हम जीवन में उनके स्कूल में पढ़ना शुरू करने से बहुत पहले ही उनका सामना करते हैं। यदि आप एक पूरे सेब को आधा में काटते हैं, तो हमें फल का एक हिस्सा मिलता है - ½। इसे फिर से काटें - यह होगा। यही अंश हैं। और सब कुछ, ऐसा प्रतीत होता है, सरल है। एक वयस्क के लिए। एक बच्चे के लिए (और वे प्राथमिक विद्यालय के अंत में इस विषय का अध्ययन करना शुरू करते हैं), अमूर्त गणितीय अवधारणाएं अभी भी भयावह रूप से समझ से बाहर हैं, और शिक्षक को सुलभ तरीके से समझाना चाहिए कि उचित अंश और अनुचित, सामान्य और दशमलव क्या हैं, क्या संचालन उनके साथ प्रदर्शन किया जा सकता है और, सबसे महत्वपूर्ण बात, यह सब क्यों आवश्यक है।
अंश क्या होते हैं
स्कूल में एक नए विषय का परिचय साधारण भिन्नों से शुरू होता है। ऊपर और नीचे दो संख्याओं को अलग करने वाली क्षैतिज रेखा द्वारा उन्हें पहचानना आसान है। ऊपर को अंश कहा जाता है, नीचे को भाजक कहा जाता है। एक स्लैश के माध्यम से अनुचित और नियमित साधारण अंश लिखने का एक लोअरकेस संस्करण भी है, उदाहरण के लिए: ½, 4/9, 384/183। इस विकल्प का उपयोग तब किया जाता है जब लाइन की ऊंचाई सीमित होती है और प्रविष्टि के "दो मंजिला" फॉर्म को लागू करना संभव नहीं होता है। क्यों? हाँ, क्योंकि यह अधिक सुविधाजनक है। थोड़ी देर बाद हमहम यह सुनिश्चित करेंगे।
साधारण भिन्नों के अतिरिक्त दशमलव भिन्न भी होते हैं। उनके बीच अंतर करना बहुत आसान है: यदि एक मामले में क्षैतिज या स्लैश का उपयोग किया जाता है, तो दूसरे में - संख्याओं के अनुक्रम को अलग करने वाला अल्पविराम। आइए एक उदाहरण देखें: 2, 9; 163, 34; 1, 953. हमने जानबूझकर अर्धविराम का उपयोग विभाजक के रूप में संख्याओं को परिसीमित करने के लिए किया। उनमें से पहला इस तरह पढ़ेगा: "दो पूरे, नौ दसवां।"
नई अवधारणा
आइए सामान्य भिन्न पर वापस आते हैं। वे दो किस्मों में आते हैं।
एक उचित भिन्न की परिभाषा इस प्रकार है: यह एक भिन्न है जिसका अंश हर से कम है। यह महत्वपूर्ण क्यों है? अब हम देखेंगे!
आपके पास कुछ सेब आधे में कटे हुए हैं। कुल - 5 भाग। आप कैसे कहते हैं: आपके पास "ढाई" या "पांच सेकंड" सेब हैं? बेशक, पहला विकल्प अधिक स्वाभाविक लगता है, और दोस्तों के साथ बात करते समय, हम इसका इस्तेमाल करेंगे। लेकिन अगर आपको गणना करने की आवश्यकता है कि प्रत्येक को कितने फल मिलेंगे, अगर कंपनी में पांच लोग हैं, तो हम संख्या 5/2 लिखेंगे और इसे 5 से विभाजित करेंगे - गणित के दृष्टिकोण से, यह स्पष्ट होगा।
तो, उचित और अनुचित भिन्नों के नामकरण के लिए नियम इस प्रकार है: यदि किसी भिन्न का एक पूर्णांक भाग (14/5, 2/1, 173/16, 3/3) हो सकता है, तो वह गलत है। यदि ऐसा नहीं किया जा सकता है, जैसा कि ½, 13/16, 9/10 के मामले में होता है, तो यह सही होगा।
एक भिन्न का मूल गुण
यदि किसी भिन्न के अंश और हर को एक साथ गुणा किया जाए याएक ही संख्या से भाग देने पर उसका मान नहीं बदलता है। कल्पना कीजिए: केक को 4 बराबर भागों में काटा गया और उन्होंने आपको एक दिया। उसी केक को आठ टुकड़ों में काटकर आपको दो दिए गए। क्या यह सब समान नहीं है? आखिर ¼ और 2/8 एक ही चीज़ हैं!
संक्षिप्त नाम
गणित की पाठ्यपुस्तकों में समस्याओं और उदाहरणों के लेखक अक्सर बोझिल भिन्नों की पेशकश करके छात्रों को भ्रमित करने का प्रयास करते हैं जिन्हें वास्तव में कम किया जा सकता है। यहाँ एक उचित भिन्न का एक उदाहरण दिया गया है: 167/334, जो ऐसा प्रतीत होता है, बहुत "डरावना" है। लेकिन वास्तव में, हम इसे ½ के रूप में लिख सकते हैं। संख्या 334 बिना शेष के 167 से विभाज्य है - इस संक्रिया को करने के बाद, हमें 2.
प्राप्त होता है।
मिश्रित संख्या
एक अनुचित भिन्न को मिश्रित संख्या के रूप में दर्शाया जा सकता है। यह तब होता है जब पूरे भाग को आगे लाया जाता है और क्षैतिज रेखा के स्तर पर लिखा जाता है। वास्तव में, व्यंजक एक योग का रूप लेता है: 11/2=5 + ½; 13/6=2 + 1/6 इत्यादि।
पूरा भाग निकालने के लिए, आपको अंश को हर से भाग देना होगा। विभाजन के शेष भाग को ऊपर, रेखा के ऊपर और पूरे भाग को व्यंजक से पहले लिखें। इस प्रकार, हमें दो संरचनात्मक भाग मिलते हैं: संपूर्ण इकाइयाँ + उचित भिन्न।
आप रिवर्स ऑपरेशन भी कर सकते हैं - इसके लिए आपको पूर्णांक भाग को हर से गुणा करना होगा और परिणामी मान को अंश में जोड़ना होगा। कुछ भी जटिल नहीं है।
गुणा और भाग
अजीब तरह से, भिन्नों को जोड़ने की तुलना में गुणा करना आसान है। केवल क्षैतिज रेखा का विस्तार करने की आवश्यकता है: (2/3)(3/5)=23 / 35=2/5.
विभाजन भी सब कुछसरल: आपको भिन्नों को क्रॉसवाइज गुणा करने की आवश्यकता है: (7/8) / (14/15)=715 / 814=15/16।
अभिन्न जोड़ना
यदि आपको भिन्नों को जोड़ने या घटाने की आवश्यकता है, और उनके हर में अलग-अलग संख्याएँ हैं, तो क्या करें? यह उसी तरह से काम नहीं करेगा जैसे गुणन के साथ - यहाँ एक उचित भिन्न की परिभाषा और उसके सार को समझना चाहिए। एक सामान्य हर के पदों को कम करना आवश्यक है, अर्थात, दोनों भिन्नों के निचले भाग में समान संख्याएँ होनी चाहिए।
ऐसा करने के लिए, आपको भिन्न के मूल गुण का उपयोग करना चाहिए: दोनों भागों को एक ही संख्या से गुणा करें। उदाहरण के लिए, 2/5 + 1/10=(22)/(52) + 1/10=5/10=½।
कैसे चुनें कि किस भाजक को शर्तों में लाना है? यह दोनों हरों का सबसे छोटा गुणज होना चाहिए: 1/3 और 1/9 के लिए यह 9 होगा; ½ और 1/7 - 14 के लिए, क्योंकि ऐसा कोई छोटा मान नहीं है जिसे शेषफल के बिना 2 और 7 से विभाजित किया जा सके।
उपयोग
अनुचित भिन्न किसके लिए हैं? आखिरकार, पूरे हिस्से को तुरंत चुनना, मिश्रित संख्या प्राप्त करना अधिक सुविधाजनक है - और यही वह है! यह पता चला है कि यदि आपको दो भिन्नों को गुणा या विभाजित करने की आवश्यकता है, तो गलत अंशों का उपयोग करना अधिक लाभदायक है।
निम्न उदाहरण लें: (2 + 3/17) / (37/68)।
ऐसा लगता है कि काटने के लिए कुछ भी नहीं है। लेकिन क्या होगा यदि हम पहले कोष्ठक में जोड़ के परिणाम को अनुचित भिन्न के रूप में लिखते हैं? देखें: (37/17) / (37/68)
अब सब कुछ ठीक हो जाता है!आइए उदाहरण इस तरह से लिखें कि सब कुछ स्पष्ट हो जाए: (3768) / (1737)।
अंश और हर में 37 को कम करते हैं और अंत में ऊपर और नीचे के हिस्सों को 17 से विभाजित करते हैं। क्या आपको उचित और अनुचित अंशों के लिए मूल नियम याद है? जब तक हम अंश और हर के लिए एक ही समय करते हैं, हम किसी भी संख्या से गुणा और भाग कर सकते हैं।
तो, हमें उत्तर मिलता है: 4. उदाहरण जटिल लग रहा था, और उत्तर में केवल एक अंक है। ऐसा अक्सर गणित में होता है। मुख्य बात डरना नहीं है और सरल नियमों का पालन करना है।
सामान्य गलतियाँ
भिन्नों के साथ क्रिया करते समय, छात्र आसानी से सबसे लोकप्रिय गलतियों में से एक बना सकता है। आमतौर पर वे असावधानी के कारण होते हैं, और कभी-कभी इस तथ्य के कारण कि अध्ययन की गई सामग्री अभी तक सिर में ठीक से जमा नहीं हुई है।
अक्सर अंश में संख्याओं का योग इसके व्यक्तिगत घटकों को कम करने की इच्छा का कारण बनता है। मान लीजिए, उदाहरण में: (13 + 2) / 13, बिना कोष्ठक (क्षैतिज रेखा के साथ) लिखा गया है, कई छात्र अनुभवहीनता के कारण ऊपर और नीचे से 13 को काट देते हैं। लेकिन ऐसा किसी भी हाल में नहीं करना चाहिए, क्योंकि यह घोर भूल है! यदि जोड़ के बजाय गुणन चिह्न होता, तो हमें उत्तर में संख्या 2 मिलती। लेकिन जोड़ करते समय, किसी एक पद के साथ किसी भी संक्रिया की अनुमति नहीं है, केवल संपूर्ण योग के साथ।
साथ ही, भिन्नों को विभाजित करते समय लोग अक्सर गलतियाँ करते हैं। आइए दो नियमित अपरिवर्तनीय अंश लें और एक दूसरे से विभाजित करें: (5/6) / (25/33)। छात्र भ्रमित कर सकता है और परिणामी अभिव्यक्ति को (525) / (633) के रूप में लिख सकता है। लेकिन यह होगायह गुणा के दौरान निकला, लेकिन हमारे मामले में सब कुछ थोड़ा अलग होगा: (533) / (625)। हम जो संभव है उसे कम करते हैं, और उत्तर में हम 11/10 देखेंगे। हम परिणामी अनुचित भिन्न को दशमलव के रूप में लिखते हैं - 1, 1.
कोष्ठक
याद रखें कि किसी भी गणितीय व्यंजक में, संक्रियाओं का क्रम संक्रिया चिह्नों की पूर्वता और कोष्ठकों की उपस्थिति से निर्धारित होता है। अन्य बातें समान होने के कारण क्रियाओं का क्रम बाएँ से दाएँ गिना जाता है। यह भिन्नों के लिए भी सत्य है - अंश या हर में व्यंजक की गणना इस नियम के अनुसार कड़ाई से की जाती है।
आखिर एक उचित भिन्न क्या है? यह एक संख्या को दूसरी संख्या से विभाजित करने का परिणाम है। यदि वे समान रूप से विभाजित नहीं करते हैं, तो यह एक अंश है, और बस।
कंप्यूटर पर भिन्न कैसे लिखें
चूंकि मानक उपकरण आपको हमेशा दो "स्तरों" से मिलकर एक अंश बनाने की अनुमति नहीं देते हैं, छात्र कभी-कभी विभिन्न चालों के लिए जाते हैं। उदाहरण के लिए, वे अंक और हर को पेंट संपादक में कॉपी करते हैं और उन्हें एक साथ चिपकाते हैं, उनके बीच एक क्षैतिज रेखा खींचते हैं। बेशक, एक आसान विकल्प है, जो, वैसे, बहुत सारी अतिरिक्त सुविधाएँ भी प्रदान करता है जो भविष्य में आपके लिए उपयोगी होंगी।
माइक्रोसॉफ्ट वर्ड खोलें। स्क्रीन के शीर्ष पर एक पैनल को "इन्सर्ट" कहा जाता है - इसे क्लिक करें। दाईं ओर, उस तरफ जहां विंडो को बंद करने और छोटा करने के लिए आइकन स्थित हैं, एक फॉर्मूला बटन है। यह वही है जो हमें चाहिए!
यदि आप इस फ़ंक्शन का उपयोग करते हैं, तो स्क्रीन पर एक आयताकार क्षेत्र दिखाई देगा जिसमें आप किसी भी गणितीय का उपयोग कर सकते हैंअक्षर जो कीबोर्ड पर नहीं हैं, साथ ही क्लासिक रूप में अंश लिखते हैं। यानी अंश और हर को एक क्षैतिज पट्टी से अलग करना। आपको आश्चर्य भी हो सकता है कि इतना उचित भिन्न लिखना इतना आसान है।
गणित का अध्ययन करें
अगर आप ग्रेड 5-6 में हैं, तो जल्द ही कई स्कूल विषयों में गणित के ज्ञान (अंशों के साथ काम करने की क्षमता सहित!) की आवश्यकता होगी। भौतिकी में लगभग किसी भी समस्या में, रसायन विज्ञान में, ज्यामिति और त्रिकोणमिति में पदार्थों के द्रव्यमान को मापते समय, अंशों को दूर नहीं किया जा सकता है। जल्द ही आप कागज पर भाव लिखे बिना अपने दिमाग में सब कुछ की गणना करना सीखेंगे, लेकिन अधिक से अधिक जटिल उदाहरण दिखाई देंगे। इसलिए, जानें कि एक उचित अंश क्या है और इसके साथ कैसे काम करना है, पाठ्यक्रम के साथ बने रहें, अपना होमवर्क समय पर करें, और तब आप सफल होंगे।
