जॉर्ज कांटोर (फोटो लेख में बाद में दिया गया है) एक जर्मन गणितज्ञ हैं जिन्होंने सेट थ्योरी बनाई और अनंत संख्याओं की अवधारणा पेश की, असीम रूप से बड़ी, लेकिन एक दूसरे से अलग। उन्होंने क्रमसूचक और कार्डिनल संख्याओं को भी परिभाषित किया और उनका अंकगणित बनाया।
जॉर्ज कांतोर: लघु जीवनी
1845-03-03 को सेंट पीटर्सबर्ग में जन्म। उनके पिता प्रोटेस्टेंट विश्वास के एक डेन, जॉर्ज-वाल्डेमर कांतोर थे, जो स्टॉक एक्सचेंज सहित व्यापार में लगे हुए थे। उनकी मां मारिया बेम एक कैथोलिक थीं और प्रमुख संगीतकारों के परिवार से आती थीं। जब 1856 में जॉर्ज के पिता बीमार पड़ गए, तो परिवार पहले वेसबाडेन और फिर फ्रैंकफर्ट चले गए, जहां वे एक हल्के जलवायु की तलाश में थे। लड़के की गणितीय प्रतिभा उसके 15 वें जन्मदिन से पहले ही दिखाई दी जब वह डार्मस्टाट और विसबाडेन के निजी स्कूलों और व्यायामशालाओं में पढ़ रहा था। अंत में, जॉर्ज कैंटर ने अपने पिता को गणितज्ञ बनने के अपने दृढ़ इरादे के बारे में आश्वस्त किया, न कि एक इंजीनियर।
ज्यूरिख विश्वविद्यालय में एक संक्षिप्त अध्ययन के बाद, 1863 में कांटोर भौतिकी, दर्शन और गणित का अध्ययन करने के लिए बर्लिन विश्वविद्यालय में स्थानांतरित हो गए। वहाँ उसेसिखाया:
- कार्ल थियोडोर वीयरस्ट्रैस, जिनकी विश्लेषण में विशेषज्ञता का संभवतः जॉर्ज पर सबसे अधिक प्रभाव था;
- अर्नस्ट एडुआर्ड कमर, जिन्होंने उच्च अंकगणित पढ़ाया;
- लियोपोल्ड क्रोनकर, संख्या सिद्धांतकार जिन्होंने बाद में कैंटर का विरोध किया।
1866 में गॉटिंगेन विश्वविद्यालय में एक सेमेस्टर बिताने के बाद, अगले वर्ष जॉर्ज ने अपना डॉक्टरेट शोध प्रबंध लिखा जिसका शीर्षक था "गणित में प्रश्न पूछने की कला समस्याओं को हल करने से अधिक मूल्यवान है", एक समस्या के बारे में जो कार्ल फ्रेडरिक गॉस ने की थी। अपने डिस्क्विज़िशन्स अंकगणित (1801) में अनसुलझा छोड़ दिया। बर्लिन स्कूल फॉर गर्ल्स में संक्षेप में पढ़ाने के बाद, कांटोर ने हाले विश्वविद्यालय में काम करना शुरू किया, जहां वे अपने जीवन के अंत तक रहे, पहले एक शिक्षक के रूप में, 1872 से एक सहायक प्रोफेसर के रूप में, और 1879 से एक प्रोफेसर के रूप में।
अनुसंधान
1869 से 1873 तक 10 पत्रों की एक श्रृंखला की शुरुआत में, जॉर्ज कैंटर ने संख्या सिद्धांत पर विचार किया। काम ने विषय के प्रति उनके जुनून, गॉस के उनके अध्ययन और क्रोनकर के प्रभाव को दर्शाया। हाले में कैंटर के सहयोगी हेनरिक एडुआर्ड हेइन के सुझाव पर, जिन्होंने उनकी गणितीय प्रतिभा को पहचाना, उन्होंने त्रिकोणमितीय श्रृंखला के सिद्धांत की ओर रुख किया, जिसमें उन्होंने वास्तविक संख्याओं की अवधारणा का विस्तार किया।
1854 में जर्मन गणितज्ञ बर्नहार्ड रीमैन द्वारा एक जटिल चर के कार्य पर काम के आधार पर, 1870 में कांतोर ने दिखाया कि इस तरह के एक समारोह को केवल एक ही तरीके से दर्शाया जा सकता है - त्रिकोणमितीय श्रृंखला द्वारा। संख्याओं (अंकों) के एक समूह पर विचार जोइस तरह के दृष्टिकोण का खंडन नहीं करेंगे, सबसे पहले, 1872 में, तर्कसंगत संख्याओं (पूर्णांक के अंश) के अभिसरण अनुक्रमों के संदर्भ में अपरिमेय संख्याओं की परिभाषा के लिए और आगे अपने जीवन के काम, सेट सिद्धांत और अवधारणा पर काम की शुरुआत के लिए नेतृत्व किया। अनंत संख्याओं का।
सेट थ्योरी
जॉर्ज कैंटर, जिसका सेट थ्योरी ब्राउनश्वेग के तकनीकी संस्थान के गणितज्ञ रिचर्ड डेडेकिंड के साथ पत्राचार में उत्पन्न हुआ, बचपन से ही उनके मित्र थे। उन्होंने निष्कर्ष निकाला कि समुच्चय, चाहे परिमित हों या अनंत, तत्वों का संग्रह हैं (जैसे संख्याएं, {0, ±1, ±2 …}) जिनके पास अपनी व्यक्तित्व को बनाए रखते हुए एक निश्चित संपत्ति है। लेकिन जब जॉर्ज कैंटर ने उनकी विशेषताओं का अध्ययन करने के लिए एक-से-एक पत्राचार (उदाहरण के लिए, {ए, बी, सी} से {1, 2, 3}) का उपयोग किया, तो उन्होंने जल्दी ही महसूस किया कि वे सदस्यता की अपनी डिग्री में भिन्न हैं, यहां तक कि यदि वे अनंत समुच्चय थे, अर्थात् समुच्चय, जिसके एक भाग या उपसमुच्चय में उतनी ही वस्तुएँ शामिल हैं जितनी स्वयं। उनके इस तरीके ने जल्द ही आश्चर्यजनक परिणाम दिए।
1873 में, जॉर्ज कैंटर (गणितज्ञ) ने दिखाया कि परिमेय संख्याएं, हालांकि अनंत हैं, गणनीय हैं क्योंकि उन्हें प्राकृतिक संख्याओं (यानी 1, 2, 3, आदि) के साथ एक-से-एक पत्राचार में रखा जा सकता है। डी।)। उन्होंने दिखाया कि अपरिमेय और परिमेय संख्याओं से मिलकर बनी वास्तविक संख्याओं का समुच्चय अनंत और बेशुमार है। अधिक विरोधाभासी रूप से, कैंटर ने साबित किया कि सभी बीजीय संख्याओं के समुच्चय में उतने ही तत्व होते हैं जितनेसभी पूर्णांकों के समुच्चय कितने हैं, और वह पारलौकिक संख्याएँ, जो बीजीय नहीं हैं, जो अपरिमेय संख्याओं का उपसमुच्चय हैं, बेशुमार हैं और इसलिए, उनकी संख्या पूर्णांकों से अधिक है, और उन्हें अनंत माना जाना चाहिए।
विपक्षी और समर्थक
लेकिन कांटोर का पेपर, जिसमें उन्होंने सबसे पहले इन परिणामों को सामने रखा था, क्रेल में प्रकाशित नहीं हुआ था, क्योंकि समीक्षकों में से एक क्रोनकर ने इसका कड़ा विरोध किया था। लेकिन डेडेकाइंड के हस्तक्षेप के बाद, इसे 1874 में "सभी वास्तविक बीजीय संख्याओं के विशिष्ट गुणों पर" शीर्षक के तहत प्रकाशित किया गया था।
विज्ञान और निजी जीवन
उसी वर्ष, स्विट्जरलैंड के इंटरलेकन में अपनी पत्नी वैली गुटमैन के साथ हनीमून के दौरान, कांटोर डेडेकिंड से मिले, जिन्होंने उनके नए सिद्धांत के पक्ष में बात की। जॉर्ज का वेतन कम था, लेकिन अपने पिता के पैसे से, जिनकी मृत्यु 1863 में हुई, उन्होंने अपनी पत्नी और पांच बच्चों के लिए एक घर बनाया। उनके कई पत्र स्वीडन में नई पत्रिका एक्टा मैथमैटिका में प्रकाशित हुए, जिसका संपादन और स्थापना गेस्टा मिट्टाग-लेफ़लर ने की, जो जर्मन गणितज्ञ की प्रतिभा को पहचानने वाले पहले लोगों में से थे।
तत्वमीमांसा के साथ संबंध
कैंटर का सिद्धांत अनंत के गणित (जैसे श्रृंखला 1, 2, 3, आदि, और अधिक जटिल सेट) से संबंधित अध्ययन का एक बिल्कुल नया विषय बन गया, जो एक-से-एक पत्राचार पर बहुत अधिक निर्भर था। नई मंचन विधियों का कांटोर का विकासनिरंतरता और अनंत से संबंधित प्रश्नों ने उनके शोध को एक अस्पष्ट चरित्र दिया।
जब उन्होंने तर्क दिया कि अनंत संख्याएं वास्तव में मौजूद हैं, तो उन्होंने वास्तविक और संभावित अनंत के साथ-साथ उनके माता-पिता ने उन्हें दी गई प्रारंभिक धार्मिक शिक्षा के बारे में प्राचीन और मध्ययुगीन दर्शन की ओर रुख किया। 1883 में, अपनी पुस्तक फ़ाउंडेशन ऑफ़ जनरल सेट थ्योरी में, कांतोर ने अपनी अवधारणा को प्लेटो के तत्वमीमांसा के साथ जोड़ा।
क्रोनेकर, जिन्होंने दावा किया कि केवल पूर्णांक "अस्तित्व में हैं" ("भगवान ने पूर्णांक बनाया, बाकी मनुष्य का काम है"), कई वर्षों तक उनके तर्क को जोरदार तरीके से खारिज कर दिया और बर्लिन विश्वविद्यालय में उनकी नियुक्ति को रोक दिया।
अनंत संख्या
1895-97 में। जॉर्ज कैंटर ने अपने सबसे प्रसिद्ध काम में अनंत क्रमिक और कार्डिनल संख्याओं सहित निरंतरता और अनंतता की अपनी धारणा को पूरी तरह से बनाया, जिसे कॉन्ट्रिब्यूशन टू द इस्टैब्लिशमेंट ऑफ़ द थ्योरी ऑफ़ ट्रांसफ़िनिट नंबर्स (1915) के रूप में प्रकाशित किया गया था। इस निबंध में उनकी अवधारणा है, जिसके लिए उनका नेतृत्व यह प्रदर्शित करके किया गया था कि इसके एक उपसमुच्चय के साथ एक-से-एक पत्राचार में एक अनंत सेट रखा जा सकता है।
कम से कम ट्रांसफिनिट कार्डिनल नंबर के तहत, उनका मतलब किसी भी सेट की कार्डिनैलिटी से था जिसे प्राकृतिक संख्याओं के साथ एक-से-एक पत्राचार में रखा जा सकता है। कैंटर ने इसे एलेफ-नल कहा। बड़े ट्रांसफ़ाइनेट सेटों को एलेफ़-वन, एलेफ़-टू, आदि के रूप में दर्शाया जाता है। उन्होंने ट्रांसफ़िनिट नंबरों के अंकगणित को और विकसित किया, जो कि परिमित अंकगणित के अनुरूप था। इसलिए वहअनंत की अवधारणा को समृद्ध किया।
जिस विरोध का उन्हें सामना करना पड़ा और उनके विचारों को पूरी तरह से स्वीकार करने में जो समय लगा, वह प्राचीन प्रश्न के पुनर्मूल्यांकन की कठिनाई के कारण है कि संख्या क्या है। कैंटर ने दिखाया कि एक रेखा पर बिंदुओं के सेट में एलेफ-शून्य की तुलना में उच्च कार्डिनैलिटी होती है। इसने सातत्य परिकल्पना की प्रसिद्ध समस्या को जन्म दिया - एलेफ-शून्य और रेखा पर बिंदुओं की शक्ति के बीच कोई कार्डिनल संख्या नहीं है। 20वीं सदी के पहले और दूसरे भाग में इस समस्या ने बहुत रुचि जगाई और कर्ट गोडेल और पॉल कोहेन सहित कई गणितज्ञों द्वारा इसका अध्ययन किया गया।
डिप्रेशन
1884 के बाद से जॉर्ज कांटोर की जीवनी उनकी मानसिक बीमारी से प्रभावित थी, लेकिन उन्होंने सक्रिय रूप से काम करना जारी रखा। 1897 में उन्होंने ज्यूरिख में पहली अंतर्राष्ट्रीय गणितीय कांग्रेस आयोजित करने में मदद की। आंशिक रूप से क्योंकि क्रोनकर ने उनका विरोध किया था, उन्होंने अक्सर युवा महत्वाकांक्षी गणितज्ञों के साथ सहानुभूति व्यक्त की और नए विचारों से खतरा महसूस करने वाले शिक्षकों के उत्पीड़न से उन्हें बचाने के लिए एक रास्ता खोजने की कोशिश की।
मान्यता
शताब्दी के मोड़ पर, उनके काम को पूरी तरह से कार्य सिद्धांत, विश्लेषण और टोपोलॉजी के आधार के रूप में मान्यता दी गई थी। इसके अलावा, कैंटर जॉर्ज की पुस्तकों ने गणित की तार्किक नींव के अंतर्ज्ञानवादी और औपचारिक स्कूलों के आगे विकास के लिए एक प्रोत्साहन के रूप में कार्य किया। इसने शिक्षण प्रणाली को महत्वपूर्ण रूप से बदल दिया और अक्सर "नए गणित" से जुड़ा होता है।
1911 में, कांतोर आमंत्रित लोगों में शामिल थेस्कॉटलैंड में सेंट एंड्रयूज विश्वविद्यालय की 500 वीं वर्षगांठ का जश्न। वह बर्ट्रेंड रसेल से मिलने की उम्मीद में वहां गए, जिन्होंने अपने हाल ही में प्रकाशित काम प्रिंसिपिया मैथमैटिका में बार-बार जर्मन गणितज्ञ का जिक्र किया, लेकिन ऐसा नहीं हुआ। विश्वविद्यालय ने कांटोर को मानद उपाधि से सम्मानित किया, लेकिन बीमारी के कारण वह व्यक्तिगत रूप से पुरस्कार स्वीकार करने में असमर्थ थे।
कांटोर 1913 में सेवानिवृत्त हुए, गरीबी में रहे और प्रथम विश्व युद्ध के दौरान भूखे रहे। 1915 में उनके 70वें जन्मदिन के उपलक्ष्य में होने वाले समारोह युद्ध के कारण रद्द कर दिए गए, लेकिन उनके घर पर एक छोटा सा समारोह हुआ। 1918-06-01 को हाले में एक मनोरोग अस्पताल में उनका निधन हो गया, जहां उन्होंने अपने जीवन के अंतिम वर्ष बिताए।
जॉर्ज कांतोर: जीवनी। परिवार
अगस्त 9, 1874, एक जर्मन गणितज्ञ ने वैली गुटमैन से शादी की। दंपति के 4 बेटे और 2 बेटियां थीं। आखिरी बच्चे का जन्म 1886 में कांतोर द्वारा खरीदे गए एक नए घर में हुआ था। उनके पिता की विरासत ने उन्हें अपने परिवार का समर्थन करने में मदद की। 1899 में उनके सबसे छोटे बेटे की मृत्यु से कांटोर का स्वास्थ्य बहुत प्रभावित हुआ और उसके बाद से अवसाद ने उनका पीछा नहीं छोड़ा।
