ज्यामिति में, आकृतियों का अध्ययन करने के लिए दो महत्वपूर्ण विशेषताओं का उपयोग किया जाता है: भुजाओं की लंबाई और उनके बीच के कोण। स्थानिक आंकड़ों के मामले में, इन विशेषताओं में डायहेड्रल कोण जोड़े जाते हैं। आइए विचार करें कि यह क्या है, और पिरामिड के उदाहरण का उपयोग करके इन कोणों को निर्धारित करने की विधि का भी वर्णन करें।
द्विफलक कोण की अवधारणा
हर कोई जानता है कि दो प्रतिच्छेदी रेखाएं उनके प्रतिच्छेदन बिंदु पर शीर्ष के साथ एक कोण बनाती हैं। इस कोण को एक प्रोट्रैक्टर से मापा जा सकता है, या आप इसकी गणना करने के लिए त्रिकोणमितीय कार्यों का उपयोग कर सकते हैं। दो समकोणों से बनने वाले कोण को रैखिक कहते हैं।
अब कल्पना कीजिए कि त्रि-आयामी अंतरिक्ष में दो तल हैं जो एक सीधी रेखा में प्रतिच्छेद करते हैं। उन्हें चित्र में दिखाया गया है।
द्विफलकीय कोण दो प्रतिच्छेदी तलों के बीच का कोण होता है। रैखिक की तरह, इसे डिग्री या रेडियन में मापा जाता है। यदि उस रेखा के किसी बिंदु पर जिसके साथ विमान प्रतिच्छेद करते हैं, दो लंबवत को पुनर्स्थापित करें,इन तलों में पड़े हैं, तो उनके बीच का कोण वांछित द्विफलक होगा। इस कोण को निर्धारित करने का सबसे आसान तरीका विमानों के सामान्य समीकरणों का उपयोग करना है।
तलों का समीकरण और उनके बीच के कोण का सूत्र
अंतरिक्ष में किसी भी समतल का समीकरण सामान्य शब्दों में इस प्रकार लिखा जाता है:
ए × एक्स + बी × वाई + सी × जेड + डी=0.
यहाँ x, y, z समतल से संबंधित बिंदुओं के निर्देशांक हैं, गुणांक A, B, C, D कुछ ज्ञात संख्याएँ हैं। डायहेड्रल कोणों की गणना के लिए इस समानता की सुविधा यह है कि इसमें स्पष्ट रूप से विमान के दिशा वेक्टर के निर्देशांक होते हैं। हम इसे n¯ से निरूपित करेंगे। फिर:
n¯=(ए; बी; सी)।
सदिश n¯ तल पर लंबवत है। दो विमानों के बीच का कोण उनके दिशा वैक्टर n1¯ और n2¯ के बीच के कोण के बराबर है। गणित से ज्ञात होता है कि दो सदिशों द्वारा बनाया गया कोण उनके अदिश गुणनफल से विशिष्ट रूप से निर्धारित होता है। यह आपको दो तलों के बीच द्विफलकीय कोण की गणना के लिए एक सूत्र लिखने की अनुमति देता है:
φ=आर्ककोस (|(n1¯ × n2¯)| / (|n1 ¯| × |n2¯|)).
यदि हम सदिशों के निर्देशांकों को प्रतिस्थापित करते हैं, तो सूत्र स्पष्ट रूप से लिखा जाएगा:
φ=आर्ककोस (|A1 × A2 + B1 × B 2 + सी1 × सी2| / (√(ए1 2 + बी12 + सी12 ) × (ए22+बी22 + सी22))
अंश में मॉड्यूलो चिन्ह का उपयोग केवल एक न्यून कोण को परिभाषित करने के लिए किया जाता है, क्योंकि एक डायहेड्रल कोण हमेशा 90o से कम या बराबर होता है।
पिरामिड और उसके कोने
पिरामिड एक n-gon और n त्रिभुजों से बनी एक आकृति है। यहाँ n एक पूर्णांक है जो उस बहुभुज की भुजाओं की संख्या के बराबर है जो पिरामिड का आधार है। यह स्थानिक आकृति एक बहुफलक या बहुफलक है, क्योंकि इसमें समतल फलक (पक्ष) होते हैं।
पिरामिड-पॉलीहेड्रॉन के डायहेड्रल कोण दो प्रकार के हो सकते हैं:
- आधार और भुजा के बीच (त्रिकोण);
- दो पक्षों के बीच।
यदि पिरामिड को नियमित माना जाए तो उसके लिए नामित कोणों का निर्धारण करना आसान होता है। ऐसा करने के लिए, तीन ज्ञात बिंदुओं के निर्देशांक का उपयोग करके, विमानों के समीकरण की रचना करनी चाहिए, और फिर कोण φ के लिए उपरोक्त पैराग्राफ में दिए गए सूत्र का उपयोग करना चाहिए।
नीचे हम एक उदाहरण देते हैं जिसमें हम दिखाते हैं कि एक चतुर्भुज नियमित पिरामिड के आधार पर डायहेड्रल कोण कैसे खोजें।
एक चतुर्भुज नियमित पिरामिड और उसके आधार पर एक कोण
मान लें कि एक वर्गाकार आधार वाला एक नियमित पिरामिड दिया गया है। वर्ग की भुजा की लंबाई a है, आकृति की ऊंचाई h है। पिरामिड के आधार और उसकी भुजा के बीच का कोण ज्ञात कीजिए।
आइए निर्देशांक प्रणाली के मूल को वर्ग के केंद्र में रखते हैं। फिर बिंदुओं के निर्देशांकचित्र में दिखाया गया A, B, C, D होगा:
ए=(ए/2; -ए/2; 0);
बी=(ए/2; ए/2; 0);
सी=(-ए/2; ए/2; 0);
डी=(0; 0; एच)।
विमानों एसीबी और एडीबी पर विचार करें। जाहिर है, एसीबी विमान के लिए दिशा वेक्टर n1¯ होगा:
1¯=(0; 0; 1)।
एडीबी विमान की दिशा सदिश n2¯ निर्धारित करने के लिए, इस प्रकार आगे बढ़ें: दो मनमाना सदिश खोजें जो इससे संबंधित हों, उदाहरण के लिए, AD¯ और AB¯, फिर उनके वेक्टर कार्य की गणना करें। इसका परिणाम निर्देशांक n2¯ देगा। हमारे पास है:
एडी¯=डी - ए=(0; 0; एच) - (ए/2; -ए/2; 0)=(-ए/2; ए/2; एच);
AB¯=B - A=(a/2; a/2; 0) - (a/2; -a/2; 0)=(0; a; 0);
2¯=[एडी¯ × एबी¯]=[(-ए/2; ए/2; एच) × (0; ए; 0)]=(-ए × एच; 0;-ए2/2).
चूंकि किसी संख्या से सदिश का गुणा और भाग उसकी दिशा नहीं बदलता है, हम परिणामी n2¯ को रूपांतरित करते हैं, इसके निर्देशांकों को -a से विभाजित करते हैं, हमें प्राप्त होता है:
2¯=(एच; 0; ए/2)।
हमने एसीबी बेस और एडीबी साइड प्लेन के लिए वेक्टर गाइड n1¯ और n2¯ परिभाषित किए हैं। कोण के लिए सूत्र का उपयोग करना बाकी है:
φ=आर्ककोस (|(n1¯ × n2¯)| / (|n1 ¯| × |n2¯|))=आर्ककोस (a / (2 × √h2 + a) 2/4)).
परिणामी अभिव्यक्ति को रूपांतरित करें और इसे इस तरह फिर से लिखें:
φ=आर्ककोस (ए / √(ए2+ 4 × एच2))।
हमने एक नियमित चतुष्कोणीय पिरामिड के लिए आधार पर विकर्ण कोण का सूत्र प्राप्त किया है। आकृति की ऊंचाई और उसकी भुजा की लंबाई को जानकर आप कोण की गणना कर सकते हैं। उदाहरण के लिए, चेप्स के पिरामिड के लिए, जिसका आधार पक्ष 230.4 मीटर है, और प्रारंभिक ऊंचाई 146.5 मीटर थी, कोण φ होगा 51.8o.
ज्यामितीय पद्धति का उपयोग करके एक चतुर्भुज नियमित पिरामिड के लिए डायहेड्रल कोण निर्धारित करना भी संभव है। ऐसा करने के लिए, ऊंचाई h, आधार की आधी लंबाई a/2 और समद्विबाहु त्रिभुज के एपोथेम द्वारा गठित समकोण त्रिभुज पर विचार करना पर्याप्त है।
