घन क्या है और इसके कितने विकर्ण होते हैं
घन (नियमित पॉलीहेड्रॉन या हेक्साहेड्रोन) एक त्रि-आयामी आकृति है, प्रत्येक फलक एक वर्ग है, जिसमें, जैसा कि हम जानते हैं, सभी पक्ष समान हैं। घन का विकर्ण एक खंड है जो आकृति के केंद्र से होकर गुजरता है और सममित शीर्षों को जोड़ता है। एक नियमित हेक्साहेड्रोन में 4 विकर्ण होते हैं, और वे सभी बराबर होंगे। यह बहुत महत्वपूर्ण है कि आकृति के विकर्ण को उसके चेहरे के विकर्ण या उसके आधार पर स्थित वर्ग के साथ भ्रमित न करें। घन फलक का विकर्ण फलक के केंद्र से होकर गुजरता है और वर्ग के विपरीत शीर्षों को जोड़ता है।
घन का विकर्ण ज्ञात करने का सूत्र
एक नियमित पॉलीहेड्रॉन का विकर्ण एक बहुत ही सरल सूत्र का उपयोग करके पाया जा सकता है जिसे याद रखना चाहिए। D=a√3, जहाँ D एक घन के विकर्ण को दर्शाता है, और एक किनारा है। आइए हम एक समस्या का उदाहरण देते हैं जहां एक विकर्ण खोजना आवश्यक है यदि यह ज्ञात है कि इसके किनारे की लंबाई 2 सेमी है। यहां सब कुछ सरल है डी=2√3, आपको कुछ भी गिनने की आवश्यकता नहीं है। दूसरे उदाहरण में, मान लीजिए कि घन का किनारा √3 सेमी है, तो हमें प्राप्त होता हैडी=√3√3=√9=3। उत्तर: डी 3 सेमी है।
घन फलक का विकर्ण ज्ञात करने का सूत्र
डियागो
नाल फलक भी सूत्र द्वारा ज्ञात किये जा सकते हैं। केवल 12 विकर्ण हैं जो फलकों पर स्थित हैं, और वे सभी एक दूसरे के बराबर हैं। अब d=a√2 याद रखें, जहां d वर्ग का विकर्ण है, और यह घन का किनारा या वर्ग की भुजा भी है। यह सूत्र कहां से आया है, यह समझना बहुत आसान है। आखिरकार, वर्ग की दो भुजाएँ और विकर्ण एक समकोण त्रिभुज बनाते हैं। इस तिकड़ी में, विकर्ण कर्ण की भूमिका निभाता है, और वर्ग के किनारे पैर होते हैं, जिनकी लंबाई समान होती है। पाइथागोरस प्रमेय को याद करें, और सब कुछ तुरंत ठीक हो जाएगा। अब समस्या: हेक्साहेड्रोन का किनारा √8 सेमी है, आपको इसके चेहरे के विकर्ण को खोजने की जरूरत है। हम सूत्र में सम्मिलित करते हैं, और हमें d=√8 √2=√16=4 मिलता है। उत्तर: घन के फलक का विकर्ण 4 सेमी है।
यदि घन फलक का विकर्ण ज्ञात हो
समस्या की स्थिति के अनुसार, हमें एक नियमित पॉलीहेड्रॉन के चेहरे का केवल विकर्ण दिया जाता है, जो कि √2 सेमी के बराबर है, और हमें घन के विकर्ण को खोजने की जरूरत है। इस समस्या को हल करने का सूत्र पिछले वाले की तुलना में थोड़ा अधिक जटिल है। यदि हम d जानते हैं, तो हम अपने दूसरे सूत्र d=a√2 के आधार पर घन का किनारा ज्ञात कर सकते हैं। हम प्राप्त करते हैं a=d/√2=√2/√2=1cm (यह हमारा किनारा है)। और यदि यह मान ज्ञात हो, तो घन का विकर्ण ज्ञात करना कठिन नहीं होगा: D=1√3=3। इस तरह हमने अपनी समस्या का समाधान किया।
यदि सतह का क्षेत्रफल ज्ञात हो
अगलासमाधान एल्गोरिथ्म घन के सतह क्षेत्र के साथ विकर्ण खोजने पर आधारित है। मान लीजिए यह 72cm2 है। सबसे पहले, आइए एक फलक का क्षेत्रफल ज्ञात करें, और कुल 6 हैं। तो, 72 को 6 से विभाजित किया जाना चाहिए, हमें 12 सेमी2 मिलता है। यह एक चेहरे का क्षेत्र है। एक नियमित पॉलीहेड्रॉन के किनारे को खोजने के लिए, आपको सूत्र S=a2 याद रखना होगा, इसलिए a=√S। प्रतिस्थापित करें और a=√12 (घन किनारे) प्राप्त करें। और अगर हम इस मान को जानते हैं, तो विकर्ण D=a√3=√12 √3=√36=6 खोजना मुश्किल नहीं है। उत्तर: एक घन का विकर्ण 6 सेमी2 है।.
यदि घन के किनारों की लंबाई ज्ञात हो
ऐसे मामले होते हैं जब समस्या में केवल सभी घन किनारों की लंबाई दी जाती है। फिर आपको इस मान को 12 से विभाजित करने की आवश्यकता है। एक नियमित पॉलीहेड्रॉन में कितनी भुजाएँ होती हैं। उदाहरण के लिए, यदि सभी किनारों का योग 40 है, तो एक भुजा 40/12=3, 333 के बराबर होगी। हमारे पहले सूत्र में सम्मिलित करें और उत्तर प्राप्त करें!
