चतुर्भुज, बहुभुज के एक विशेष मामले के रूप में, स्कूल ज्यामिति पाठ्यक्रम में अध्ययन किया जाने वाला एक बहुत ही महत्वपूर्ण विषय है। आधुनिक कार्यक्रम का तात्पर्य आठवीं कक्षा में इस सामग्री से परिचित होना है। स्कूली शिक्षा के ढांचे में, केवल उत्तल चतुर्भुजों पर विचार किया जाता है। बाकी की पढ़ाई उच्च शिक्षण संस्थानों के स्तर पर होती है।
ज्यामिति के अध्ययन के लिए विभिन्न कार्यक्रमों में चतुर्भुजों का अध्ययन समान नहीं होता है। जिस क्रम में अवधारणा पेश की जाती है वह उस क्रम पर निर्भर करता है जिसमें बहुभुज के बारे में सामग्री प्रस्तुत की जाती है।
चतुर्भुजों के अध्ययन का क्रम
एक मामले में, एक चतुर्भुज को बहुभुज के विशेष मामले के रूप में माना जाता है, दूसरे में इसे उनके चौराहे पर स्थित खंडों और बिंदुओं के सेट के रूप में परिभाषित किया जाता है, संख्या में चार। इस मामले में, इन तीन बिंदुओं में से किसी एक के एक सीधी रेखा से संबंधित न होने की शर्तें, और चौराहे को छोड़कर, चौराहे की अनुपस्थिति को संतुष्ट करना होगा।
अधिकांश स्कूलआठवीं कक्षा में चतुर्भुज का अध्ययन किया जाता है। पहले सीधी रेखाओं के समानांतरवाद का अध्ययन करने के बाद, फिर एक बहुभुज के कोणों के योग पर प्रमेय, वे एक समांतर चतुर्भुज को पास करते हैं। इसकी विशेषताओं पर विचार करने और उनसे संबंधित प्रमेयों को सिद्ध करने के बाद, वे शेष विशेष मामलों की ओर बढ़ते हैं, प्रश्नों के उत्तर प्राप्त करते हैं: चतुर्भुज को वर्ग, समचतुर्भुज, आयत और विभिन्न प्रकार के समलम्ब कहते हैं।
एक अन्य दृष्टिकोण समान आकृतियों के विषय पर विचार करते समय चतुर्भुजों का अध्ययन करना है। यहां, समांतर चतुर्भुज से शुरू करते हुए, चतुर्भुजों का भी क्रमिक रूप से अध्ययन किया जाता है। यह निर्धारित किया जाता है कि किस चतुर्भुज को एक आयत, एक समलम्ब कहा जाता है। और निश्चित रूप से, यह विस्तार से माना जाता है कि अन्य चतुर्भुज क्या हो सकते हैं।
चार कोनों वाली आकृतियों का वर्गीकरण
किस चतुर्भुज को वर्ग कहते हैं? आप इससे जुड़े सभी आंकड़ों को क्रम से जांच कर पता लगा सकते हैं। हमारे ध्यान में आने वाली पहली वस्तु को समांतर चतुर्भुज कहा जाता है। यह चार सीधी रेखाओं, जोड़ीदार समानांतर और प्रतिच्छेदन द्वारा बनाई गई है। अलग-अलग, मामलों को तब परिभाषित किया जाता है जब यह नब्बे डिग्री के कोण पर होता है और जिसमें ऐसे चौराहों से बनने वाले सभी खंडों की लंबाई समान होती है। अंत में, आइए जानें कि किस चतुर्भुज को समलम्बाकार कहा जाता है।
चतुर्भुज उत्तल कहलाते हैं
आइए उत्तल और गैर-उत्तल चतुर्भुज की अवधारणाओं पर ध्यान दें। इस भेद का बहुत महत्व है, क्योंकि स्कूली पाठ्यक्रम में उनमें से केवल पहले का ही अध्ययन किया जाता है।
क्या चतुर्भुज हैउत्तल कहा जाता है? इसे क्रमिक रूप से समझने के लिए, हम आकृति के सभी पक्षों से सीधी रेखाएँ खींचते हैं। यदि सभी स्थितियों में संपूर्ण चतुर्भुज इस रेखा से बने दो अर्ध-तलों में से एक में स्थित हो, तो वह उत्तल होता है। अन्यथा, क्रमशः, गैर-उत्तल।
नियमित समांतर चतुर्भुज
अब मुख्य प्रकार के उत्तल चतुर्भुजों पर विचार करें। आइए एक समांतर चतुर्भुज से शुरू करें। ऊपर हमने इस आकृति की परिभाषा दी है। परिभाषा के अलावा, यह इस उत्तल बहुभुज के कई गुणों पर ध्यान देने योग्य है।
एक दूसरे के विपरीत समांतर चतुर्भुज की भुजाएँ बराबर होती हैं। सम्मुख कोण भी एक दूसरे के बराबर होते हैं।
खंडों का प्रतिच्छेदन जिसे विकर्ण कहते हैं, नब्बे डिग्री का कोण बनाते हैं। यदि आप उनकी लंबाई के वर्गों का योग करते हैं, तो वे आकृति के फलकों के वर्गों का योग होंगे। ऐसा प्रत्येक खंड दो समरूप त्रिभुज और चार बराबर त्रिभुज बनाता है।
कोई भी दो आसन्न कोणों का योग एक सौ अस्सी डिग्री होता है।
जब इस तथ्य को बताते हुए कि एक ज्यामितीय आकृति में ये गुण होते हैं, तो यह तर्क दिया जा सकता है कि यह एक समांतर चतुर्भुज है। इस प्रकार, हमें इस चतुर्भुज के चिन्ह प्राप्त होंगे, जो यह निर्धारित करते हैं कि आकृति इस विशेष वर्ग की है या नहीं।
क्षेत्र दो तरह से पाया जा सकता है। पहले कोण की ज्या के गुणनफल और उससे सटे पक्षों की लंबाई की खोज होगी। दूसरा तरीका यह है कि ऊंचाई की लंबाई और उसके विपरीत फलक को गुणा करने का परिणाम निर्धारित किया जाए।
हीरा
किस चतुर्भुज को समचतुर्भुज कहा जाता है? एक जिसमें इसे बनाने वाली सभी भुजाएँ एक दूसरे के बराबर होती हैं। इस ज्यामितीय आकृति में समांतर चतुर्भुज के सभी गुण और विशेषताएं हैं। एक और गुण यह है कि इस आकृति में हमेशा एक वृत्त अंकित होता है।
एक समांतर चतुर्भुज जिसकी आसन्न भुजाएँ समान हैं, विशिष्ट रूप से एक समचतुर्भुज के रूप में परिभाषित किया गया है। क्षेत्रफल की गणना भुजा के वर्ग और किसी एक कोण की ज्या के गुणनफल के रूप में की जा सकती है।
आयत
किस चतुर्भुज को आयत कहते हैं? वह जिसमें नब्बे डिग्री के कोण हों। चूँकि यह भी एक समांतर चतुर्भुज है, इस चतुर्भुज के गुण और विशेषताएँ इस पर लागू होते हैं। आप एक आयत के बारे में निम्नलिखित भी कह सकते हैं:
- इस आकृति के विकर्णों की लंबाई समान है।
- क्षेत्रफल का निर्धारण भुजाओं को एक दूसरे से गुणा करके किया जाता है।
- यदि समांतर चतुर्भुज का कोण नब्बे डिग्री है, तो यह तर्क दिया जा सकता है कि यह एक आयत है।
वर्ग
उनमें से अगला प्रश्न जो हम इस प्रकाशन में विचार करेंगे, वह यह है कि किस प्रकार के चतुर्भुज को वर्ग कहा जाता है? यह समान भुजाओं और नब्बे डिग्री के कोणों वाली एक आकृति है। उपरोक्त मापदंडों के आधार पर, इसमें सभी समान गुण होते हैं जो एक आयत और एक समचतुर्भुज के होते हैं। उसी के अनुसार उसकी भी अपनी निशानियाँ हैं।
वर्ग की विशेषताओं में इसे जोड़ने वाली रेखाओं के अद्वितीय गुण शामिल हैंविपरीत शीर्ष और विकर्ण कहलाते हैं। वे समान लंबाई के हैं और समकोण पर प्रतिच्छेद करते हैं।
वर्ग के अनुप्रयुक्त मान को कम करके आंकना कठिन है। इसकी बहुमुखी प्रतिभा, क्षेत्र और आयामों को निर्धारित करने में आसानी के कारण, यह आंकड़ा व्यापक रूप से संदर्भ माप के रूप में उपयोग किया जाता है। गणितज्ञों द्वारा लगातार दूसरी घात तक बढ़ाई गई संख्या को वर्ग कहा जाता है। वर्ग इकाइयों की मदद से, क्षेत्र को मापा जाता है, विमान पर आयामों का एकीकरण और सामान्य अनुमान लगाया जाता है। इस ज्यामितीय अवधारणा का व्यापक रूप से वास्तुकला और परिदृश्य डिजाइन में उपयोग किया जाता है।
चतुर्भुज
अगला, विचार करें कि किस चतुर्भुज को समलम्ब कहा जाता है। यह एक ऐसी आकृति होगी जिसमें भुजाएँ एक दूसरे के समानांतर होंगी, जिन्हें आधार कहा जाता है, और गैर-समानांतर भुजाएँ, जो भुजाओं द्वारा परिभाषित होती हैं। यह चार फलकों और समान संख्या में कोनों से बनता है। जब ये गैर-समानांतर खंड बराबर होते हैं, तो समलम्ब को समद्विबाहु के रूप में परिभाषित किया जाता है। यदि आकृति का कोण नब्बे डिग्री है, तो इसे आयताकार माना जाएगा।
ऐसा चतुर्भुज, जिसे समलम्ब कहते हैं, में एक और विशेष तत्व होता है। भुजाओं के केन्द्रों को जोड़ने वाली रेखा को मध्य रेखा कहते हैं। इसकी लंबाई, आकृति के आधार के रूप में परिभाषित भुजाओं की लंबाई जोड़ने के परिणाम का आधा भाग ज्ञात करके निर्धारित की जा सकती है।
एक समद्विबाहु समलम्बाकार, एक समद्विबाहु त्रिभुज की तरह, भुजाओं और आधारों के बीच समान विकर्ण लंबाई और कोण होते हैं।
ऐसे समलंब के चारों ओर एक वृत्त का वर्णन हमेशा संभव होता है।
एक वृत्त एक ऐसी आकृति में फिट हो जाता है, जिसकी भुजाओं की लंबाई का योग उसके आधारों को जोड़ने के परिणाम के बराबर होता है।
विषय पर सामान्य निष्कर्ष
निष्कर्ष रूप में हम कह सकते हैं कि ज्यामिति के क्रम में यह काफी सुलभ है और किस चतुर्भुज को वर्ग कहते हैं, इस पर विस्तार से विचार किया गया है। इस तथ्य के बावजूद कि विभिन्न पाठ्यपुस्तकों में हम ऊपर बताए गए विषयों की प्रस्तुति के क्रम में कुछ अंतर पा सकते हैं, वे सभी व्यापक रूप से चतुर्भुज के विषय को कवर करते हैं।
