वर्ग क्या है? एक वर्ग के कोने, खंड, तल, समीकरण, आयतन, आधार क्षेत्र और कोण कैसे ज्ञात करें?

2024 लेखक: Angel Austin | [email protected]. अंतिम बार संशोधित: 2024-01-15 17:24

वर्ग क्या होता है, इस प्रश्न के कई उत्तर हो सकते हैं। यह सब इस बात पर निर्भर करता है कि आप यह प्रश्न किससे पूछ रहे हैं। संगीतकार कहेगा कि वर्ग 4, 8, 16, 32 बार या जैज़ इम्प्रोवाइज़ेशन है। बच्चा - बॉल गेम या बच्चों की पत्रिका क्या है। प्रिंटर आपको प्रकार के आकार का अध्ययन करने के लिए भेजेगा, और तकनीशियन आपको धातु-लुढ़का प्रोफ़ाइल की किस्मों को भेजेगा।

इस शब्द के और भी कई अर्थ हैं, लेकिन आज हम एक गणितज्ञ से एक प्रश्न पूछेंगे। तो…

हम इस आंकड़े से धीरे-धीरे, सरल से जटिल तक, और वर्ग के इतिहास से शुरू करेंगे। यह कैसे दिखाई दिया, विभिन्न देशों और सभ्यताओं के लोगों, वैज्ञानिकों ने इसे कैसे माना?

वर्ग के अध्ययन का इतिहास

प्राचीन विश्व वर्ग को मुख्य रूप से चार प्रमुख बिंदुओं के रूप में मानता है। सामान्य तौर पर, कई चतुर्भुजों के बावजूद, यह वह वर्ग है जिसमें मुख्य संख्या - चार होती है। असीरियन और के लिएपेरूवियन वर्ग - पूरी दुनिया, यानी यह चार मुख्य दिशाओं, कार्डिनल बिंदुओं का प्रतिनिधित्व करती है।

ब्रह्मांड को भी एक वर्ग के रूप में प्रस्तुत किया गया था, वह भी चार भागों में विभाजित - यह उत्तरी अमेरिका के निवासियों की दृष्टि है। सेल्ट्स के लिए, ब्रह्मांड तीन वर्गों के रूप में एक दूसरे में निहित है, और चार (!) नदियाँ केंद्र से बहती हैं। और मिस्रियों ने आम तौर पर इस आकृति को देवता बनाया था!

पहली बार, यूनानियों ने गणितीय सूत्रों का उपयोग करके वर्ग का वर्णन किया। लेकिन उनके लिए, इस बहुभुज में केवल नकारात्मक विशेषताएं थीं। पाइथागोरस को सम अंक बिल्कुल भी पसंद नहीं थे, उनमें कमजोरी और स्त्रीत्व देखकर।

धर्मों का भी एक वर्ग होता है। इस्लाम में, काबा - पृथ्वी की नाभि - कुछ गोलाकार नहीं है, बल्कि एक घन आकार है।

भारत में, पृथ्वी या पृथ्वी के प्रतीक को दर्शाने वाला मुख्य अंगूर एक क्रॉस्ड स्क्वायर था। और फिर, हम चार मुख्य बिंदुओं, पृथ्वी के चार क्षेत्रों के बारे में बात कर रहे हैं।

चीन में, चौक शांति, सद्भाव और व्यवस्था है। एक वर्ग वर का निर्माण करके अराजकता को पराजित किया जाता है। एक वृत्त में अंकित एक वर्ग विश्व की दृष्टि का आधार है, जो ब्रह्मांड और पृथ्वी की एकता और जुड़ाव का प्रतीक है।

मूर्तिपूजक रूस - सरोग स्क्वायर। इस प्रतीक को सरोग का सितारा, या रूस का सितारा भी कहा जाता है। यह काफी जटिल है, क्योंकि यह प्रतिच्छेद और बंद रेखाओं से बना है। रूसियों की दृष्टि में सरोग देवता-लोहार, सबसे महत्वपूर्ण निर्माता, निर्माता और स्वयं आकाश है। इस प्रतीक में एक समचतुर्भुज है, जो फिर से पृथ्वी और उसकी चारों दिशाओं की बात करता है। और चार किरणों वाला एक तारा - 4 मुख्य बिंदु, सरोग के 4 चेहरे - उसकी सर्वज्ञता। और किरणों का प्रतिच्छेदन है चूल्हा।

वर्ग के बारे में दिलचस्प

हमारे मुख्य चरित्र के बारे में सबसे लोकप्रिय वाक्यांश जो दिमाग में आता है वह है "ब्लैक स्क्वायर"।

मालेविच की पेंटिंग अभी भी बहुत लोकप्रिय है। लेखक स्वयं, इसके निर्माण के बाद, लंबे समय तक इस सवाल से परेशान था कि यह क्या है, और सफेद पृष्ठभूमि पर एक साधारण काला वर्ग खुद पर इतना ध्यान क्यों आकर्षित करता है।

लेकिन अगर आप गौर से देखेंगे तो पाएंगे कि चौकोर का तल चिकना नहीं है, और काले रंग की दरारों में कई बहुरंगी रंग हैं। जाहिर है, शुरुआत में एक निश्चित रचना थी जो लेखक को पसंद नहीं थी, और उसने इसे इस आंकड़े के साथ हमारी आंखों से बंद कर दिया। एक ब्लैक स्क्वायर कुछ भी नहीं जैसा है - एक ब्लैक होल, केवल एक जादुई चौकोर आकार का। और खालीपन आकर्षित करने के लिए जाना जाता है…

"जादू वर्ग" भी बहुत लोकप्रिय हैं। वास्तव में, यह एक तालिका है, निश्चित रूप से, प्रत्येक कॉलम में संख्याओं से भरा एक वर्ग। इन संख्याओं का योग सभी पंक्तियों, स्तंभों और विकर्णों (व्यक्तिगत रूप से) में समान होता है। यदि विकर्णों को समानता से बाहर रखा जाता है, तो वर्ग अर्ध-जादुई होता है।

1514 में अल्ब्रेक्ट ड्यूरर ने "मेलानचोलिया I" पेंटिंग बनाई, जिसमें एक 4x4 जादू वर्ग को दर्शाया गया था। इसमें सभी स्तंभों, पंक्तियों, विकर्णों और यहाँ तक कि आंतरिक वर्गों की संख्याओं का योग चौंतीस होता है।

इन तालिकाओं के आधार पर, बहुत ही रोचक और लोकप्रिय पहेलियाँ सामने आईं - "सुडोकू"।

मिस्र के लोगों ने सबसे पहले संख्याओं (जन्म तिथि) और किसी व्यक्ति के चरित्र, योग्यता और प्रतिभा के गुणों के बीच अंतर्संबंध की रेखाएँ खींची थीं। पाइथागोरस ने इस ज्ञान को लिया, इस पर कुछ काम किया औरएक चौक में रख दिया। नतीजा पाइथागोरस स्क्वायर है।

अंक ज्योतिष में यह पहले से ही एक अलग दिशा है। किसी व्यक्ति के जन्म की तारीख से, इसके अलावा, चार मुख्य संख्याओं की गणना की जाती है, जिन्हें साइकोमेट्रिक्स (वर्ग) में रखा जाता है। इसलिए वे आपकी ऊर्जा, स्वास्थ्य, प्रतिभा, भाग्य, स्वभाव और अन्य चीजों के बारे में सभी गुप्त जानकारी अलमारियों पर रखते हैं। औसतन, सर्वेक्षणों के अनुसार, विश्वसनीयता 60% -80% है।

वर्ग क्या होता है?

एक वर्ग एक ज्यामितीय आकृति है। एक वर्ग का आकार एक चतुर्भुज होता है जिसमें समान पक्ष और कोण होते हैं। इससे भी अधिक सटीक रूप से, इस चतुर्भुज को नियमित कहा जाता है।

वर्ग के अपने चिन्ह होते हैं। यह है:

• भुजा बराबर लंबाई;
• समान कोण - सीधे (90 डिग्री)।

इन संकेतों और विशेषताओं के कारण, एक वृत्त को एक वर्ग में अंकित किया जा सकता है और उसके चारों ओर वर्णित किया जा सकता है। परिबद्ध वृत्त इसके सभी शीर्षों को स्पर्श करेगा, उत्कीर्ण वृत्त इसकी सभी भुजाओं के मध्य बिन्दुओं को स्पर्श करेगा। उनका केंद्र वर्ग के केंद्र के साथ मेल खाएगा और इसके सभी विकर्णों को आधा कर देगा। उत्तरार्द्ध, बदले में, एक दूसरे के बराबर हैं और वर्ग के कोनों को बराबर भागों में विभाजित करते हैं।

एक विकर्ण वर्ग को दो समद्विबाहु त्रिभुजों में विभाजित करता है, दोनों चार में।

इस प्रकार, यदि वर्ग की भुजा की लंबाई t है, परिबद्ध वृत्त की त्रिज्या की लंबाई R है, और खुदा हुआ वृत्त r है, तो

वर्ग के आधार का क्षेत्रफल, या वर्ग (S) का क्षेत्रफल S=t²=2R के बराबर होगा 2^=4r 2^;

वर्ग P की परिधि की गणना सूत्र का उपयोग करके की जानी चाहिए P=4t=4√2R=8r;

परिबद्ध वृत्त की त्रिज्या लंबाई R=(√2/2)t;

अंकित - r=t/2

किसी वर्ग के आधार के क्षेत्रफल की गणना उसकी भुजा (a) या उसके विकर्ण की लंबाई (c) को जानकर भी की जा सकती है, तो सूत्र उसके अनुसार दिखेंगे: S=a ² औरएस=1/2सी^2.

वर्ग क्या होता है, हमें पता चला। आइए विवरण पर करीब से नज़र डालें, क्योंकि वर्गाकार आकृति सबसे सममित चतुर्भुज है। इसमें समरूपता के पांच अक्ष हैं, जिनमें से एक (चौथे क्रम का) केंद्र से होकर गुजरता है और स्वयं वर्ग के तल के लंबवत है, और अन्य चार दूसरे क्रम के समरूपता के अक्ष हैं, उनमें से दो समानांतर हैं भुजाएँ, और दो और वर्ग के विकर्णों से होकर गुजरती हैं।

वर्ग बनाने की विधि

परिभाषाओं के आधार पर ऐसा लगता है कि एक नियमित वर्ग बनाने से आसान कुछ भी नहीं है। यह सच है, लेकिन इस शर्त पर कि आपके पास मापने के सभी उपकरण हैं। क्या होगा अगर कुछ स्टॉक में नहीं है?

आइए इस आकृति को बनाने में हमारी मदद करने के मौजूदा तरीकों को देखें।

रूलर और वर्ग को मापना मुख्य उपकरण हैं जिनसे आप सबसे आसानी से एक वर्ग बना सकते हैं।

पहले, एक बिंदु चिह्नित करें, मान लें कि A, इससे हम वर्ग का आधार बनाएंगे।

रूलर का उपयोग करते हुए, इससे दाईं ओर की भुजा की लंबाई के बराबर दूरी निर्धारित करें, मान लें कि 30 मिमी, और बिंदु B लगाएं।

अब दोनों बिंदुओं से, एक वर्ग का उपयोग करके, प्रत्येक के 30 मिमी के लंबवत बनाएं। लंबों के सिरों पर हम बिंदु C और D रखते हैं, जिन्हें हम एक दूसरे से जोड़ते हैंरूलर - बस, 30 मिमी भुजा वाला वर्ग ABCD तैयार है!

रूलर और प्रोट्रैक्टर से भी वर्ग बनाना बहुत आसान है। शुरू करें, जैसा कि पिछले मामले में है, एक बिंदु से, एच कहते हैं, इसमें से एक क्षैतिज खंड को अलग करें, उदाहरण के लिए 50 मिमी। प्वाइंट ओ.

अब चांदा के केंद्र को बिंदु H से जोड़ दें, कोण मान 90⁰ पर एक चिह्न लगाएं, इसके माध्यम से 50 मिमी का एक लंबवत खंड बनाएं और बिंदु H, इसके अंत में एक बिंदु P रखें। अगला इसी तरह बिंदु O से 90^{0 के कोण के माध्यम से 50 मिमी के बराबर एक तीसरा खंड बनाएं, इसे बिंदु P पर समाप्त होने दें। बिंदु P और P को कनेक्ट करें. आपके पास 50 मिमी की लंबाई के साथ NORP का एक वर्ग है।}

आप केवल कंपास और स्ट्रेटएज का उपयोग करके एक वर्ग का निर्माण कर सकते हैं। यदि वर्ग का आकार आपके लिए महत्वपूर्ण है और भुजा की लंबाई ज्ञात है, तो आपको कैलकुलेटर की भी आवश्यकता होगी।

तो, पहला बिंदु E रखें - यह वर्ग के शीर्षों से होगा। इसके बाद, उस स्थान को इंगित करें जहां विपरीत शीर्ष W स्थित होगा, अर्थात, आपकी आकृति का विकर्ण HJ खड़ा होगा। यदि आप आकार में एक वर्ग का निर्माण कर रहे हैं, तो भुजा की लंबाई होने पर, सूत्र का उपयोग करके विकर्ण की लंबाई की गणना करें:

d=√2a, जहां a भुजा की लंबाई है।

विकर्ण की लंबाई जानने के बाद, इस मान के का एक खंड बनाएं। बिंदु E से, बिंदु F की दिशा में एक कम्पास का उपयोग करके, त्रिज्या EJ के साथ एक अर्धवृत्त बनाएं। और इसके विपरीत, बिंदु F से - बिंदु E की ओर एक अर्धवृत्त, समान त्रिज्या के साथ। इन अर्धवृत्तों के चौराहे के बिंदुओं के माध्यम से, एक शासक का उपयोग करके, ZI के एक खंड का निर्माण करें। हेजहोग और ZI समकोण पर प्रतिच्छेद करते हैं और भविष्य के वर्ग के विकर्ण हैं। EI, IZH, ZHZ और ZE बिंदुओं को जोड़करएक रूलर का उपयोग करके, आपको EIHZ का एक खुदा हुआ वर्ग मिलेगा।

एक शासक के साथ एक वर्ग बनाना अभी भी संभव है। एक वर्ग क्या है? यह समतल का एक खंड है जो प्रतिच्छेदन खंडों (रेखाओं, किरणों) से घिरा है। इसलिए, हम इसके शीर्षों के निर्देशांकों से एक वर्ग की रचना कर सकते हैं। पहले निर्देशांक अक्षों को ड्रा करें। वर्ग के किनारे उन पर झूठ बोल सकते हैं, या विकर्णों के चौराहे का केंद्र मूल बिंदु के साथ मेल खाएगा - यह आपकी इच्छा या समस्या की स्थितियों पर निर्भर करता है। शायद आपका फिगर कुल्हाड़ियों से कुछ दूरी पर होगा। किसी भी स्थिति में, पहले दो बिंदुओं को संख्यात्मक मानों (मनमाने ढंग से या सशर्त) से चिह्नित करें, फिर आपको वर्ग के किनारे की लंबाई का पता चल जाएगा। अब आप शेष दो शीर्षों के निर्देशांकों की गणना कर सकते हैं, यह याद करते हुए कि वर्ग की भुजाएँ समान हैं और एक दूसरे के समानांतर जोड़ीदार हैं। अंतिम चरण एक रूलर का उपयोग करके श्रृंखला के सभी बिंदुओं को एक दूसरे से जोड़ना है।

वर्ग क्या होते हैं?

एक वर्ग एक ऐसी आकृति है जो स्पष्ट रूप से परिभाषित है और इसकी परिभाषाओं द्वारा सख्ती से सीमित है, इसलिए वर्गों के प्रकार विविधता में भिन्न नहीं होते हैं।

गैर-यूक्लिडियन ज्यामिति में, एक वर्ग को अधिक व्यापक रूप से माना जाता है - यह समान पक्षों और कोणों वाला एक चतुर्भुज है, लेकिन कोणों की डिग्री निर्धारित नहीं है। इसका मतलब है कि कोने 120 डिग्री ("उत्तल" वर्ग) हो सकते हैं और, उदाहरण के लिए, 72 डिग्री ("अवतल" वर्ग)।

यदि आप किसी जियोमीटर या कंप्यूटर वैज्ञानिक से पूछें कि एक वर्ग क्या है, तो वे आपको जवाब देंगे कि यह एक पूर्ण या समतलीय ग्राफ है (K₁ से K तक के ग्राफ़) 4_{). और इसबिल्कुल निष्पक्ष। एक ग्राफ में कोने और किनारे होते हैं। जब वे एक क्रमित युग्म बनाते हैं, तो एक ग्राफ बनता है। शीर्षों की संख्या ग्राफ का क्रम है, किनारों की संख्या इसका आकार है। इस प्रकार एक वर्ग एक समतलीय ग्राफ होता है जिसमें चार शीर्ष और छह किनारे होते हैं, या K}4_:6.

चौकोर पक्ष

एक वर्ग के अस्तित्व के लिए मुख्य शर्तों में से एक - लंबाई में समान पक्षों की उपस्थिति - विभिन्न गणनाओं के लिए पक्ष को बहुत महत्वपूर्ण बनाती है। लेकिन साथ ही, यह विभिन्न प्रकार के इनपुट डेटा की उपस्थिति में वर्ग के किनारे की लंबाई की गणना करने के कई तरीके देता है।

तो आप वर्ग की भुजा कैसे ज्ञात करते हैं?

• यदि आप केवल वर्ग d के विकर्ण की लंबाई जानते हैं, तो आप निम्न सूत्र का उपयोग करके भुजा की गणना कर सकते हैं: a=d/√2.
• खुदा हुआ वृत्त का व्यास वर्ग की भुजा के बराबर है और इसलिए, दो त्रिज्याओं के लिए, अर्थात: a=D=2R.
• परिक्रमित वृत्त की त्रिज्या आपको यह गणना करने में भी मदद कर सकती है कि वर्ग की भुजा क्या है। हम त्रिज्या R से व्यास D का पता लगा सकते हैं, जो बदले में, वर्ग d के विकर्ण के बराबर है, और हम पहले से ही विकर्ण के माध्यम से वर्ग की भुजा के लिए सूत्र जानते हैं: a=D/√2=डी/√2=2R/√2.
• भुजाओं की समानता से यह इस प्रकार है कि आप वर्ग की भुजा ज्ञात कर सकते हैं (ए) इसकी परिधि पी या क्षेत्र एस का उपयोग करके: ए=√ एस=पी / 4।
• यदि हम उस रेखा की लंबाई जानते हैं जो वर्ग के कोने से निकलती है और उसकी आसन्न भुजा C के मध्य को पार करती है, तो हम यह भी पता लगा पाएंगे कि वर्ग की भुजा की लंबाई क्या है वर्ग: a=2C/√5.

एक वर्ग की भुजा की लंबाई जैसे महत्वपूर्ण पैरामीटर का पता लगाने के कई तरीके हैं।

स्क्वायर वॉल्यूम

वाक्य अपने आप में बेतुका है। एक वर्ग क्या है? यह एक सपाट आकृति है जिसमें केवल दो पैरामीटर हैं - लंबाई और चौड़ाई। और मात्रा? यह उस स्थान की मात्रात्मक विशेषता है जो एक वस्तु घेरती है, अर्थात इसकी गणना केवल आयतन निकायों के लिए की जा सकती है।

3D बॉडी, जिसके सभी फलक वर्ग हैं - एक घन। विशाल और मूलभूत अंतर के बावजूद, स्कूली बच्चे अक्सर एक वर्ग के आयतन की गणना करने का प्रयास करते हैं। अगर कोई सफल होता है, तो नोबेल पुरस्कार की गारंटी है।

और घन V का आयतन ज्ञात करने के लिए, इसके तीनों किनारों - a, b, c: V=abc को गुणा करना पर्याप्त है। और चूंकि वे परिभाषा के अनुसार समान हैं, इसलिए सूत्र भिन्न दिख सकता है: V=a3।

मात्रा, पुर्जे और विनिर्देश

एक वर्ग, किसी भी बहुभुज की तरह, शिखर होते हैं - ये वे बिंदु होते हैं जहां इसकी भुजाएं प्रतिच्छेद करती हैं। एक वर्ग के शीर्ष उसके चारों ओर घिरे एक वृत्त पर स्थित होते हैं। एक विकर्ण शीर्ष से होकर वर्ग के केंद्र तक जाता है, जो कि समद्विभाजक और परिबद्ध वृत्त की त्रिज्या भी है।

चूंकि एक वर्ग एक सपाट आकृति है, इसलिए एक वर्ग के एक खंड को काटना और बनाना असंभव है। लेकिन यह एक विमान द्वारा कई त्रि-आयामी निकायों के प्रतिच्छेदन का परिणाम हो सकता है। उदाहरण के लिए, एक सिलेंडर। बेलन का अक्षीय भाग एक आयत या वर्ग है। यहां तक कि जब शरीर एक विमान के साथ एक मनमाना कोण पर प्रतिच्छेद करता है, तब भी एक वर्ग निकल सकता है!

लेकिन वर्ग का खंड से एक और संबंध है, लेकिन किसी से नहीं, बल्कि स्वर्ण खंड से।

हम सभी जानते हैं कि स्वर्ण अनुपात एक ऐसा अनुपात है जिसमें एक मान दूसरे से उसी तरह संबंधित होता है जैसेएक बड़े मूल्य के लिए उनका योग। सामान्यीकृत प्रतिशत शब्दों में, यह इस तरह दिखता है: मूल मान (राशि) को 62 और 38 प्रतिशत से विभाजित किया जाता है।

सुनहरा अनुपात बहुत लोकप्रिय है। इसका उपयोग डिजाइन, वास्तुकला, कहीं भी, यहां तक कि अर्थव्यवस्था में भी किया जाता है। लेकिन यह पाइथागोरस द्वारा प्राप्त एकमात्र अनुपात से बहुत दूर है। उदाहरण के लिए, एक और अभिव्यक्ति "√2" है। इसके आधार पर, गतिशील आयतों का निर्माण किया जाता है, जो बदले में, ए समूह प्रारूपों (ए 6, ए 5, ए 4, आदि) के संस्थापक हैं। हम गतिशील आयतों के बारे में क्यों बात कर रहे हैं? क्योंकि इनका निर्माण एक वर्ग से शुरू होता है।

हां, पहले आपको एक वर्ग बनाने की जरूरत है। इसकी भुजा भविष्य के आयत की छोटी भुजा के बराबर होगी। फिर इस वर्ग का एक विकर्ण खींचना आवश्यक है और, एक कम्पास का उपयोग करके, इस विकर्ण की लंबाई को वर्ग के किनारे की निरंतरता पर सेट करें। चौराहे पर प्राप्त बिंदु से, हम एक आयत बनाते हैं, जिसके लिए हम फिर से एक विकर्ण बनाते हैं और इसकी लंबाई को किनारे की निरंतरता पर अलग करते हैं। यदि आप इस योजना के अनुसार काम करना जारी रखते हैं, तो आपको वही गतिशील आयतें मिलेंगी।

पहली आयत की लंबी भुजा का छोटी भुजा से अनुपात 0.7 होगा। यह स्वर्ण अनुपात में लगभग 0.68 है।

चौकोर कोने

दरअसल, कोनों के बारे में कुछ नया कहना पहले से ही मुश्किल है। सभी गुण, वे एक वर्ग के संकेत हैं, हमने सूचीबद्ध किया है। कोणों के लिए, उनमें से चार हैं (जैसा कि किसी भी चतुर्भुज में), वर्ग में प्रत्येक कोण सही है, अर्थात इसका आकार नब्बे डिग्री है। ए-प्राथमिकता,केवल एक आयताकार वर्ग है। अगर कोने बड़े या छोटे हैं, तो यह दूसरी आकृति है।

एक वर्ग के विकर्ण उसके कोनों को आधे में विभाजित करते हैं, अर्थात वे समद्विभाजक होते हैं।

वर्ग समीकरण

यदि किसी वर्ग (क्षेत्रफल, परिमाप, भुजा की लंबाई या विकर्ण) की विभिन्न मात्राओं के मान की गणना करना आवश्यक हो, तो वर्ग के गुणों, ज्यामिति के मूल नियमों और नियमों से प्राप्त विभिन्न समीकरणों का उपयोग करें।.

1. वर्ग क्षेत्र समीकरण

चतुर्भुजों के क्षेत्रफल की गणना के समीकरणों से हम जानते हैं कि यह (क्षेत्रफल) लंबाई और चौड़ाई के गुणनफल के बराबर होता है। और चूँकि वर्ग की भुजाएँ लंबाई में समान हैं, तो इसका क्षेत्रफल दूसरी घात तक उठाई गई किसी भी भुजा की लंबाई के बराबर होगा

एस=ए2.

पाइथागोरस प्रमेय का उपयोग करके, हम एक वर्ग के क्षेत्रफल की गणना उसके विकर्ण की लंबाई को देखते हुए कर सकते हैं।

एस=डी2/2.

2. वर्ग परिधि समीकरण

एक वर्ग की परिधि, सभी चतुर्भुजों की तरह, उसकी भुजाओं की लंबाई के योग के बराबर होती है, और चूंकि वे सभी समान हैं, इसलिए हम कह सकते हैं कि एक वर्ग का परिमाप उसकी लंबाई के बराबर है भुजा को चार से गुणा किया गया

P=a+a+a+a=4a.

फिर से, पाइथागोरस प्रमेय हमें विकर्ण के माध्यम से परिधि खोजने में मदद करेगा। आपको विकर्ण लंबाई के मान को दो के दो मूलों से गुणा करना होगा

पी=2√2डी

3. वर्ग विकर्ण समीकरण

वर्ग के विकर्ण बराबर हैं, एक समकोण पर प्रतिच्छेद करते हैं और प्रतिच्छेदन बिंदु को समद्विभाजित करते हैं।

आप उन्हें वर्ग के क्षेत्रफल और परिधि के लिए उपरोक्त समीकरणों के आधार पर पा सकते हैं

d=√2a, d=√2S,डी=पी/2√2

एक वर्ग के विकर्ण की लंबाई ज्ञात करने के अन्य तरीके भी हैं। एक वर्ग में अंकित वृत्त की त्रिज्या उसके विकर्ण के आधे के बराबर होती है, इसलिए

d=√2D=2√2R, जहां D व्यास है और R खुदा हुआ वृत्त की त्रिज्या है।

परिबद्ध वृत्त की त्रिज्या जानने के बाद, विकर्ण की गणना करना और भी आसान हो जाता है, क्योंकि यह एक व्यास है, अर्थात d=D=2R.

वर्ग C: d=√8/5C. के कोने से केंद्र तक फैली हुई रेखा की लंबाई को जानकर, विकर्ण की लंबाई की गणना करना भी संभव है।

लेकिन यह मत भूलो कि एक वर्ग एक समतल का एक भाग होता है जो चार प्रतिच्छेदी रेखाओं से घिरा होता है।

रेखाओं (और उनके द्वारा बनाई गई आकृतियों) के लिए पर्याप्त समीकरण हैं जिन्हें अतिरिक्त विवरण की आवश्यकता नहीं है, लेकिन रेखा अनंत है। और बहुभुज रेखाओं के प्रतिच्छेदन द्वारा सीमित होते हैं। उनके लिए, आप एक प्रणाली में संयुक्त रैखिक समीकरणों का उपयोग कर सकते हैं जो सीधी रेखाओं को परिभाषित करते हैं। लेकिन अतिरिक्त मापदंडों, शर्तों को निर्दिष्ट करना आवश्यक है।

बहुभुज को परिभाषित करने के लिए, एक समीकरण की रचना करना आवश्यक है जो एक रेखा का वर्णन नहीं करेगा, बल्कि अतिरिक्त शर्तों और विवरणों के हस्तक्षेप के बिना एक अलग मनमाना खंड होगा।

[x/x_i][x_i/x]y_{i - यहाँ बहुभुजों के लिए एक विशेष समीकरण है।}

इसमें वर्गाकार कोष्ठक संख्या के भिन्नात्मक भाग को बाहर करने की शर्त दर्शाते हैं, अर्थात हमें केवल पूर्णांक छोड़ना चाहिए। y_i - एक फ़ंक्शन जो पैरामीटर श्रेणी में x से x_{i तक निष्पादित किया जाएगा।}

इस समीकरण का उपयोग करके, हम नया प्राप्त कर सकते हैंकई खंडों से मिलकर खंडों और रेखाओं की गणना के लिए समीकरण। यह बहुभुज के लिए बुनियादी, सार्वभौमिक है।

याद रखें कि एक वर्ग एक समतल का एक भाग होता है, इसलिए इसका विवरण जैसे y=f(x) को अक्सर एक बहु-मूल्यवान फलन के रूप में दर्शाया जा सकता है, जिसे बदले में व्यक्त किया जा सकता है एकल-मूल्यवान कार्यों की शर्तें यदि उन्हें पैरामीट्रिक रूप से दर्शाया गया है, अर्थात कुछ पैरामीटर t: के आधार पर

x=f(t), y=f(t).

इसलिए, यदि आप सार्वभौमिक समीकरण और पैरामीट्रिक प्रतिनिधित्व का एक साथ उपयोग करते हैं, तो आप वास्तव में बहुभुजों को व्यक्त करने के लिए एक समीकरण प्राप्त कर सकते हैं:

x=((A2+A3)A5+A4P)Cos(L)

y=((A1+A4)A5+A3P)पाप(एल), जहां

A1=[1/[टी/पी][टी/पी]; ए2=[2/[टी/पी][टी/पी]/2]; ए3=[3/[टी/पी][टी/पी]/3]; ए4=[4/[टी/पी][टी/पी]/4]; ए5=टी-पी[टी/पी], जहाँ P आयत का विकर्ण है, L विकर्ण P के क्षैतिज के झुकाव का कोण है, T P से 5P तक का एक पैरामीटर है।

यदि L=3, 14/4, तो समीकरण विभिन्न आकारों के वर्गों का वर्णन करेगा, जो विकर्ण P के आकार पर निर्भर करता है।

वर्ग लगाना

आधुनिक दुनिया में, प्रौद्योगिकी विभिन्न सामग्रियों को एक चौकोर आकार देना संभव बनाती है, अधिक सटीक रूप से एक वर्ग खंड।

यह कई मायनों में अधिक लाभदायक, सस्ता, अधिक टिकाऊ और सुरक्षित है। तो, अब वे चौकोर पाइप, ढेर, तार (तार) और यहां तक कि चौकोर धागे भी बनाते हैं।

मुख्य लाभ स्पष्ट हैं, वे प्राथमिक ज्यामिति से आते हैं। उसी आकार के साथ, खुदे हुए वृत्त का क्षेत्रफल उस वर्ग के क्षेत्रफल से कम होता है जिसमें वह अंकित होता है, इसलिए,एक वर्गाकार पाइप का थ्रूपुट या एक वर्गाकार तार की ऊर्जा सामग्री गोल समकक्षों की तुलना में अधिक होगी।

स्क्वायर-सेक्शन उपभोग्य वस्तुएं अक्सर अधिक सौंदर्यवादी रूप से मनभावन और उपयोग करने के लिए सुविधाजनक होती हैं, माउंट, माउंट।

इन सामग्रियों को चुनते समय, वर्ग के क्रॉस सेक्शन की सही गणना करना महत्वपूर्ण है ताकि तार या पाइप आवश्यक भार का सामना कर सके। प्रत्येक व्यक्तिगत मामले में, निश्चित रूप से, वर्तमान ताकत या दबाव जैसे मापदंडों की आवश्यकता होगी, लेकिन कोई वर्ग के बुनियादी ज्यामितीय नियमों के बिना नहीं कर सकता। हालांकि वर्ग वर्गों के आयामों की अब इतनी गणना नहीं की जाती है, क्योंकि उन्हें विभिन्न उद्योगों के लिए GOST द्वारा स्थापित तालिकाओं से दिए गए मापदंडों के अनुसार चुना जाता है।