एक रेखा और एक समतल के बीच के कोण की गणना करें। समस्याओं को हल करने के लिए समन्वय विधि

2024 लेखक: Angel Austin | [email protected]. अंतिम बार संशोधित: 2024-01-02 17:47

स्टीरियोमेट्री में आम समस्याओं में से एक सीधी रेखाओं और विमानों को पार करने और उनके बीच के कोणों की गणना करने का कार्य है। आइए इस लेख में तथाकथित समन्वय विधि और रेखा और तल के बीच के कोणों पर अधिक विस्तार से विचार करें।

ज्यामिति में रेखा और तल

निर्देशांक विधि और एक रेखा और एक तल के बीच के कोण पर विचार करने से पहले, आपको नामित ज्यामितीय वस्तुओं से परिचित होना चाहिए।

एक रेखा अंतरिक्ष में या समतल पर बिंदुओं का ऐसा संग्रह है, जिनमें से प्रत्येक को पिछले वाले को एक निश्चित वेक्टर में रैखिक रूप से स्थानांतरित करके प्राप्त किया जा सकता है। इस प्रकार हम इस सदिश को प्रतीक u¯ से निरूपित करते हैं। यदि इस सदिश को किसी ऐसी संख्या से गुणा किया जाए जो शून्य के बराबर न हो, तो हमें u¯ के समान्तर एक सदिश प्राप्त होता है। एक रेखा एक रेखीय अनंत वस्तु है।

एक समतल भी बिंदुओं का एक संग्रह है जो इस तरह से स्थित हैं कि यदि आप उनसे मनमाना सदिश बनाते हैं, तो वे सभी किसी न किसी वेक्टर n¯ के लंबवत होंगे। उत्तरार्द्ध को सामान्य या बस सामान्य कहा जाता है।एक समतल, एक सीधी रेखा के विपरीत, एक द्वि-आयामी अनंत वस्तु है।

ज्यामिति की समस्याओं को हल करने के लिए समन्वय विधि

विधि के नाम के आधार पर ही, हम यह निष्कर्ष निकाल सकते हैं कि हम समस्याओं को हल करने के लिए एक विधि के बारे में बात कर रहे हैं, जो विश्लेषणात्मक अनुक्रमिक गणनाओं के प्रदर्शन पर आधारित है। दूसरे शब्दों में, समन्वय विधि आपको सार्वभौमिक बीजगणित उपकरणों का उपयोग करके ज्यामितीय समस्याओं को हल करने की अनुमति देती है, जिनमें से मुख्य समीकरण हैं।

यह ध्यान दिया जाना चाहिए कि विचाराधीन विधि आधुनिक ज्यामिति और बीजगणित की शुरुआत में दिखाई दी। इसके विकास में 17वीं-18वीं शताब्दी में रेने डेसकार्टेस, पियरे डी फ़र्मेट, आइज़ैक न्यूटन और लाइबनिज़ द्वारा एक महान योगदान दिया गया था।

विधि का सार ज्ञात बिंदुओं के निर्देशांक के आधार पर दूरियों, कोणों, क्षेत्रों और ज्यामितीय तत्वों की मात्रा की गणना करना है। ध्यान दें कि प्राप्त अंतिम समीकरणों का रूप समन्वय प्रणाली पर निर्भर करता है। अक्सर, आयताकार कार्टेशियन प्रणाली का उपयोग समस्याओं में किया जाता है, क्योंकि इसके साथ काम करना सबसे सुविधाजनक होता है।

रेखा समीकरण

निर्देशांक विधि और रेखा और तल के बीच के कोणों पर विचार करते हुए, आइए रेखा के समीकरण को सेट करने से शुरू करते हैं। बीजीय रूप में रेखाओं को निरूपित करने के कई तरीके हैं। यहां हम केवल सदिश समीकरण पर विचार करते हैं, क्योंकि इसे किसी अन्य रूप में आसानी से प्राप्त किया जा सकता है और इसके साथ काम करना आसान है।

मान लें कि दो बिंदु हैं: पी और क्यू। यह ज्ञात है कि उनके माध्यम से एक रेखा खींची जा सकती है, और यहएकमात्र होगा। तत्व का संबंधित गणितीय निरूपण इस तरह दिखता है:

(x, y, z)=P + PQ¯.

जहां PQ¯ एक सदिश है जिसके निर्देशांक इस प्रकार प्राप्त होते हैं:

पीक्यू¯=क्यू - पी.

प्रतीक λ एक ऐसे पैरामीटर को दर्शाता है जो बिल्कुल कोई भी संख्या ले सकता है।

लिखित अभिव्यक्ति में, आप सदिश की दिशा बदल सकते हैं, और बिंदु P के बजाय निर्देशांक Q को भी प्रतिस्थापित कर सकते हैं। इन सभी परिवर्तनों से रेखा के ज्यामितीय स्थान में कोई परिवर्तन नहीं होगा।

ध्यान दें कि समस्याओं को हल करते समय, कभी-कभी लिखित वेक्टर समीकरण को स्पष्ट (पैरामीट्रिक) रूप में प्रस्तुत करना आवश्यक होता है।

विमान को अंतरिक्ष में स्थापित करना

एक सीधी रेखा के साथ-साथ, समतल के लिए गणितीय समीकरणों के भी कई रूप हैं। उनमें से, हम वेक्टर, खंडों में समीकरण और सामान्य रूप को नोट करते हैं। इस लेख में, हम अंतिम रूप पर विशेष ध्यान देंगे।

एक मनमाना तल के लिए एक सामान्य समीकरण इस प्रकार लिखा जा सकता है:

Ax + By + Cz + D=0.

लैटिन बड़े अक्षर कुछ निश्चित संख्याएं हैं जो एक विमान को परिभाषित करती हैं।

इस संकेतन की सुविधा यह है कि इसमें स्पष्ट रूप से विमान के लिए सामान्य वेक्टर होता है। यह बराबर है:

n¯=(ए, बी, सी).

इस वेक्टर को जानने से, विमान के समीकरण को संक्षेप में देखकर, समन्वय प्रणाली में बाद वाले के स्थान की कल्पना करना संभव हो जाता है।

आपसी व्यवस्थारेखा और समतल का स्थान

लेख के अगले पैराग्राफ में हम निर्देशांक विधि और रेखा और तल के बीच के कोण पर विचार करेंगे। यहां हम इस सवाल का जवाब देंगे कि अंतरिक्ष में माना जाने वाला ज्यामितीय तत्व कैसे स्थित हो सकता है। तीन तरीके हैं:

1. सीधी रेखा समतल को काटती है। निर्देशांक विधि का उपयोग करके, आप गणना कर सकते हैं कि रेखा और समतल किस एकल बिंदु पर प्रतिच्छेद करते हैं।
2. एक सीधी रेखा का तल समांतर होता है। इस मामले में, ज्यामितीय तत्वों के समीकरणों की प्रणाली का कोई समाधान नहीं है। समांतरता को सिद्ध करने के लिए, सीधी रेखा के निर्देशन सदिश के अदिश गुणनफल और समतल के अभिलंब का आमतौर पर उपयोग किया जाता है।
3. विमान में एक रेखा होती है। इस मामले में समीकरणों की प्रणाली को हल करने पर, हम इस निष्कर्ष पर पहुंचेंगे कि पैरामीटर के किसी भी मान के लिए, सही समानता प्राप्त की जाती है।

दूसरे और तीसरे मामले में, निर्दिष्ट ज्यामितीय वस्तुओं के बीच का कोण शून्य के बराबर होता है। पहले मामले में, यह 0 और 90o के बीच होता है।

रेखाओं और तलों के बीच के कोणों की गणना

अब सीधे लेख के विषय पर चलते हैं। किसी रेखा और समतल का कोई प्रतिच्छेदन किसी न किसी कोण पर होता है। यह कोण सीधी रेखा और समतल पर उसके प्रक्षेपण से ही बनता है। एक प्रक्षेपण प्राप्त किया जा सकता है यदि एक सीधी रेखा के किसी भी बिंदु से विमान पर एक लंबवत उतारा जाता है, और फिर विमान के चौराहे के प्राप्त बिंदु के माध्यम से और विमान और मूल रेखा के लंबवत और चौराहे के बिंदु के माध्यम से, एक ड्रा करें सीधी रेखा जो एक प्रक्षेपण होगी।

रेखाओं और तलों के बीच के कोणों की गणना करना कोई कठिन कार्य नहीं है। इसे हल करने के लिए, संबंधित ज्यामितीय वस्तुओं के समीकरणों को जानना पर्याप्त है। मान लें कि ये समीकरण इस तरह दिखते हैं:

(x, y, z)=(x₀, y₀, z_{0) + (ए, बी, सी);}

Ax + By + Cz + D=0.

दिश सदिश u¯ और n¯ के गुणनफल का उपयोग करके वांछित कोण आसानी से पाया जाता है। अंतिम सूत्र इस तरह दिखता है:

θ=arcsin(|(u¯n¯)|/(|u¯||n¯|)).

यह सूत्र कहता है कि एक रेखा और एक तल के बीच के कोण की ज्या, चिह्नित सदिशों के अदिश गुणनफल के मापांक और उनकी लंबाई के गुणनफल के अनुपात के बराबर होती है। यह समझने के लिए कि कोसाइन के बजाय साइन क्यों दिखाई दिया, आइए नीचे दिए गए चित्र की ओर मुड़ें।

यह देखा जा सकता है कि यदि हम कोसाइन फ़ंक्शन लागू करते हैं, तो हमें वैक्टर u¯ और n¯ के बीच का कोण मिलेगा। वांछित कोण θ (आकृति में α) निम्नानुसार प्राप्त किया जाता है:

θ=90ओ- β.

साइन रिडक्शन फ़ार्मुलों को लागू करने के परिणामस्वरूप प्रकट होता है।

उदाहरण समस्या

आइए अर्जित ज्ञान के व्यावहारिक उपयोग की ओर बढ़ते हैं। आइए एक सीधी रेखा और एक तल के बीच के कोण पर एक विशिष्ट समस्या को हल करें। चार बिंदुओं के निम्नलिखित निर्देशांक दिए गए हैं:

पी=(1, -1, 0);

क्यू=(-1, 2, 2);

एम=(0, 3, -1);

एन=(-2, -1, 1)।

प्वाइंटों से PQM. ज्ञात होता हैएक विमान इससे होकर गुजरता है, और एक सीधी रेखा MN से होकर गुजरती है। निर्देशांक विधि का उपयोग करते हुए, समतल और रेखा के बीच के कोण की गणना की जानी चाहिए।

सबसे पहले, सीधी रेखा और समतल के समीकरण लिख लेते हैं। एक सीधी रेखा के लिए, इसे बनाना आसान है:

MN¯=(-2, -4, 2)=>

(x, y, z)=(0, 3, -1) + (-2, -4, 2)।

तल का समीकरण बनाने के लिए सबसे पहले हम उसका अभिलंब ज्ञात करते हैं। इसके निर्देशांक दिए गए तल में स्थित दो सदिशों के सदिश गुणनफल के बराबर होते हैं। हमारे पास है:

PQ¯=(-2, 3, 2);

क्यूएम¯=(1, 1, -3)=>

n¯=[पीक्यू¯क्यूएम¯]=(-11, -4, -5).

अब हम इसमें पड़े किसी भी बिंदु के निर्देशांक को सामान्य तल के समीकरण में प्रतिस्थापित करते हैं ताकि मुक्त पद D का मान प्राप्त किया जा सके:

पी=(1, -1, 0);

- (एएक्स + बीवाई + सीजेड)=डी=>

डी=- (-11 + 4 + 0)=7.

समतल समीकरण है:

11x + 4y + 5z - 7=0.

समस्या का उत्तर पाने के लिए एक सीधी रेखा और एक तल के प्रतिच्छेदन पर बनने वाले कोण के सूत्र को लागू करना बाकी है। हमारे पास है:

(u¯n¯)=(11, 4, 5)(-2, -4, 2)=-28;

|यू¯|=24; |n¯|=√162;

θ=आर्कसिन(28/√(16224))=26, 68o।

इस समस्या का एक उदाहरण के रूप में उपयोग करते हुए, हमने दिखाया कि ज्यामितीय समस्याओं को हल करने के लिए निर्देशांक विधि का उपयोग कैसे किया जाता है।