यह दावा करना असंभव है कि आप गणित जानते हैं यदि आप नहीं जानते कि कैसे ग्राफ़ को प्लॉट करना है, एक समन्वय रेखा पर असमानताएँ खींचना है, और समन्वय अक्षों के साथ काम करना है। विज्ञान में दृश्य घटक महत्वपूर्ण है, क्योंकि सूत्रों और गणनाओं में दृश्य उदाहरणों के बिना, कभी-कभी आप बहुत भ्रमित हो सकते हैं। इस लेख में, हम देखेंगे कि कैसे समन्वय अक्षों के साथ काम करना है और सरल फ़ंक्शन ग्राफ़ बनाना सीखना है।
आवेदन
निर्देशांक रेखा सबसे सरल प्रकार के रेखांकन का आधार है जिसका सामना छात्र अपने शैक्षिक पथ पर करता है। इसका उपयोग लगभग हर गणितीय विषय में किया जाता है: गति और समय की गणना करते समय, वस्तुओं के आकार का अनुमान लगाते हुए और उनके क्षेत्र की गणना करते समय, साइन और कोसाइन के साथ काम करते समय त्रिकोणमिति में।
ऐसी सीधी रेखा का मुख्य मूल्य दृश्यता है। क्योंकि गणित एक ऐसा विज्ञान है जिसके लिए उच्च स्तर की अमूर्त सोच की आवश्यकता होती है, ग्राफ़ वास्तविक दुनिया में किसी वस्तु का प्रतिनिधित्व करने में मदद करते हैं। वह कैसा व्यवहार करता है? अंतरिक्ष में किस बिंदु पर होगाकुछ सेकंड, मिनट, घंटे? अन्य वस्तुओं की तुलना में इसके बारे में क्या कहा जा सकता है? यादृच्छिक रूप से चुने गए समय पर इसकी गति क्या है? उनके आंदोलन को कैसे चिह्नित करें?
और हम एक कारण के लिए गति के बारे में बात कर रहे हैं - यह अक्सर फ़ंक्शन ग्राफ़ द्वारा प्रदर्शित किया जाता है। और वे वस्तु के अंदर तापमान या दबाव में परिवर्तन, उसके आकार, क्षितिज के सापेक्ष अभिविन्यास को भी प्रदर्शित कर सकते हैं। इस प्रकार, भौतिकी में भी अक्सर एक समन्वय रेखा बनाने की आवश्यकता होती है।
एक आयामी ग्राफ
बहुआयामीता की अवधारणा है। एक-आयामी अंतरिक्ष में, एक बिंदु के स्थान को निर्धारित करने के लिए केवल एक संख्या पर्याप्त है। समन्वय रेखा के उपयोग के साथ ठीक यही स्थिति है। यदि स्थान द्वि-आयामी है, तो दो संख्याओं की आवश्यकता है। इस प्रकार के चार्ट का अधिक बार उपयोग किया जाता है, और हम निश्चित रूप से लेख में थोड़ी देर बाद उन पर विचार करेंगे।
अक्ष पर बिंदुओं की सहायता से क्या देखा जा सकता है, यदि केवल एक अक्ष हो? आप वस्तु का आकार, कुछ "शून्य" के सापेक्ष अंतरिक्ष में उसकी स्थिति देख सकते हैं, यानी संदर्भ बिंदु के रूप में चुना गया बिंदु।
समय के साथ मापदंडों में बदलाव दिखाई नहीं देगा, क्योंकि सभी रीडिंग एक विशेष क्षण के लिए प्रदर्शित की जाएंगी। हालाँकि, आपको कहीं से शुरुआत करनी होगी! तो चलिए शुरू करते हैं।
एक समन्वय अक्ष का निर्माण कैसे करें
सबसे पहले, आपको एक क्षैतिज रेखा खींचनी होगी - यह हमारी धुरी होगी। दाईं ओर, इसे "तेज" करें ताकि यह एक तीर की तरह दिखे। इस प्रकार, हम उस दिशा को इंगित करेंगे जिसमें संख्याएँ होंगीबढ़ोतरी। नीचे की दिशा में, तीर आमतौर पर नहीं रखा जाता है। परंपरागत रूप से, अक्ष दाईं ओर इंगित करता है, इसलिए हम केवल इस नियम का पालन करेंगे।
एक शून्य चिह्न सेट करते हैं, जो निर्देशांक के मूल को प्रदर्शित करेगा। यह वही जगह है जहां से उलटी गिनती ली जाती है, चाहे वह आकार, वजन, गति, या कुछ और हो। शून्य के अलावा, हमें आवश्यक रूप से तथाकथित विभाजन मूल्य निर्दिष्ट करना चाहिए, अर्थात, एक इकाई मानक पेश करना चाहिए, जिसके अनुसार हम कुछ मात्राओं को अक्ष पर प्लॉट करेंगे। यह समन्वय रेखा पर खंड की लंबाई खोजने में सक्षम होने के लिए किया जाना चाहिए।
एक दूसरे से समान दूरी पर रेखा पर बिंदु या "नोच" लगाएं, और उनके नीचे क्रमशः 1, 2, 3, आदि लिखें। और अब, सब कुछ तैयार है। लेकिन परिणामी शेड्यूल के साथ, आपको अभी भी सीखना होगा कि कैसे काम करना है।
निर्देशांक रेखा पर बिंदुओं के प्रकार
पाठ्यपुस्तकों में प्रस्तावित चित्रों को पहली नज़र में देखने से यह स्पष्ट हो जाता है: अक्ष पर अंक भरे जा सकते हैं या नहीं भरे जा सकते हैं। क्या आपको लगता है कि यह एक संयोग है? बिल्कुल भी नहीं! एक "ठोस" बिंदु का उपयोग गैर-सख्त असमानता के लिए किया जाता है - वह जो "इससे बड़ा या बराबर" के रूप में पढ़ता है। यदि हमें अंतराल को सख्ती से सीमित करने की आवश्यकता है (उदाहरण के लिए, "x" शून्य से एक तक मान ले सकता है, लेकिन इसमें शामिल नहीं है), तो हम "खोखले" बिंदु का उपयोग करेंगे, अर्थात वास्तव में, एक छोटा वृत्त धुरी पर। यह ध्यान दिया जाना चाहिए कि छात्रों को वास्तव में सख्त असमानताएं पसंद नहीं हैं, क्योंकि उनके साथ काम करना अधिक कठिन है।
आप किन बिंदुओं पर निर्भर करते हैंचार्ट पर उपयोग, निर्मित अंतराल को भी कहा जाएगा। यदि दोनों तरफ असमानता सख्त नहीं है, तो हमें एक खंड मिलता है। यदि एक ओर यह "खुला" हो जाता है, तो इसे अर्ध-अंतराल कहा जाएगा। अंत में, यदि किसी रेखा के किसी भाग को दोनों ओर खोखले बिंदुओं से बांध दिया जाए, तो वह अंतराल कहलाता है।
विमान
निर्देशांक तल पर दो सीधी रेखाएँ बनाते समय, हम पहले से ही फ़ंक्शन के ग्राफ़ पर विचार कर सकते हैं। मान लें कि क्षैतिज रेखा समय अक्ष है, और लंबवत रेखा दूरी है। और अब हम यह निर्धारित करने में सक्षम हैं कि वस्तु एक मिनट या एक घंटे की यात्रा में कितनी दूरी तय करेगी। इस प्रकार, एक विमान के साथ काम करना किसी वस्तु की स्थिति में परिवर्तन की निगरानी करना संभव बनाता है। यह एक स्थिर अवस्था की खोज करने से कहीं अधिक दिलचस्प है।
ऐसे समतल पर सबसे सरल ग्राफ एक सीधी रेखा है, यह फलन Y(X)=aX + b को दर्शाता है। क्या रेखा झुकती है? इसका मतलब है कि अध्ययन के दौरान वस्तु अपनी विशेषताओं को बदल देती है।
कल्पना कीजिए कि आप किसी इमारत की छत पर खड़े हैं और अपने बढ़े हुए हाथ में पत्थर लिए हुए हैं। जब आप इसे छोड़ते हैं, तो यह शून्य गति से अपनी गति शुरू करते हुए नीचे की ओर उड़ जाएगा। लेकिन एक सेकंड में वह 36 किलोमीटर प्रति घंटे की रफ्तार से आगे निकल जाएगा। पत्थर आगे भी तेजी से बढ़ता रहेगा, और चार्ट पर इसकी गति को आकर्षित करने के लिए, आपको समय में कई बिंदुओं पर इसकी गति को मापने के लिए उपयुक्त स्थानों पर धुरी पर बिंदु निर्धारित करने की आवश्यकता होगी।
क्षैतिज निर्देशांक रेखा पर चिह्नों को डिफ़ॉल्ट रूप से X1, X2, X3 और ऊर्ध्वाधर पर - Y1, Y2, Y3 नाम दिया गया है। पेशउन्हें समतल करने के लिए और चौराहों को खोजने पर, हम परिणामी पैटर्न के टुकड़े पाते हैं। उन्हें एक लाइन से जोड़ने पर हमें फंक्शन का ग्राफ मिलता है। पत्थर गिरने की स्थिति में, द्विघात फलन इस तरह दिखेगा: Y(X)=aXX + bX + c.
पैमाना
बेशक, एक सीधी रेखा से विभाजन के आगे पूर्णांक मान रखना आवश्यक नहीं है। यदि आप 0.03 मीटर प्रति मिनट की गति से रेंगने वाले घोंघे की गति पर विचार कर रहे हैं, तो निर्देशांक अंश पर मान के रूप में सेट करें। इस मामले में, स्केल अंतराल को 0.01 मीटर पर सेट करें।
एक पिंजरे में एक नोटबुक में इस तरह के चित्र बनाना विशेष रूप से सुविधाजनक है - यदि आप हाशिये से आगे जाते हैं, तो यहां आप तुरंत देख सकते हैं कि आपके चार्ट के लिए शीट पर पर्याप्त जगह है या नहीं। अपनी ताकत की गणना करना मुश्किल नहीं है, क्योंकि ऐसी नोटबुक में सेल की चौड़ाई 0.5 सेंटीमीटर है। यह लिया - तस्वीर कम कर दी। चार्ट के पैमाने में परिवर्तन के कारण इसके गुणों में कमी या परिवर्तन नहीं होगा।
बिंदु और खंड निर्देशांक
जब किसी पाठ में गणित का प्रश्न दिया जाता है, तो इसमें विभिन्न ज्यामितीय आकृतियों के पैरामीटर शामिल हो सकते हैं, दोनों पक्षों की लंबाई, परिधि, क्षेत्रफल और निर्देशांक के रूप में। इस मामले में, आपको एक आकृति बनाने और उससे जुड़े कुछ डेटा प्राप्त करने की आवश्यकता हो सकती है। प्रश्न उठता है: समन्वय रेखा पर आवश्यक जानकारी कैसे प्राप्त करें? और आकृति कैसे बनायें?
उदाहरण के लिए, हम एक बिंदु के बारे में बात कर रहे हैं। फिर समस्या की स्थिति में एक बड़ा अक्षर दिखाई देगा, और कोष्ठक में कई संख्याएँ दिखाई देंगी, सबसे अधिक बार दो (इसका अर्थ है कि हम द्वि-आयामी स्थान में गिनेंगे)।यदि कोष्ठक में तीन संख्याएँ हैं, जिन्हें अर्धविराम या अल्पविराम से अलग किया गया है, तो यह एक त्रि-आयामी स्थान है। प्रत्येक मान संबंधित अक्ष पर एक निर्देशांक है: पहले क्षैतिज (X) के साथ, फिर ऊर्ध्वाधर (Y) के साथ।
याद रखें कि एक खंड कैसे खींचना है? आपने इसे ज्यामिति पर पारित किया। यदि दो बिंदु हैं, तो उनके बीच एक रेखा खींची जा सकती है। यदि समस्या में कोई खंड दिखाई देता है तो उनके निर्देशांक कोष्ठक में दर्शाए जाते हैं। उदाहरण के लिए: ए(15, 13) - बी(1, 4)। ऐसी रेखा बनाने के लिए, आपको समन्वय विमान पर बिंदुओं को खोजने और चिह्नित करने की आवश्यकता है, और फिर उन्हें कनेक्ट करें। बस!
और जैसा कि आप जानते हैं, किसी भी बहुभुज को खंडों का उपयोग करके खींचा जा सकता है। समस्या हल हो गई।
गणना
मान लें कि कोई वस्तु है जिसकी एक्स अक्ष के साथ स्थिति दो संख्याओं की विशेषता है: यह निर्देशांक (-3) के साथ बिंदु पर शुरू होती है और (+2) पर समाप्त होती है। यदि हम इस वस्तु की लंबाई जानना चाहते हैं, तो हमें बड़ी संख्या में से छोटी संख्या को घटाना होगा। ध्यान दें कि एक ऋणात्मक संख्या घटाव के चिह्न को अवशोषित कर लेती है, क्योंकि "माइनस गुणा माइनस एक प्लस के बराबर होता है।" तो हम (2+3) जोड़ते हैं और 5 प्राप्त करते हैं। यह आवश्यक परिणाम है।
एक और उदाहरण: हमें वस्तु का अंत बिंदु और लंबाई दी गई है, लेकिन प्रारंभ बिंदु नहीं (और हमें इसे खोजने की आवश्यकता है)। ज्ञात बिंदु की स्थिति (6) हो, और अध्ययन के तहत वस्तु का आकार (4) हो। अंतिम निर्देशांक से लंबाई घटाकर, हमें उत्तर मिलता है। कुल: (6 - 4)=2.
नकारात्मक संख्या
नकारात्मक मूल्यों के साथ काम करने के लिए अक्सर व्यवहार में इसकी आवश्यकता होती है। इस मामले में हम करेंगेसमन्वय अक्ष के साथ बाईं ओर ले जाएँ। उदाहरण के लिए, 3 सेंटीमीटर ऊँची कोई वस्तु पानी में तैरती है। इसका एक-तिहाई हिस्सा तरल में डूबा हुआ है, दो-तिहाई हवा में है। फिर, पानी की सतह को अक्ष के रूप में चुनते हुए, हमें सरलतम अंकगणितीय गणनाओं का उपयोग करके दो नंबर मिलते हैं: वस्तु के शीर्ष बिंदु में निर्देशांक (+2) होता है, और नीचे वाला - (-1) सेंटीमीटर होता है।
यह देखना आसान है कि समतल के मामले में, हमारे पास निर्देशांक रेखा के चार चौथाई भाग होते हैं। उनमें से प्रत्येक की अपनी संख्या है। पहले (ऊपरी दाएं) भाग में दो सकारात्मक निर्देशांक वाले बिंदु होंगे, दूसरे में - ऊपर बाईं ओर - X अक्ष के मान नकारात्मक होंगे, और Y अक्ष के साथ - सकारात्मक। तीसरे और चौथे की गिनती आगे वामावर्त की जाती है।
महत्वपूर्ण संपत्ति
आप जानते हैं कि एक रेखा को अनंत बिंदुओं के रूप में दर्शाया जा सकता है। हम अक्ष की प्रत्येक दिशा में कितनी भी संख्या में मूल्यों को पसंद करते हैं, हम ध्यान से देख सकते हैं, लेकिन हम दोहराए जाने वाले लोगों से नहीं मिलेंगे। यह भोला और समझने योग्य लगता है, लेकिन यह कथन एक महत्वपूर्ण तथ्य से उपजा है: प्रत्येक संख्या समन्वय रेखा पर एक और केवल एक बिंदु से मेल खाती है।
निष्कर्ष
याद रखें कि किसी भी कुल्हाड़ी, आंकड़े और, यदि संभव हो तो, एक शासक पर ग्राफिक्स का निर्माण किया जाना चाहिए। माप की इकाइयों का आविष्कार मनुष्य द्वारा संयोग से नहीं किया गया था - यदि आप चित्र बनाते समय कोई त्रुटि करते हैं, तो आप एक अलग छवि देखने का जोखिम उठाते हैं, जो कि होनी चाहिए थी।
साजिश और गणना में सावधान और सटीक रहें। स्कूल में पढ़े गए किसी भी विज्ञान की तरह, गणित को सटीकता पसंद है। थोड़ा प्रयास करें और अच्छा करेंमूल्यांकन आने में लंबा नहीं होगा।
