के साथ, गणितज्ञों ने सम्मिश्र संख्याओं की अवधारणा को पेश किया, जहाँ ऋणात्मक एक के दूसरे मूल का सशर्त मान एक इकाई के रूप में लिया जाता है।

ऐतिहासिक पृष्ठभूमि

गणितीय सिद्धांत सरल से जटिल की ओर क्रमिक रूप से विकसित होता है। आइए जानें कि "कॉम्प्लेक्स नंबर" नामक अवधारणा कैसे उत्पन्न हुई और इसकी आवश्यकता क्यों है।

प्राचीन काल से गणित का आधार सामान्य हिसाब-किताब था। शोधकर्ता केवल मूल्यों के प्राकृतिक सेट को जानते थे। जोड़ और घटाव सरल थे। जैसे-जैसे आर्थिक संबंध अधिक जटिल होते गए, समान मूल्यों को जोड़ने के बजाय गुणन का उपयोग किया जाने लगा। करने के लिए एक रिवर्स ऑपरेशन हैगुणा - भाग।

एक प्राकृत संख्या की अवधारणा ने अंकगणितीय संक्रियाओं के उपयोग को सीमित कर दिया। पूर्णांक मानों के सेट पर सभी विभाजन समस्याओं को हल करना असंभव है। भिन्नों के साथ कार्य करने से पहले परिमेय मूल्यों की अवधारणा की ओर अग्रसर हुआ, और फिर अपरिमेय मूल्यों की ओर। यदि परिमेय के लिए रेखा पर बिंदु के सटीक स्थान को इंगित करना संभव है, तो अपरिमेय के लिए ऐसे बिंदु को इंगित करना असंभव है। आप केवल अंतराल का अनुमान लगा सकते हैं। परिमेय और अपरिमेय संख्याओं के मिलन से एक वास्तविक समुच्चय बनता है, जिसे दिए गए पैमाने के साथ एक निश्चित रेखा के रूप में दर्शाया जा सकता है। रेखा के साथ प्रत्येक चरण एक प्राकृतिक संख्या है, और उनके बीच तर्कसंगत और अपरिमेय मान हैं।

सैद्धांतिक गणित का युग शुरू हो गया है। खगोल विज्ञान, यांत्रिकी, भौतिकी के विकास के लिए अधिक से अधिक जटिल समीकरणों के समाधान की आवश्यकता थी। सामान्य तौर पर, द्विघात समीकरण की जड़ें पाई गईं। अधिक जटिल घन बहुपद को हल करते समय, वैज्ञानिक एक विरोधाभास में भाग गए। एक नकारात्मक से घनमूल की अवधारणा समझ में आती है, लेकिन एक वर्गमूल के लिए अनिश्चितता प्राप्त होती है। इसके अलावा, द्विघात समीकरण केवल घन का एक विशेष मामला है।

1545 में, इटालियन जे. कार्डानो ने एक काल्पनिक संख्या की अवधारणा को पेश करने का प्रस्ताव रखा।

यह संख्या माइनस वन का दूसरा मूल है। जटिल संख्या शब्द आखिरकार तीन सौ साल बाद प्रसिद्ध गणितज्ञ गॉस के कार्यों में बनाया गया था। उन्होंने औपचारिक रूप से बीजगणित के सभी नियमों को काल्पनिक संख्या तक विस्तारित करने का प्रस्ताव रखा। वास्तविक रेखा को तक बढ़ा दिया गया हैविमान दुनिया बड़ी है।

बुनियादी अवधारणा

कई प्रकार्यों को याद करें जिनमें वास्तविक सेट पर प्रतिबंध हैं:

• y=arcsin(x), नकारात्मक और सकारात्मक के बीच परिभाषित 1.
• y=ln(x), दशमलव लघुगणक सकारात्मक तर्कों के साथ समझ में आता है।
• वर्गमूल y=√x, केवल x 0 के लिए परिकलित।

निरूपण i=(-1), हम एक ऐसी अवधारणा को एक काल्पनिक संख्या के रूप में पेश करते हैं, यह उपरोक्त कार्यों की परिभाषा के क्षेत्र से सभी प्रतिबंधों को हटा देगा। y=arcsin(2), y=ln(-4), y=(-5) जैसे व्यंजक सम्मिश्र संख्याओं के कुछ स्थान में अर्थपूर्ण होते हैं।

बीजीय रूप को वास्तविक x और y मानों के सेट पर एक व्यंजक z=x + i×y के रूप में लिखा जा सकता है, और i² =-1.

नई अवधारणा किसी भी बीजीय फलन के उपयोग पर सभी प्रतिबंधों को हटा देती है और वास्तविक और काल्पनिक मूल्यों के निर्देशांक में एक सीधी रेखा के ग्राफ जैसा दिखता है।

जटिल विमान

संमिश्र संख्याओं का ज्यामितीय रूप नेत्रहीन हमें उनके कई गुणों का प्रतिनिधित्व करने की अनुमति देता है। Re(z) अक्ष पर हम वास्तविक x मान अंकित करते हैं, Im(z) पर - y का काल्पनिक मान, फिर समतल पर z बिंदु आवश्यक सम्मिश्र मान प्रदर्शित करेगा।

परिभाषाएं:

• Re(z) - वास्तविक अक्ष।
• Im(z) - का अर्थ है काल्पनिक अक्ष।
• z - एक सम्मिश्र संख्या का सशर्त बिंदु।
• शून्य से z तक सदिश की लंबाई का संख्यात्मक मान कहलाता हैमॉड्यूल।
• वास्तविक और काल्पनिक कुल्हाड़ियाँ समतल को चार भागों में विभाजित करती हैं। निर्देशांक के सकारात्मक मूल्य के साथ - मैं तिमाही। जब वास्तविक अक्ष का तर्क 0 से कम हो, और काल्पनिक अक्ष 0 - II तिमाही से बड़ा हो। जब निर्देशांक ऋणात्मक हों - III तिमाही। अंतिम, चौथी तिमाही में कई सकारात्मक वास्तविक मूल्य और नकारात्मक काल्पनिक मूल्य शामिल हैं।

इस प्रकार, x और y निर्देशांक मानों वाले समतल पर, एक सम्मिश्र संख्या के बिंदु की कल्पना हमेशा की जा सकती है। वास्तविक भाग को काल्पनिक से अलग करने के लिए चरित्र i को पेश किया गया है।

गुण

1. जब काल्पनिक तर्क का मान शून्य होता है, तो हमें केवल एक संख्या (z=x) मिलती है, जो वास्तविक अक्ष पर स्थित होती है और वास्तविक सेट से संबंधित होती है।
2. विशेष स्थिति जब वास्तविक तर्क का मान शून्य हो जाता है, व्यंजक z=i×y काल्पनिक अक्ष पर बिंदु के स्थान से मेल खाता है।
3. z=x + i×y का सामान्य रूप तर्कों के गैर-शून्य मानों के लिए होगा। किसी एक क्वार्टर में सम्मिश्र संख्या को दर्शाने वाले बिंदु के स्थान को इंगित करता है।

त्रिकोणमितीय संकेतन

ध्रुवीय समन्वय प्रणाली और त्रिकोणमितीय कार्यों की परिभाषा को याद करें sin and cos. यह स्पष्ट है कि इन कार्यों की सहायता से समतल पर किसी बिंदु की स्थिति का वर्णन करना संभव है। ऐसा करने के लिए, ध्रुवीय बीम की लंबाई और वास्तविक अक्ष के झुकाव के कोण को जानना पर्याप्त है।

परिभाषा। त्रिकोणमितीय फलनों cos(ϴ) और काल्पनिक भाग i ×sin(ϴ) के योग से गुणा करने पर फॉर्म z की एक प्रविष्टि त्रिकोणमितीय सम्मिश्र संख्या कहलाती है। यहाँ पदनाम वास्तविक अक्ष के झुकाव का कोण है

ϴ=arg(z) और r=z∣, बीम की लंबाई।

त्रिकोणमितीय फलनों की परिभाषा और गुणों से, एक बहुत ही महत्वपूर्ण Moivre सूत्र इस प्रकार है:

zⁿ =r × (cos(n × ϴ) + i × sin(n × ϴ)).

इस सूत्र का उपयोग करके त्रिकोणमितीय फलन वाले समीकरणों की कई प्रणालियों को हल करना सुविधाजनक है। खासतौर पर तब जब सत्ता में आने की समस्या पैदा हो।

मॉड्यूल और चरण

एक जटिल समुच्चय के विवरण को पूरा करने के लिए, हम दो महत्वपूर्ण परिभाषाएँ प्रस्तावित करते हैं।

पाइथागोरस प्रमेय को जानकर, ध्रुवीय समन्वय प्रणाली में बीम की लंबाई की गणना करना आसान है।

r=z∣=√(x² + y²), एक जटिल स्थान पर ऐसे अंकन को " मॉड्यूल" और विमान पर 0 से एक बिंदु तक की दूरी को दर्शाता है।

जटिल बीम के वास्तविक रेखा ϴ के झुकाव के कोण को आमतौर पर चरण कहा जाता है।

परिभाषा से पता चलता है कि चक्रीय कार्यों का उपयोग करके वास्तविक और काल्पनिक भागों का वर्णन किया गया है। अर्थात्:

• x=r × cos(ϴ);
• y=r × पाप(ϴ);

विपरीत रूप से, चरण सूत्र के माध्यम से बीजीय मूल्यों से संबंधित है:

ϴ=arctan(x / y) + µ, सुधार µ को ज्यामितीय कार्यों की आवधिकता को ध्यान में रखते हुए पेश किया गया है।

यूलर फॉर्मूला

गणितज्ञ अक्सर घातांकीय रूप का उपयोग करते हैं। सम्मिश्र समतल संख्याओं को व्यंजकों के रूप में लिखा जाता है

z=r × e^i×ϴ , जो यूलर सूत्र से आता है।

इस रिकॉर्ड का व्यापक रूप से भौतिक मात्राओं की व्यावहारिक गणना के लिए उपयोग किया जाता है। फॉर्म में प्रस्तुति का रूपअभियांत्रिकी गणनाओं के लिए घातांकीय सम्मिश्र संख्याएं विशेष रूप से सुविधाजनक होती हैं, जहां साइनसॉइडल धाराओं के साथ परिपथों की गणना करना आवश्यक हो जाता है और किसी निश्चित अवधि के साथ कार्यों के समाकलन के मूल्य को जानना आवश्यक होता है। गणना स्वयं विभिन्न मशीनों और तंत्रों के डिजाइन में एक उपकरण के रूप में कार्य करती है।

ऑपरेशन को परिभाषित करें

जैसा कि पहले ही उल्लेख किया गया है, बुनियादी गणितीय कार्यों के साथ काम करने के सभी बीजीय नियम जटिल संख्याओं पर लागू होते हैं।

योग ऑपरेशन

जटिल मान जोड़ने पर उनके वास्तविक और काल्पनिक भाग भी जुड़ जाते हैं।

z=z₁ + z₂ जहां z₁ और z 2 _{- सामान्य सम्मिश्र संख्याएँ। व्यंजक को रूपांतरित करते हुए, कोष्ठकों को खोलने और संकेतन को सरल बनाने के बाद, हमें वास्तविक तर्क x=(x}1 _{+ x}2_{), काल्पनिक तर्क y मिलता है।=(y 1} + y₂)।

प्रसिद्ध समांतर चतुर्भुज नियम के अनुसार ग्राफ पर, यह दो वैक्टरों के योग जैसा दिखता है।

घटाव ऑपरेशन

जोड़ का एक विशेष मामला माना जाता है, जब एक संख्या सकारात्मक होती है, दूसरी नकारात्मक होती है, अर्थात दर्पण तिमाही में स्थित होती है। बीजीय अंकन वास्तविक और काल्पनिक भागों के बीच के अंतर की तरह दिखता है।

z=z₁ - z₂, या, तर्कों के मूल्यों को ध्यान में रखते हुए, जोड़ के समान ऑपरेशन, हम वास्तविक मूल्यों के लिए प्राप्त करते हैं x=(x₁ - x₂) और काल्पनिक y=(y_{1- y}2).

जटिल तल पर गुणन

बहुपदों के साथ कार्य करने के नियमों का उपयोग करते हुए, हम सूत्र प्राप्त करते हैंसम्मिश्र संख्याओं को हल करने के लिए।

सामान्य बीजीय नियमों का पालन करते हुए z=z₁×z₂, प्रत्येक तर्क का वर्णन करें और समान तर्कों की सूची बनाएं। वास्तविक और काल्पनिक भागों को इस प्रकार लिखा जा सकता है:

• x=x₁ × x₂ - y₁ × y₂,
• y=x₁ × y₂ + x₂ × y _1.

यदि हम घातांकीय सम्मिश्र संख्याओं का उपयोग करें तो यह और भी सुंदर लगता है।

अभिव्यक्ति इस तरह दिखती है: z=z₁ × z₂ =r₁ × ई^मैंϴ1 × आर₂ × ई मैंϴ2^=r1 _{× r2} × ई_मैं(^ϴ1+ϴ2).

आगे सरलता से, मॉड्यूल को गुणा किया जाता है और चरणों को जोड़ा जाता है।

डिवीजन

भाग की संक्रिया को गुणन का विलोम मानते हुए, हमें घातांकीय संकेतन में एक सरल व्यंजक प्राप्त होता है। z₁ को z₂ से विभाजित करना उनके मॉड्यूल और चरण अंतर को विभाजित करने का परिणाम है। औपचारिक रूप से, जटिल संख्याओं के घातीय रूप का उपयोग करते समय, यह इस तरह दिखता है:

z=z₁ / z₂ =r₁ × ई ^मैंϴ1 / आर₂ × ई^मैं ϴ2^=r1 _{/ r}2× ई_मैं(^ϴ1-ϴ 2).

बीजीय संकेतन के रूप में, सम्मिश्र तल की संख्याओं को विभाजित करने की क्रिया को थोड़ा अधिक जटिल लिखा जाता है:

z=z₁ / z_2.

तर्कों का वर्णन करना और बहुपद परिवर्तन करना, मान प्राप्त करना आसान हैx=x₁ × x₂ + y₁ × y₂, क्रमशः y=x₂ × y₁ - x₁ × y₂ , हालांकि, वर्णित स्थान के भीतर, यह व्यंजक समझ में आता है यदि z₂ ≠ 0.

जड़ निकालें

उपरोक्त सभी को अधिक जटिल बीजीय कार्यों को परिभाषित करते समय लागू किया जा सकता है - किसी भी शक्ति को बढ़ाकर और इसके विपरीत - जड़ को निकालना।

पावर n तक बढ़ाने की सामान्य अवधारणा का उपयोग करते हुए, हमें परिभाषा मिलती है:

zⁿ =(आर × ई^मैंϴ).

सामान्य गुणों का उपयोग करते हुए, इस प्रकार फिर से लिखें:

zⁿ =rⁿ × ई^मैंϴ.

हमें किसी सम्मिश्र संख्या को घात में बढ़ाने का एक सरल सूत्र मिला है।

डिग्री की परिभाषा से हमें एक बहुत ही महत्वपूर्ण परिणाम मिलता है। काल्पनिक इकाई की सम घात हमेशा 1 होती है। काल्पनिक इकाई की कोई भी विषम घात हमेशा -1 होती है।

अब व्युत्क्रम कार्य का अध्ययन करते हैं - जड़ को निकालना।

अंकन की आसानी के लिए, आइए n=2 लें। सम्मिश्र तल C पर सम्मिश्र मान z का वर्गमूल w व्यंजक z=± माना जाता है, जो इससे अधिक या उसके बराबर किसी भी वास्तविक तर्क के लिए मान्य है। शून्य। डब्ल्यू 0 के लिए, कोई समाधान नहीं है।

आइए सबसे सरल द्विघात समीकरण देखें z² =1. जटिल संख्या सूत्रों का उपयोग करके, r² × e ^{को फिर से लिखें।मैं2ϴ} =आर² × ई^{मैं2ϴ=ई}मैं0 ^{। यह रिकॉर्ड से देखा जा सकता है कि r}2 ^{=1 और ϴ=0, इसलिए, हमारे पास 1 के बराबर एक अद्वितीय समाधान है।लेकिन यह इस धारणा का खंडन करता है कि z=-1 भी वर्गमूल की परिभाषा में फिट बैठता है।}

आइए पता करें कि हम किन बातों का ध्यान नहीं रखते हैं। यदि हम त्रिकोणमितीय संकेतन को याद करते हैं, तो हम कथन को पुनर्स्थापित करते हैं - चरण में आवधिक परिवर्तन के साथ, जटिल संख्या नहीं बदलती है। मान लीजिए p आवर्त का मान है, तो हमारे पास r² × e^i2ϴ =eमैं(0+p)^{, जहां से 2ϴ=0 + p, या ϴ=p / 2. इसलिए, e}i0 ^{=1 और e}i^पी/2 =-1. हमें दूसरा हल मिला, जो वर्गमूल की सामान्य समझ से मेल खाता है।

इसलिए, किसी सम्मिश्र संख्या का मनमाना मूल ज्ञात करने के लिए, हम प्रक्रिया का पालन करेंगे।

• घातांकी रूप लिखें w=∣w∣ × e^i(arg(w) + pk), k एक मनमाना पूर्णांक है।
• इच्छित संख्या को यूलर रूप z=r × e^iϴ में भी दर्शाया जाता है।
• रूट निष्कर्षण फ़ंक्शन की सामान्य परिभाषा का उपयोग करें r eⁱ ϴ ^{=w∣ × e}i(arg(^{w) + pk).}
• मॉड्यूल और तर्कों की समानता के सामान्य गुणों से, हम rⁿ =w∣ और nϴ=arg (w) + p×k. लिखते हैं।
• एक सम्मिश्र संख्या के मूल का अंतिम रिकॉर्ड सूत्र z=√∣w∣ × e^{i (}) द्वारा वर्णित है arg ^{(w) + pk} ) / ^।
• नोट। w∣ का मान, परिभाषा के अनुसार,एक सकारात्मक वास्तविक संख्या है, इसलिए किसी भी डिग्री की जड़ समझ में आती है।

क्षेत्र और संयुग्मन

निष्कर्ष में, हम दो महत्वपूर्ण परिभाषाएँ देते हैं जो जटिल संख्याओं के साथ लागू समस्याओं को हल करने के लिए बहुत कम महत्व रखती हैं, लेकिन गणितीय सिद्धांत के आगे विकास के लिए आवश्यक हैं।

जोड़ और गुणा के व्यंजकों को एक क्षेत्र बनाने के लिए कहा जाता है यदि वे जटिल समतल z:

के किसी भी अवयव के अभिगृहीतों को संतुष्ट करते हैं।

1. जटिल शब्दों के बदलते स्थानों से जटिल योग नहीं बदलता है।
2. कथन सत्य है - एक सम्मिश्र व्यंजक में, दो संख्याओं के किसी भी योग को उनके मान से बदला जा सकता है।
3. एक तटस्थ मान 0 है जिसके लिए z + 0=0 + z=z सत्य है।
4. किसी भी z के लिए एक विपरीत - z होता है, जिसका जोड़ शून्य देता है।
5. जटिल कारकों के स्थान बदलते समय, जटिल उत्पाद नहीं बदलता है।
6. किन्हीं दो संख्याओं के गुणन को उनके मान से बदला जा सकता है।
7. एक तटस्थ मान 1 है, जिससे गुणा करने पर सम्मिश्र संख्या नहीं बदलती।
8. हर z ≠ 0 के लिए, z^-1 का व्युत्क्रम होता है, जो 1 से गुणा करता है।
9. दो संख्याओं के योग को एक तिहाई से गुणा करना, उनमें से प्रत्येक को इस संख्या से गुणा करने और परिणाम जोड़ने की संक्रिया के बराबर है।
10. 0 1.

संख्याएं z₁ =x + i×y और z₂ =x - i×y संयुग्म कहलाते हैं।

प्रमेय। संयुग्मन के लिए, कथन सत्य है:

• योग का योग संयुग्मी तत्वों के योग के बराबर होता है।
• उत्पाद का संयुग्म हैसंयुग्मन का उत्पाद।
• संयुग्मन का संयुग्मन स्वयं संख्या के बराबर होता है।

सामान्य बीजगणित में, ऐसे गुणों को फील्ड ऑटोमॉर्फिज्म कहा जाता है।

उदाहरण

दिए गए नियमों और सम्मिश्र संख्याओं के सूत्रों का पालन करके, आप उनके साथ आसानी से कार्य कर सकते हैं।

आइए सबसे सरल उदाहरणों पर विचार करें।

समस्या 1. समीकरण 3y +5 x i=15 - 7i का उपयोग करके, x और y निर्धारित करें।

निर्णय। जटिल समानता की परिभाषा को याद करें, फिर 3y=15, 5x=-7। इसलिए, x=-7 / 5, y=5.

कार्य 2. मानों की गणना करें 2 + i²⁸ और 1 + i¹³⁵।

निर्णय। स्पष्ट रूप से, 28 एक सम संख्या है, हमारे पास घात में एक सम्मिश्र संख्या की परिभाषा के परिणाम से i²⁸ =1, जिसका अर्थ है कि व्यंजक 2 + i ²⁸ =3. दूसरा मान, i¹³⁵ =-1, फिर 1 + i¹³⁵ =0.

कार्य 3. 2 + 5i और 4 + 3i के मानों के गुणनफल की गणना करें।

निर्णय। सम्मिश्र संख्याओं के गुणन के सामान्य गुणधर्मों से, हम (2 + 5i)X(4 + 3i)=8 - 15 + i(6 + 20) प्राप्त करते हैं। नया मान होगा -7 + 26i.

कार्य 4. समीकरण की जड़ों की गणना करें z³ =-i.

निर्णय। सम्मिश्र संख्या ज्ञात करने के कई तरीके हैं। आइए संभव में से एक पर विचार करें। परिभाषा के अनुसार, ∣ - i∣=1, -i के लिए चरण -p / 4 है। मूल समीकरण को r³e^{i के रूप में फिर से लिखा जा सकता है।}3ϴ ^=ई-पी/4+पीके^{, जहाँ से z=e}-p / 12 + pk/3^{, किसी भी पूर्णांक k. के लिए}

समाधान सेट का रूप है (e^-ip/12,ई^{आईपी/4}, ई^{मैं2 पी/3}).

हमें सम्मिश्र संख्याओं की आवश्यकता क्यों है

इतिहास ऐसे कई उदाहरण जानता है जब एक सिद्धांत पर काम कर रहे वैज्ञानिक अपने परिणामों के व्यावहारिक अनुप्रयोग के बारे में सोचते भी नहीं हैं। गणित, सबसे पहले, मन का खेल है, कार्य-कारण संबंधों का एक सख्त पालन है। लगभग सभी गणितीय निर्माणों को समाकलन और अवकल समीकरणों को हल करने के लिए कम कर दिया जाता है, और बदले में, कुछ सन्निकटन के साथ, बहुपदों की जड़ों को ढूंढकर हल किया जाता है। यहाँ हम सबसे पहले काल्पनिक संख्याओं के विरोधाभास का सामना करते हैं।

वैज्ञानिक प्रकृतिवादी, पूरी तरह से व्यावहारिक समस्याओं को हल करते हुए, विभिन्न समीकरणों के समाधान का सहारा लेते हुए, गणितीय विरोधाभासों की खोज करते हैं। इन विरोधाभासों की व्याख्या बिल्कुल आश्चर्यजनक खोजों की ओर ले जाती है। विद्युत चुम्बकीय तरंगों की दोहरी प्रकृति ऐसा ही एक उदाहरण है। सम्मिश्र संख्याएँ उनके गुणों को समझने में महत्वपूर्ण भूमिका निभाती हैं।, बदले में, इसने प्रकाशिकी, रेडियो इलेक्ट्रॉनिक्स, ऊर्जा और कई अन्य तकनीकी क्षेत्रों में व्यावहारिक अनुप्रयोग पाया है। एक और उदाहरण, भौतिक घटनाओं को समझना कहीं अधिक कठिन है। पेन की नोक पर एंटीमैटर की भविष्यवाणी की गई थी। और केवल कई वर्षों के बाद, इसे भौतिक रूप से संश्लेषित करने का प्रयास शुरू होता है।

ऐसा मत सोचो कि सिर्फ फिजिक्स में ही ऐसे हालात होते हैं। कृत्रिम बुद्धि के अध्ययन के दौरान, मैक्रोमोलेक्यूल्स के संश्लेषण में वन्यजीवों में कोई कम दिलचस्प खोज नहीं की जाती है। और यह सब धन्यवाद हैहमारी चेतना का विस्तार, प्राकृतिक मूल्यों के साधारण जोड़ और घटाव से दूर जाना।