एक विशिष्ट ज्यामितीय समस्या रेखाओं के बीच के कोण का पता लगाना है। एक समतल पर, यदि रेखाओं के समीकरण ज्ञात हों, तो उन्हें खींचा जा सकता है और कोण को प्रोट्रैक्टर से मापा जा सकता है। हालांकि, यह विधि श्रमसाध्य है और हमेशा संभव नहीं होती है। नामित कोण का पता लगाने के लिए सीधी रेखाएँ खींचना आवश्यक नहीं है, इसकी गणना की जा सकती है। यह लेख जवाब देगा कि यह कैसे किया जाता है।
एक सीधी रेखा और उसका सदिश समीकरण
किसी भी सीधी रेखा को एक सदिश के रूप में दर्शाया जा सकता है जो -∞ से शुरू होकर +∞ पर समाप्त होता है। इस मामले में, वेक्टर अंतरिक्ष में किसी बिंदु से गुजरता है। इस प्रकार, एक सीधी रेखा पर किन्हीं दो बिंदुओं के बीच खींचे जा सकने वाले सभी सदिश एक दूसरे के समानांतर होंगे। यह परिभाषा आपको एक सीधी रेखा के समीकरण को सदिश रूप में सेट करने की अनुमति देती है:
(x; y; z)=(x0; y0; z0) + α(ए; बी; सी)
यहां, निर्देशांक वाला सदिश (a; b; c) बिंदु से गुजरने वाली इस रेखा के लिए मार्गदर्शक है (x0; y0; जेड0)।α पैरामीटर आपको इस लाइन के लिए निर्दिष्ट बिंदु को किसी अन्य स्थान पर स्थानांतरित करने की अनुमति देता है। यह समीकरण सहज ज्ञान युक्त है और 3डी स्पेस और प्लेन दोनों में काम करना आसान है। एक समतल के लिए, इसमें z निर्देशांक और तृतीय दिशा सदिश घटक नहीं होंगे।
एक वेक्टर समीकरण के उपयोग के कारण गणना करने और सीधी रेखाओं की सापेक्ष स्थिति का अध्ययन करने की सुविधा इस तथ्य के कारण है कि इसका निर्देशन सदिश ज्ञात है। इसके निर्देशांक रेखाओं के बीच के कोण और उनके बीच की दूरी की गणना करने के लिए उपयोग किए जाते हैं।
एक समतल पर एक सीधी रेखा के लिए सामान्य समीकरण
आइए द्वि-आयामी मामले के लिए सीधी रेखा के वेक्टर समीकरण को स्पष्ट रूप से लिखें। ऐसा लगता है:
x=x0+ αa;
y=y0+ αb
अब हम प्रत्येक समानता के लिए पैरामीटर α की गणना करते हैं और प्राप्त समानता के सही भागों की बराबरी करते हैं:
α=(एक्स - एक्स0)/ए;
α=(y - y0)/b;
(x - x0)/a=(y - y0)/b
कोष्ठक को खोलने और सभी पदों को समानता के एक पक्ष में स्थानांतरित करने पर, हमें प्राप्त होता है:
1/ax +(-1/b)y+y0/b- x0/a=0=>
Ax + By + C=0, जहां A=1/a, B=-1/b, C=y0/b- x 0/ए
परिणामी व्यंजक को द्वि-आयामी अंतरिक्ष में दी गई एक सीधी रेखा के लिए सामान्य समीकरण कहा जाता है (तीन-आयामी में यह समीकरण z-अक्ष के समानांतर एक समतल से मेल खाता है, एक सीधी रेखा नहीं)।
यदि हम इस व्यंजक में स्पष्ट रूप से y से x तक लिखते हैं, तो हमें निम्नलिखित रूप प्राप्त होता है, ज्ञातप्रत्येक छात्र:
y=kx + p, जहाँ k=-A/B, p=-C/B
यह रैखिक समीकरण विशिष्ट रूप से समतल पर एक सीधी रेखा को परिभाषित करता है। प्रसिद्ध समीकरण के अनुसार इसे खींचना बहुत आसान है, इसके लिए आपको x=0 और y=0 को बारी-बारी से रखना चाहिए, निर्देशांक प्रणाली में संबंधित बिंदुओं को चिह्नित करना चाहिए और प्राप्त बिंदुओं को जोड़ने वाली एक सीधी रेखा खींचना चाहिए।
रेखाओं के बीच के कोण का सूत्र
एक समतल पर, दो रेखाएँ या तो प्रतिच्छेद कर सकती हैं या एक दूसरे के समानांतर हो सकती हैं। अंतरिक्ष में, इन विकल्पों में तिरछी रेखाओं के अस्तित्व की संभावना को जोड़ा जाता है। इन एक-आयामी ज्यामितीय वस्तुओं की सापेक्ष स्थिति का जो भी संस्करण लागू किया जाता है, उनके बीच के कोण को हमेशा निम्न सूत्र द्वारा निर्धारित किया जा सकता है:
φ=arccos(|(v1¯v2¯)|/(|v1 ¯||वी2¯|))
जहाँ v1¯ और v2¯ क्रमशः लाइन 1 और 2 के लिए गाइड वैक्टर हैं। अंश कोणों को बाहर करने और केवल तीक्ष्ण कोणों को ध्यान में रखने के लिए अंक उत्पाद का मापांक है।
सदिश v1¯ और v2¯ दो या तीन निर्देशांक द्वारा दिए जा सकते हैं, जबकि कोण के लिए सूत्र अपरिवर्तित रहता है।
समानांतरता और रेखाओं की लंबवतता
यदि उपरोक्त सूत्र का उपयोग करके गणना की गई 2 रेखाओं के बीच का कोण 0o है, तो उन्हें समानांतर कहा जाता है। यह निर्धारित करने के लिए कि रेखाएं समानांतर हैं या नहीं, आप कोण की गणना नहीं कर सकते, यह दिखाने के लिए पर्याप्त है कि एक दिशा वेक्टर को दूसरी रेखा के समान वेक्टर के माध्यम से दर्शाया जा सकता है, जो है:
v1¯=qv2¯
यहाँ q कुछ वास्तविक संख्या है।
यदि रेखाओं के समीकरण इस प्रकार दिए गए हैं:
y=k1x + p1,
y=k2x + p2,
तब वे समांतर तभी होंगे जब x के गुणांक बराबर होंगे, अर्थात:
के1=कश्मीर2
इस तथ्य को साबित किया जा सकता है यदि हम विचार करें कि गुणांक k को सीधी रेखा के निर्देशन सदिश के निर्देशांक के रूप में कैसे व्यक्त किया जाता है।
यदि रेखाओं के बीच का प्रतिच्छेद कोण 90o हो, तो वे लम्बवत कहलाते हैं। रेखाओं की लंबवतता निर्धारित करने के लिए, कोण φ की गणना करना भी आवश्यक नहीं है, इसके लिए केवल वैक्टर के अदिश उत्पाद की गणना करना पर्याप्त है v1¯ और v 2¯. यह शून्य होना चाहिए।
अंतरिक्ष में सीधी रेखाओं को प्रतिच्छेद करने की स्थिति में कोण φ के सूत्र का भी उपयोग किया जा सकता है। इस मामले में, परिणाम की सही व्याख्या की जानी चाहिए। परिकलित φ उन रेखाओं के दिशा सदिशों के बीच के कोण को दर्शाता है जो प्रतिच्छेद नहीं करती हैं और समानांतर नहीं हैं।
कार्य 1। लंबवत रेखाएं
यह ज्ञात है कि रेखाओं के समीकरणों का रूप होता है:
(x; y)=(1; 2) + α(1; 2);
(x; y)=(-4; 7) + β(-4; 2)
यह निर्धारित करना आवश्यक है कि क्या ये रेखाएं हैंलंबवत।
जैसा कि ऊपर बताया गया है, प्रश्न का उत्तर देने के लिए, गाइड के वैक्टर के स्केलर उत्पाद की गणना करने के लिए पर्याप्त है, जो निर्देशांक (1; 2) और (-4; 2) के अनुरूप हैं। हमारे पास है:
(1; 2)(-4; 2)=1(-4) + 22=0
चूंकि हमें 0 मिला है, इसका मतलब है कि मानी गई रेखाएं एक समकोण पर प्रतिच्छेद करती हैं, यानी वे लंबवत हैं।
कार्य 2। रेखा चौराहा कोण
यह ज्ञात है कि सीधी रेखाओं के लिए दो समीकरणों के निम्नलिखित रूप होते हैं:
y=2x - 1;
y=-x + 3
रेखाओं के बीच का कोण ज्ञात करना आवश्यक है।
चूंकि x के गुणांकों के अलग-अलग मान हैं, ये रेखाएं समानांतर नहीं हैं। जब वे प्रतिच्छेद करते हैं तो बनने वाले कोण को खोजने के लिए, हम प्रत्येक समीकरण को एक सदिश रूप में अनुवाद करते हैं।
पहली पंक्ति के लिए हमें मिलता है:
(x; y)=(x; 2x - 1)
समीकरण के दाईं ओर, हमें एक सदिश मिला है जिसके निर्देशांक x पर निर्भर करते हैं। आइए इसे दो वैक्टर के योग के रूप में प्रस्तुत करें, और पहले के निर्देशांक में चर x होगा, और दूसरे के निर्देशांक में विशेष रूप से संख्याएँ होंगी:
(x; y)=(x; 2x) + (0; - 1)=x(1; 2) + (0; - 1)
चूंकि x मनमाना मान लेता है, इसे पैरामीटर α से बदला जा सकता है। पहली पंक्ति के लिए सदिश समीकरण बन जाता है:
(x; y)=(0; - 1) + α(1; 2)
हम पंक्ति के दूसरे समीकरण के साथ समान क्रिया करते हैं, हमें मिलता है:
(x; y)=(x; -x + 3)=(x; -x) + (0; 3)=x(1; -1) + (0; 3)=>
(x; y)=(0; 3) + β(1; -1)
हम मूल समीकरणों को सदिश रूप में फिर से लिखते हैं। अब आप चौराहे के कोण के लिए सूत्र का उपयोग कर सकते हैं, इसमें लाइनों के निर्देशन वैक्टर के निर्देशांक को प्रतिस्थापित कर सकते हैं:
(1; 2)(1; -1)=-1;
|(1; 2)|=5;
|(1; -1)|=2;
φ=आर्ककोस(|-1|/(√5√2))=71, 565o
इस प्रकार, विचाराधीन रेखाएं 71.565o, या 1.249 रेडियन के कोण पर प्रतिच्छेद करती हैं।
इस समस्या को अलग तरीके से हल किया जा सकता था। ऐसा करने के लिए, प्रत्येक सीधी रेखा के दो मनमाना बिंदु लेना, उनसे प्रत्यक्ष वैक्टर बनाना और फिर के सूत्र का उपयोग करना आवश्यक था।
