वर्गमूल वाले संख्यात्मक भावों के साथ काम करने की क्षमता OGE और USE की कई समस्याओं के सफल समाधान के लिए आवश्यक है। इन परीक्षाओं में, रूट निष्कर्षण क्या है और इसे व्यवहार में कैसे किया जाता है, इसकी एक बुनियादी समझ आमतौर पर पर्याप्त होती है।
परिभाषा
एक संख्या X का n-वें मूल एक संख्या x है जिसके लिए समानता सत्य है: xn =X.
मूल के साथ व्यंजक का मान ज्ञात करने का अर्थ है x दिए गए X और n को खोजना।
वर्गमूल या, जो समान है, X का दूसरा मूल - वह संख्या x जिसके लिए समानता संतुष्ट है: x2 =X.
पदनाम:. यहाँ 3 मूल की घात है, X मूल व्यंजक है। चिह्न '√' को अक्सर एक मूलक कहा जाता है।
यदि मूल के ऊपर की संख्या डिग्री नहीं दर्शाती है, तो डिफ़ॉल्ट 2 की डिग्री है।
एक स्कूल पाठ्यक्रम में सम डिग्री के लिए, नकारात्मक जड़ों और कट्टरपंथी अभिव्यक्तियों पर आमतौर पर विचार नहीं किया जाता है। उदाहरण के लिए, कोई नहीं है√-2, और व्यंजक 4 के लिए सही उत्तर 2 है, इस तथ्य के बावजूद कि (-2)2 भी 4 के बराबर है।
जड़ों की तर्कसंगतता और तर्कहीनता
जड़ के साथ सबसे आसान संभव कार्य है किसी व्यंजक का मान ज्ञात करना या तर्कसंगतता के लिए उसका परीक्षण करना।
उदाहरण के लिए, मानों की गणना करें 25; 8; -125:
- √25=5 क्योंकि 52 =25;
- ∛8=2 क्योंकि 23 =8;
- ∛ - 125=-5 क्योंकि (-5)3 =-125.
दिए गए उदाहरणों में उत्तर परिमेय संख्याएं हैं।
ऐसे भावों के साथ काम करते समय जिनमें शाब्दिक स्थिरांक और चर शामिल नहीं होते हैं, यह अनुशंसा की जाती है कि हमेशा प्राकृतिक शक्ति को बढ़ाने के व्युत्क्रम संचालन का उपयोग करके इस तरह की जांच करें। संख्या x से nth घात ज्ञात करना x के n गुणनखंडों के गुणनफल की गणना के बराबर है।
मूल के साथ कई व्यंजक होते हैं, जिनका मान अपरिमेय होता है, अर्थात अनंत गैर-आवधिक भिन्न के रूप में लिखा जाता है।
परिभाषा के अनुसार, परिमेय वे हैं जिन्हें एक सामान्य भिन्न के रूप में व्यक्त किया जा सकता है, और अपरिमेय अन्य सभी वास्तविक संख्याएँ हैं।
इनमें 24, √0, 1, 101 शामिल हैं।
यदि समस्या पुस्तक कहती है: 2, 3, 5, 6, 7, आदि के मूल वाले व्यंजक का मान ज्ञात कीजिए, अर्थात उन प्राकृत संख्याओं से जो वर्गों की तालिका में शामिल नहीं हैं, तो सही उत्तर है 2 उपस्थित हो सकता है (जब तक कि अन्यथा न कहा गया हो)।
आकलन
समस्याओं मेंएक खुला उत्तर, यदि किसी व्यंजक का मूल से मान ज्ञात करना और उसे परिमेय संख्या के रूप में लिखना असंभव है, तो परिणाम को एक मूलांक के रूप में छोड़ देना चाहिए।
कुछ असाइनमेंट के मूल्यांकन की आवश्यकता हो सकती है। उदाहरण के लिए, 6 और 37 की तुलना करें। समाधान के लिए दोनों संख्याओं का वर्ग करना और परिणामों की तुलना करना आवश्यक है। दो संख्याओं में से जिसका वर्ग बड़ा है वह बड़ा है। यह नियम सभी सकारात्मक संख्याओं के लिए काम करता है:
- 62 =36;
- 372 =37;
- 37 >36;
- मतलब 37 > 6.
इसी तरह, समस्याओं को हल किया जाता है जिसमें कई संख्याओं को आरोही या अवरोही क्रम में व्यवस्थित किया जाना चाहिए।
उदाहरण: 5, 6, 48, √√64 को आरोही क्रम में व्यवस्थित करें।
वर्ग करने के बाद, हमारे पास है: 25, 6, 48, 64। √64 के साथ तुलना करने के लिए कोई भी सभी संख्याओं को फिर से वर्ग कर सकता है, लेकिन यह परिमेय संख्या 8 के बराबर है। 6 < 8 < 25 < 48, तो समाधान है: 48.
अभिव्यक्ति को सरल बनाना
ऐसा होता है कि किसी व्यंजक के मान को जड़ से ज्ञात करना असंभव है, इसलिए इसे सरल बनाया जाना चाहिए। निम्न सूत्र इसमें मदद करता है:
√ab=a√b.
दो संख्याओं के गुणनफल का मूल उनके मूलों के गुणनफल के बराबर होता है। इस ऑपरेशन के लिए किसी संख्या को गुणनखंड करने की क्षमता की भी आवश्यकता होगी।
शुरुआती चरण में, काम में तेजी लाने के लिए, अभाज्य संख्याओं और वर्गों की एक तालिका हाथ में रखने की सिफारिश की जाती है। इन तालिकाओं के साथ बारंबारभविष्य में उपयोग को याद रखा जाएगा।
उदाहरण के लिए, √242 एक अपरिमेय संख्या है, आप इसे इस तरह बदल सकते हैं:
- 242=2 × 121;
- √242=√(2 × 121);
- √2 × √121=√2 × 11.
आमतौर पर परिणाम 11√2 के रूप में लिखा जाता है (पढ़ें: दो में से ग्यारह मूल)।
यदि तुरंत यह देखना मुश्किल है कि किन दो कारकों को एक संख्या में विघटित करने की आवश्यकता है ताकि उनमें से एक से एक प्राकृतिक जड़ निकाली जा सके, तो आप पूर्ण अपघटन को प्रमुख कारकों में उपयोग कर सकते हैं। यदि एक ही अभाज्य संख्या प्रसार में दो बार आती है, तो उसे मूल चिह्न से निकाल दिया जाता है। जब कई कारक हों, तो आप कई चरणों में जड़ निकाल सकते हैं।
उदाहरण: √2400=√(2 × 2 × 2 × 2 × 2 × 3 × 5 × 5)। संख्या 2 विस्तार में 2 बार आती है (वास्तव में, दो बार से अधिक, लेकिन हम अभी भी विस्तार में पहली दो घटनाओं में रुचि रखते हैं)।
हम इसे रूट साइन के नीचे से निकालते हैं:
√(2 × 2 × 2 × 2 × 2 × 3 × 5 × 5)=2√ (2 × 2 × 2 × 3 × 5 × 5)।
एक ही क्रिया दोहराएं:
2√ (2 × 2 × 2 × 3 × 5 × 5)=2 × 2√ (2 × 3 × 5 × 5)।
शेष रेडिकल एक्सप्रेशन में, 2 और 3 एक बार आते हैं, इसलिए यह 5 का गुणनखंड निकालना बाकी है:
2 × 2√ (2 × 3 × 5 × 5)=5 × 2 × 2√ (2 × 3);
और अंकगणितीय ऑपरेशन करें:
5 × 2 × 2√(2 × 3)=20√6.
तो, हमें √2400=20√6 मिलता है।
यदि कार्य स्पष्ट रूप से यह नहीं बताता है: "वर्गमूल के साथ व्यंजक का मान ज्ञात कीजिए", तो विकल्प,उत्तर को किस रूप में छोड़ना है (क्या मूलक के नीचे से जड़ निकालना है) छात्र के पास रहता है और समस्या के हल होने पर निर्भर हो सकता है।
सबसे पहले, तकनीकी साधनों के उपयोग के बिना, कार्यों के डिजाइन, गणना, मौखिक या लिखित सहित, पर उच्च आवश्यकताओं को रखा जाता है।
तर्कहीन संख्यात्मक अभिव्यक्तियों के साथ काम करने के नियमों की अच्छी महारत के बाद, यह अधिक कठिन शाब्दिक अभिव्यक्तियों पर आगे बढ़ने और तर्कहीन समीकरणों को हल करने और अभिव्यक्ति के संभावित मूल्यों की सीमा की गणना करने के लिए समझ में आता है कट्टरपंथी।
गणित में एकीकृत राज्य परीक्षा के साथ-साथ गणितीय विश्लेषण और संबंधित विषयों का अध्ययन करते समय विशेष विश्वविद्यालयों के पहले वर्ष में छात्रों को इस प्रकार की समस्या का सामना करना पड़ता है।
