गणित की बात करें तो भिन्नों को याद न रखना असंभव है। उनके अध्ययन पर बहुत ध्यान और समय दिया जाता है। याद रखें कि भिन्नों के साथ काम करने के कुछ नियमों को सीखने के लिए आपको कितने उदाहरणों को हल करना था, आपने अंश की मुख्य संपत्ति को कैसे याद किया और लागू किया। एक सामान्य हर को खोजने के लिए कितनी नसें खर्च की गईं, खासकर यदि उदाहरणों में दो से अधिक शब्द हों!
आइए याद रखें कि यह क्या है और भिन्नों के साथ काम करने के लिए बुनियादी जानकारी और नियमों के बारे में हमारी याददाश्त को थोड़ा ताज़ा करें।
भिन्नों की परिभाषा
आइए सबसे महत्वपूर्ण बात - परिभाषाओं से शुरू करते हैं। भिन्न एक संख्या है जिसमें एक या अधिक इकाई भाग होते हैं। एक भिन्नात्मक संख्या क्षैतिज या स्लैश द्वारा अलग की गई दो संख्याओं के रूप में लिखी जाती है। इस मामले में, ऊपरी (या पहले) को अंश कहा जाता है, और निचले (दूसरे) को हर कहा जाता है।
यह ध्यान देने योग्य है कि भाजक दिखाता है कि इकाई को कितने भागों में विभाजित किया गया है, और अंश शेयरों या भागों की संख्या को दर्शाता है। अक्सर भिन्न, यदि सही हो, तो एक से कम होते हैं।
अब आइए इन नंबरों के गुणों और उनके साथ काम करते समय उपयोग किए जाने वाले बुनियादी नियमों को देखें। लेकिन इससे पहले कि हम इस तरह की अवधारणा का विश्लेषण करें "परिमेय अंश की मुख्य संपत्ति", आइए भिन्नों के प्रकार और उनकी विशेषताओं के बारे में बात करते हैं।
अंश क्या होते हैं
ऐसी संख्याएँ कई प्रकार की होती हैं। सबसे पहले, ये साधारण और दशमलव हैं। पहले वाले एक परिमेय संख्या की रिकॉर्डिंग के प्रकार का प्रतिनिधित्व करते हैं जो पहले से ही एक क्षैतिज या स्लैश का उपयोग करके हमारे द्वारा इंगित किया गया है। दूसरे प्रकार के अंशों को तथाकथित स्थितीय संकेतन का उपयोग करके इंगित किया जाता है, जब संख्या का पूर्णांक भाग पहले इंगित किया जाता है, और फिर, दशमलव बिंदु के बाद, भिन्नात्मक भाग इंगित किया जाता है।
यहाँ यह ध्यान देने योग्य है कि गणित में दशमलव और साधारण दोनों भिन्नों का समान रूप से उपयोग किया जाता है। भिन्न का मुख्य गुण केवल दूसरे विकल्प के लिए मान्य है। इसके अलावा, साधारण अंशों में, सही और गलत संख्याओं को प्रतिष्ठित किया जाता है। पहले वाले के लिए, अंश हमेशा हर से छोटा होता है। यह भी ध्यान दें कि ऐसा अंश एकता से कम है। एक अनुचित भिन्न में, इसके विपरीत, अंश हर से बड़ा होता है, और यह स्वयं एक से बड़ा होता है। इस मामले में, इससे एक पूर्णांक निकाला जा सकता है। इस लेख में, हम केवल साधारण भिन्नों पर विचार करेंगे।
भिन्नों के गुण
किसी भी घटना, रासायनिक, भौतिक या गणितीय, की अपनी विशेषताएं और गुण होते हैं। भिन्नात्मक संख्याएं कोई अपवाद नहीं हैं। उनके पास एक महत्वपूर्ण विशेषता है, जिसकी मदद से उन पर कुछ ऑपरेशन करना संभव है। भिन्न का मुख्य गुण क्या है?नियम कहता है कि यदि इसके अंश और हर को एक ही परिमेय संख्या से गुणा या भाग दिया जाए, तो हमें एक नई भिन्न प्राप्त होगी, जिसका मान मूल मान के बराबर होगा। अर्थात् भिन्न संख्या 3/6 के दो भागों को 2 से गुणा करने पर हमें एक नया भिन्न 6/12 प्राप्त होता है, जबकि वे बराबर होंगे।
इस गुण के आधार पर, आप भिन्नों को कम कर सकते हैं, साथ ही संख्याओं की एक विशेष जोड़ी के लिए सामान्य भाजक भी चुन सकते हैं।
ऑपरेशन
इस तथ्य के बावजूद कि भिन्न हमें अभाज्य संख्याओं की तुलना में अधिक जटिल लगते हैं, वे बुनियादी गणितीय संक्रियाएँ भी कर सकते हैं, जैसे जोड़ और घटाव, गुणा और भाग। इसके अलावा, भिन्नों को कम करने जैसी विशिष्ट क्रिया होती है। स्वाभाविक रूप से, इनमें से प्रत्येक क्रिया कुछ नियमों के अनुसार की जाती है। इन नियमों को जानने से भिन्नों के साथ काम करना आसान हो जाता है, जिससे यह आसान और अधिक दिलचस्प हो जाता है। इसीलिए आगे हम ऐसी संख्याओं के साथ काम करते समय बुनियादी नियमों और क्रियाओं के एल्गोरिथ्म पर विचार करेंगे।
लेकिन जोड़ और घटाव जैसी गणितीय संक्रियाओं के बारे में बात करने से पहले, आइए एक सामान्य हर में कमी के रूप में इस तरह की संक्रिया का विश्लेषण करें। यह वह जगह है जहां एक अंश की मूल संपत्ति मौजूद है इसका ज्ञान काम आएगा।
सामान्य भाजक
एक संख्या को एक सामान्य हर में कम करने के लिए, आपको पहले दो भाजक के सबसे छोटे सामान्य गुणक को खोजने की आवश्यकता है। अर्थात् वह छोटी से छोटी संख्या जो दोनों हरों द्वारा बिना किसी शेषफल के एक साथ विभाज्य हो। एनओसी लेने का सबसे आसान तरीका(कम से कम सामान्य गुणक) - एक पंक्ति में वे संख्याएँ लिखिए जो एक हर के लिए गुणज हों, फिर दूसरे के लिए और उनमें से एक मेल खाने वाली संख्या ज्ञात करें। इस घटना में कि एलसीएम नहीं मिला है, अर्थात, इन संख्याओं में एक सामान्य गुणक नहीं है, उन्हें गुणा किया जाना चाहिए, और परिणामी मूल्य को एलसीएम माना जाना चाहिए।
तो, हमें एलसीएम मिल गया है, अब हमें एक अतिरिक्त गुणक खोजने की जरूरत है। ऐसा करने के लिए, आपको बारी-बारी से एलसीएम को भिन्नों के हरों में विभाजित करना होगा और उनमें से प्रत्येक पर परिणामी संख्या लिखनी होगी। इसके बाद, परिणामी अतिरिक्त कारक से अंश और हर को गुणा करें और परिणाम को एक नए अंश के रूप में लिखें। यदि आपको संदेह है कि आपको प्राप्त संख्या पिछले एक के बराबर है, तो भिन्न के मूल गुण को याद रखें।
जोड़
अब सीधे भिन्नात्मक संख्याओं पर गणितीय संक्रियाओं पर चलते हैं। आइए सबसे सरल से शुरू करें। भिन्नों को जोड़ने के लिए कई विकल्प हैं। पहले मामले में, दोनों संख्याओं का हर समान है। इस मामले में, यह केवल अंशों को एक साथ जोड़ने के लिए रहता है। लेकिन भाजक नहीं बदलता है। उदाहरण के लिए, 1/5 + 3/5=4/5.
यदि भिन्नों के हर अलग-अलग हैं, तो आपको उन्हें एक सामान्य में लाना चाहिए और उसके बाद ही जोड़ करना चाहिए। यह कैसे करें, हमने आपके साथ थोड़ी अधिक चर्चा की है। इस स्थिति में भिन्न का मुख्य गुण काम आएगा। नियम आपको संख्याओं को एक सामान्य हर में लाने की अनुमति देगा। यह किसी भी तरह से मान नहीं बदलेगा।
वैकल्पिक रूप से, ऐसा हो सकता है कि भिन्न मिश्रित हो। फिर आपको पहले पूरे भागों को एक साथ जोड़ना चाहिए, और फिर भिन्नों को जोड़ना चाहिए।
गुणा
भिन्नों के गुणन के लिए किसी तरकीब की आवश्यकता नहीं होती है, और इस क्रिया को करने के लिए भिन्न के मूल गुण को जानना आवश्यक नहीं है। यह पहले अंश और हर को एक साथ गुणा करने के लिए पर्याप्त है। इस स्थिति में, अंशों का गुणनफल नया अंश बन जाएगा, और हर का गुणनफल नया हर बन जाएगा। जैसा कि आप देख सकते हैं, कुछ भी जटिल नहीं है।
केवल एक चीज जो आपके लिए आवश्यक है, वह है गुणन सारणी का ज्ञान, साथ ही सावधानी भी। साथ ही रिजल्ट मिलने के बाद यह जरूर चेक कर लें कि इस संख्या को कम किया जा सकता है या नहीं। भिन्नों को कम करने के तरीके के बारे में हम थोड़ी देर बाद बात करेंगे।
घटाव
भिन्नों को घटाते समय, आपको उन्हीं नियमों द्वारा निर्देशित होना चाहिए जो जोड़ते समय करते हैं। तो, एक ही हर के साथ संख्याओं में, यह सबट्रेंड के अंश को मिन्यूएंड के अंश से घटाने के लिए पर्याप्त है। इस घटना में कि भिन्नों के अलग-अलग भाजक हैं, आपको उन्हें एक सामान्य पर लाना चाहिए और फिर इस ऑपरेशन को करना चाहिए। इसके अतिरिक्त, आपको एक बीजीय भिन्न के मूल गुण का उपयोग करने की आवश्यकता होगी, साथ ही एलसीएम और भिन्नों के लिए सामान्य कारकों को खोजने में कौशल का उपयोग करना होगा।
डिवीजन
और ऐसी संख्याओं के साथ काम करते समय आखिरी, सबसे दिलचस्प ऑपरेशन विभाजन है। यह काफी सरल है और उन लोगों के लिए भी कोई विशेष कठिनाई नहीं पैदा करता है जो यह नहीं समझते हैं कि भिन्नों के साथ कैसे काम करना है, विशेष रूप से जोड़ और घटाव संचालन करने के लिए। विभाजित करते समय, ऐसा नियम पारस्परिक भिन्न से गुणा के रूप में लागू होता है। भिन्न का मुख्य गुण, जैसा कि गुणन के मामले में होता है,इस ऑपरेशन के लिए इस्तेमाल नहीं किया जाएगा। आइए करीब से देखें।
संख्याओं को विभाजित करने पर लाभांश अपरिवर्तित रहता है। भाजक को उलट दिया जाता है, यानी अंश और हर को उलट दिया जाता है। उसके बाद, संख्याओं को एक दूसरे से गुणा किया जाता है।
संक्षिप्त नाम
इसलिए, हमने पहले ही भिन्नों की परिभाषा और संरचना, उनके प्रकार, इन संख्याओं पर संचालन के नियमों का विश्लेषण किया है, बीजीय अंश की मुख्य संपत्ति का पता लगाया है। अब बात करते हैं कमी जैसे ऑपरेशन की। एक अंश को कम करना इसे परिवर्तित करने की प्रक्रिया है - अंश और हर को एक ही संख्या से विभाजित करना। इस प्रकार, भिन्न अपने गुणों को बदले बिना घटाया जाता है।
आमतौर पर, गणितीय ऑपरेशन करते समय, आपको अंत में प्राप्त परिणाम को ध्यान से देखना चाहिए और पता लगाना चाहिए कि परिणामी अंश को कम करना संभव है या नहीं। याद रखें कि अंतिम परिणाम हमेशा एक भिन्नात्मक संख्या के रूप में लिखा जाता है जिसमें कमी की आवश्यकता नहीं होती है।
अन्य ऑपरेशन
आखिरकार, हम ध्यान दें कि हमने सभी संक्रियाओं को भिन्नात्मक संख्याओं पर सूचीबद्ध नहीं किया है, केवल सबसे प्रसिद्ध और आवश्यक लोगों का उल्लेख करते हुए। भिन्नों की भी तुलना की जा सकती है, दशमलव में परिवर्तित किया जा सकता है, और इसके विपरीत। लेकिन इस लेख में हमने इन संक्रियाओं पर विचार नहीं किया, क्योंकि गणित में उन्हें ऊपर दिए गए कार्यों की तुलना में बहुत कम बार किया जाता है।
निष्कर्ष
हमने उनके साथ भिन्नात्मक संख्याओं और संक्रियाओं के बारे में बात की। हमने भिन्न की मुख्य संपत्ति को भी अलग किया,अंशों की कमी। लेकिन हम ध्यान दें कि इन सभी सवालों को हमने पास करते समय माना था। हमने केवल सबसे प्रसिद्ध और इस्तेमाल किए गए नियम दिए हैं, सबसे महत्वपूर्ण दिए हैं, हमारी राय में, सलाह।
इस लेख का उद्देश्य उस जानकारी को ताज़ा करना है जो आप भिन्न के बारे में भूल गए हैं, न कि नई जानकारी देने और अपने दिमाग को अंतहीन नियमों और सूत्रों से "भरने" के लिए, जो सबसे अधिक संभावना है, आपके लिए उपयोगी नहीं होगा।
हमें उम्मीद है कि लेख में प्रस्तुत सामग्री सरल और संक्षिप्त रूप से आपके लिए उपयोगी साबित हुई है।
