अक्ष पर और तल पर बल का प्रक्षेपण। भौतिक विज्ञान

2024 लेखक: Angel Austin | [email protected]. अंतिम बार संशोधित: 2023-12-17 05:27

शक्ति भौतिकी में सबसे महत्वपूर्ण अवधारणाओं में से एक है। यह किसी भी वस्तु की स्थिति में परिवर्तन का कारण बनता है। इस लेख में, हम विचार करेंगे कि यह मान क्या है, वहां कौन से बल हैं, और यह भी दिखाएंगे कि अक्ष पर और विमान पर बल के प्रक्षेपण को कैसे खोजना है।

शक्ति और उसका भौतिक अर्थ

भौतिकी में, बल एक सदिश राशि है जो प्रति इकाई समय में किसी पिंड की गति में परिवर्तन को दर्शाता है। यह परिभाषा बल को एक गतिशील विशेषता मानती है। स्टैटिक्स के दृष्टिकोण से, भौतिकी में बल निकायों के लोचदार या प्लास्टिक विरूपण का एक उपाय है।

अंतर्राष्ट्रीय SI प्रणाली न्यूटन (N) में बल व्यक्त करती है। 1 न्यूटन क्या है, शास्त्रीय यांत्रिकी के दूसरे नियम के उदाहरण को समझने का सबसे आसान तरीका। इसका गणितीय अंकन इस प्रकार है:

F¯=एमए¯

यहाँ F¯ कुछ बाहरी बल है जो m द्रव्यमान के पिंड पर कार्य करता है और परिणामस्वरूप त्वरण a¯ होता है। एक न्यूटन की मात्रात्मक परिभाषा इस सूत्र से मिलती है: 1 एन एक ऐसा बल है जो 1 किलो के द्रव्यमान वाले पिंड की गति में हर सेकंड के लिए 1 मीटर / सेकंड में परिवर्तन करता है।

गतिशील के उदाहरणबल की अभिव्यक्तियाँ पृथ्वी के गुरुत्वाकर्षण क्षेत्र में एक कार या स्वतंत्र रूप से गिरने वाले पिंड का त्वरण हैं।

बल की स्थिर अभिव्यक्ति, जैसा कि उल्लेख किया गया है, विरूपण घटना से जुड़ा है। निम्नलिखित सूत्र यहाँ दिए जाने चाहिए:

एफ=पीएस

एफ=-केx

पहली अभिव्यक्ति बल F को उस दबाव P से संबंधित करती है जो वह किसी क्षेत्र S पर लगाता है। इस सूत्र के माध्यम से, 1 N को 1 m के क्षेत्र पर लागू 1 पास्कल के दबाव के रूप में परिभाषित किया जा सकता है। 2^{. उदाहरण के लिए, समुद्र तल पर वायुमंडलीय वायु का एक स्तंभ 1 m}2 ^{की साइट पर 10}5^{N! के बल से दबाता है।}

दूसरा व्यंजक हुक के नियम का शास्त्रीय रूप है। उदाहरण के लिए, एक स्प्रिंग को रैखिक मान x द्वारा खींचने या संपीड़ित करने से एक विरोधी बल F का उदय होता है (व्यंजक k आनुपातिकता कारक है)।

कौन सी ताकतें हैं

यह पहले ही ऊपर दिखाया जा चुका है कि बल स्थिर और गतिशील हो सकते हैं। यहां हम कहते हैं कि इस सुविधा के अलावा, वे संपर्क या लंबी दूरी की ताकतें हो सकती हैं। उदाहरण के लिए, घर्षण बल, समर्थन प्रतिक्रियाएँ संपर्क बल हैं। उनके प्रकट होने का कारण पाउली सिद्धांत की वैधता है। उत्तरार्द्ध कहता है कि दो इलेक्ट्रॉन एक ही स्थिति में नहीं रह सकते हैं। इसलिए दो परमाणुओं का स्पर्श उनके प्रतिकर्षण की ओर ले जाता है।

एक निश्चित वाहक क्षेत्र के माध्यम से निकायों की बातचीत के परिणामस्वरूप लंबी दूरी की ताकतें दिखाई देती हैं। उदाहरण के लिए, ऐसे गुरुत्वाकर्षण बल या विद्युत चुम्बकीय संपर्क हैं। दोनों शक्तियों की एक अनंत सीमा है,हालाँकि, दूरी के वर्ग (कूलम्ब के नियम और गुरुत्वाकर्षण) के रूप में उनकी तीव्रता कम हो जाती है।

शक्ति एक सदिश राशि है

माना गया भौतिक मात्रा के अर्थ से निपटने के बाद, हम धुरी पर बल प्रक्षेपण के मुद्दे के अध्ययन के लिए आगे बढ़ सकते हैं। सबसे पहले, हम ध्यान दें कि यह मात्रा एक वेक्टर है, अर्थात यह एक मॉड्यूल और दिशा की विशेषता है। हम दिखाएंगे कि बल मापांक और उसकी दिशा की गणना कैसे करें।

यह ज्ञात है कि किसी भी वेक्टर को किसी दिए गए निर्देशांक प्रणाली में विशिष्ट रूप से परिभाषित किया जा सकता है यदि उसके प्रारंभ और अंत के निर्देशांक के मान ज्ञात हों। मान लें कि कुछ निर्देशित खंड MN¯ है। फिर इसकी दिशा और मॉड्यूल निम्नलिखित अभिव्यक्तियों का उपयोग करके निर्धारित किया जा सकता है:

MN¯=(x₂-x₁; y₂-y 1_{; z}2_-z1_);

|एमएन¯|=((x₂-x₁)²+ (y_{2 -y}1₎2^{+ (z}2_-z1 ₎2^).

यहां, निर्देशांक 2 के साथ निर्देशांक बिंदु N के अनुरूप होते हैं, जो सूचकांक 1 के साथ बिंदु M के अनुरूप होते हैं। वेक्टर MN¯ को M से N की ओर निर्देशित किया जाता है।

सामान्यता के लिए, हमने दिखाया है कि त्रि-आयामी अंतरिक्ष में एक वेक्टर के मापांक और निर्देशांक (दिशा) को कैसे खोजना है। तीसरे निर्देशांक के बिना समान सूत्र विमान पर मामले के लिए मान्य हैं।

इस प्रकार, बल का मापांक इसका निरपेक्ष मान है, जिसे न्यूटन में व्यक्त किया जाता है। ज्यामिति की दृष्टि से मापांक निर्देशित खंड की लंबाई है।

बल का प्रक्षेपण क्या हैअक्ष?

निर्देशित खंडों के अनुमानों के बारे में समन्वय अक्षों और विमानों पर बात करना सबसे सुविधाजनक है यदि आप पहले संबंधित वेक्टर को मूल बिंदु पर रखते हैं, अर्थात बिंदु (0; 0; 0) पर। मान लीजिए कि हमारे पास कुछ बल वेक्टर F¯ है। आइए इसकी शुरुआत को बिंदु (0; 0; 0) पर रखें, फिर वेक्टर के निर्देशांक इस प्रकार लिखे जा सकते हैं:

F¯=((x₁- 0); (y₁- 0); (z₁ - 0))=(x₁; y₁; z₁)।

वेक्टर F¯ दिए गए निर्देशांक प्रणाली में अंतरिक्ष में बल की दिशा को दर्शाता है। आइए अब F¯ के अंत से प्रत्येक अक्ष पर लंबवत खंड बनाएं। संगत अक्ष के साथ लंब के प्रतिच्छेदन बिंदु से मूल बिंदु तक की दूरी को अक्ष पर बल का प्रक्षेपण कहा जाता है। यह अनुमान लगाना कठिन नहीं है कि बल F¯ के मामले में, x, y और z अक्षों पर इसका प्रक्षेपण x₁, y_{1होगा। और z 1}, क्रमशः। ध्यान दें कि ये निर्देशांक बल अनुमानों (खंडों की लंबाई) के मॉड्यूल दिखाते हैं।

निर्देशांक अक्षों पर बल और उसके प्रक्षेपणों के बीच के कोण

इन कोणों की गणना करना मुश्किल नहीं है। इसे हल करने के लिए केवल त्रिकोणमितीय फलनों के गुणों और पाइथागोरस प्रमेय को लागू करने की क्षमता का ज्ञान होना आवश्यक है।

उदाहरण के लिए, आइए बल की दिशा और x-अक्ष पर उसके प्रक्षेपण के बीच के कोण को परिभाषित करें। संबंधित समकोण त्रिभुज कर्ण (सदिश F¯) और पैर (खंड x₁) द्वारा बनाया जाएगा। दूसरा चरण वेक्टर F¯ के अंत से x-अक्ष तक की दूरी है। F¯ और x-अक्ष के बीच के कोण α की गणना सूत्र द्वारा की जाती है:

α=arccos(|x₁|/|F¯|)=arccos(x₁/√(x ₁²+y₁²+z₁ ²)).

जैसा कि आप देख सकते हैं, अक्ष और वेक्टर के बीच के कोण को निर्धारित करने के लिए, निर्देशित खंड के अंत के निर्देशांक को जानना आवश्यक और पर्याप्त है।

अन्य अक्षों (y और z) वाले कोणों के लिए, आप समान व्यंजक लिख सकते हैं:

β=arccos(|y₁|/|F¯|)=arccos(y₁/√(x) 12^+y12^+z 12^));

γ=arccos(|z₁|/|F¯|)=arccos(z₁/√(x) 12^+y12^+z 12^)).

ध्यान दें कि सभी फ़ार्मुलों में अंशों में मॉड्यूल होते हैं, जो मोटे कोनों की उपस्थिति को समाप्त करते हैं। बल और उसके अक्षीय प्रक्षेपणों के बीच, कोण हमेशा 90^o से कम या उसके बराबर होते हैं।

समन्वय तल पर बल और उसका प्रक्षेपण

तल पर बल प्रक्षेपण की परिभाषा अक्ष के लिए समान है, केवल इस मामले में लंबवत को अक्ष पर नहीं, बल्कि विमान पर उतारा जाना चाहिए।

एक स्थानिक आयताकार समन्वय प्रणाली के मामले में, हमारे पास तीन परस्पर लंबवत विमान xy (क्षैतिज), yz (ललाट लंबवत), xz (पार्श्व लंबवत) हैं। सदिश के अंत से नामित विमानों तक गिराए गए लंबों के प्रतिच्छेदन बिंदु हैं:

(x₁; y₁; 0) xy के लिए;

(x₁; 0; z₁) xz के लिए;

(0; y₁; z₁) zy के लिए।

यदि प्रत्येक चिह्नित बिंदु मूल बिंदु से जुड़ा है, तो हमें संबंधित तल पर F¯ बल का प्रक्षेपण मिलता है। बल का मापांक क्या है, हम जानते हैं। प्रत्येक प्रक्षेपण के मापांक को खोजने के लिए, आपको पाइथागोरस प्रमेय को लागू करने की आवश्यकता है। आइए विमान पर अनुमानों को F_xy, F_xz और F_zy के रूप में निरूपित करें। तब समानताएं उनके मॉड्यूल के लिए मान्य होंगी:

F_xy=√(x₁²+y₁ 2^);

F_xz=√(x₁²+ z₁ 2^);

F_zy=(y₁²+ z₁ ²).

विमान पर प्रक्षेपणों के बीच के कोण और बल वेक्टर

उपरोक्त पैराग्राफ में, माना वेक्टर एफ¯ के विमान पर अनुमानों के मॉड्यूल के लिए सूत्र दिए गए थे। ये प्रक्षेपण, खंड F¯ और इसके अंत से विमान तक की दूरी के साथ, समकोण त्रिभुज बनाते हैं। इसलिए, जैसा कि अक्ष पर अनुमानों के मामले में होता है, आप प्रश्न में कोणों की गणना करने के लिए त्रिकोणमितीय कार्यों की परिभाषा का उपयोग कर सकते हैं। आप निम्नलिखित समानताएँ लिख सकते हैं:

α=arccos(F_xy/|F¯|)=arccos(√(x₁^{2 +y}12^{) /√(x}12 +y¹₂+z¹₂));

β=arccos(F_xz/|F¯|)=arccos(√(x₁^{2 +z}12^)/√(x12 +y¹₂+z¹₂));

γ=arccos(F_zy/|F¯|)=arccos(√(y₁²+z₁²)/√(x₁²+y₁² +z₁²)).

यह समझना महत्वपूर्ण है कि बल F¯ की दिशा और तल पर इसके संगत प्रक्षेपण के बीच का कोण F¯ और इस तल के बीच के कोण के बराबर है। यदि हम ज्यामिति की दृष्टि से इस समस्या पर विचार करें, तो हम कह सकते हैं कि निर्देशित खंड F¯ का झुकाव विमानों xy, xz और zy के संबंध में है।

बल अनुमानों का उपयोग कहाँ किया जाता है?

निर्देशांक अक्षों और तल पर बल अनुमानों के लिए उपरोक्त सूत्र केवल सैद्धांतिक रुचि के नहीं हैं। इनका उपयोग अक्सर शारीरिक समस्याओं को हल करने में किया जाता है। प्रक्षेपणों को खोजने की प्रक्रिया को ही इसके घटकों में बल का अपघटन कहा जाता है। उत्तरार्द्ध वैक्टर हैं, जिनमें से योग को मूल बल वेक्टर देना चाहिए। सामान्य स्थिति में, बल को मनमाने घटकों में विघटित करना संभव है, हालांकि, समस्याओं को हल करने के लिए, लंबवत अक्षों और विमानों पर अनुमानों का उपयोग करना सुविधाजनक है।

समस्याएँ जहाँ बल अनुमानों की अवधारणा को लागू किया जाता है, बहुत भिन्न हो सकती हैं। उदाहरण के लिए, वही न्यूटन का दूसरा नियम मानता है कि शरीर पर अभिनय करने वाले बाहरी बल F¯ को उसी तरह निर्देशित किया जाना चाहिए जैसे वेग वेक्टर v¯। यदि उनकी दिशाएँ किसी कोण से भिन्न हों, तो, समानता को वैध बनाए रखने के लिए, व्यक्ति को इसमें F¯ स्वयं बल नहीं, बल्कि दिशा v¯ पर इसका प्रक्षेपण प्रतिस्थापित करना चाहिए।

अगला, हम कुछ उदाहरण देंगे, जहां हम दिखाएंगे कि रिकॉर्ड किए गए का उपयोग कैसे करेंसूत्र।

विमान और निर्देशांक अक्षों पर बल अनुमानों को निर्धारित करने का कार्य

मान लें कि कुछ बल F¯ है, जिसे एक वेक्टर द्वारा दर्शाया गया है जिसका निम्नलिखित छोर है और निर्देशांक प्रारंभ करें:

(2; 0; 1);

(-1; 4; -1).

बल के मापांक के साथ-साथ समन्वय अक्षों और विमानों पर इसके सभी अनुमानों और F¯ और इसके प्रत्येक प्रक्षेपण के बीच के कोणों को निर्धारित करना आवश्यक है।

आइए वेक्टर F¯ के निर्देशांक की गणना करके समस्या को हल करना शुरू करते हैं। हमारे पास है:

F¯=(-1; 4; -1) - (2; 0; 1)=(-3; 4; -2)।

तब बल का मापांक होगा:

|एफ¯|=(9 + 16 + 4)=29 ≈ 5, 385 एन.

निर्देशांक अक्षों पर अनुमान वेक्टर F¯ के संगत निर्देशांक के बराबर होते हैं। आइए उनके और F¯ दिशा के बीच के कोणों की गणना करें। हमारे पास है:

α=आर्ककोस(|-3 |/5, 385) 56, 14^o;

β=आर्ककोस(|4|/5, 385) 42, 03^o;

γ=आर्ककोस(|-2|/5, 385) 68, 20^o।

चूंकि वेक्टर F¯ के निर्देशांक ज्ञात हैं, समन्वय विमान पर बल अनुमानों के मॉड्यूल की गणना करना संभव है। उपरोक्त सूत्रों का उपयोग करते हुए, हम प्राप्त करते हैं:

एफ_xy=√(9 +16)=5 एन;

F_xz=√(9 + 4)=3, 606 एन;

F_zy=√(16 + 4)=4, 472 एन.

अंत में, यह विमान पर पाए गए अनुमानों और बल वेक्टर के बीच के कोणों की गणना करने के लिए बनी हुई है। हमारे पास है:

α=arccos(F_xy/|F¯|)=arccos(5/5, 385) ≈ 21, 8^o;

बीटा=arccos(F_xz/|F¯|)=arccos(3, 606/5, 385) ≈ 48, 0^o;

γ=arccos(F_zy/|F¯|)=arccos(4, 472/5, 385) ≈ 33, 9^o.

इस प्रकार, वेक्टर F¯ xy निर्देशांक तल के सबसे निकट है।

झुके हुए समतल पर फिसलने वाली पट्टी के साथ समस्या

अब एक भौतिक समस्या का समाधान करते हैं जहां बल प्रक्षेपण की अवधारणा को लागू करना आवश्यक होगा। मान लीजिए कि एक लकड़ी का झुका हुआ तल दिया गया है। क्षितिज पर इसके झुकाव का कोण 45^o है। तल पर एक लकड़ी का गुटका है जिसका द्रव्यमान 3 किग्रा है। यह निर्धारित करना आवश्यक है कि यह बार किस त्वरण के साथ विमान से नीचे जाएगा यदि यह ज्ञात है कि फिसलने वाले घर्षण का गुणांक 0.7 है।

पहले, शरीर की गति का समीकरण बनाते हैं। चूँकि इस पर केवल दो बल कार्य करेंगे (एक समतल पर गुरुत्वाकर्षण का प्रक्षेपण और घर्षण बल), समीकरण का रूप लेगा: