गणित में डिग्री की अवधारणा को 7वीं कक्षा में बीजगणित पाठ में पेश किया गया है। और भविष्य में, गणित के अध्ययन के दौरान, इस अवधारणा को इसके विभिन्न रूपों में सक्रिय रूप से उपयोग किया जाता है। डिग्री एक कठिन विषय है, जिसमें मूल्यों को याद रखने और सही ढंग से और जल्दी से गिनने की क्षमता की आवश्यकता होती है। गणित की डिग्री के साथ तेजी से और बेहतर काम के लिए, वे डिग्री के गुणों के साथ आए। वे बड़ी गणनाओं में कटौती करने में मदद करते हैं, एक विशाल उदाहरण को एक संख्या में कुछ हद तक परिवर्तित करने के लिए। इतने सारे गुण नहीं हैं, और उन सभी को याद रखना और व्यवहार में लागू करना आसान है। इसलिए, लेख डिग्री के मुख्य गुणों के साथ-साथ जहां वे लागू होते हैं, पर चर्चा करता है।
डिग्री गुण
हम डिग्री के 12 गुणों पर विचार करेंगे, जिसमें समान आधार वाले डिग्री के गुण शामिल हैं, और प्रत्येक संपत्ति के लिए एक उदाहरण देंगे। इनमें से प्रत्येक गुण आपको डिग्री के साथ समस्याओं को तेजी से हल करने में मदद करेगा, साथ ही आपको कई कम्प्यूटेशनल त्रुटियों से बचाएगा।
पहली संपत्ति।
ए0=1
कई अक्सर इस संपत्ति के बारे में भूल जाते हैं, करते हैंकिसी संख्या को शून्य के घात को शून्य के रूप में निरूपित करने में त्रुटियाँ।
दूसरी संपत्ति।
ए1=ए
तीसरी संपत्ति।
ए एम=ए(एन+एम)
आपको यह याद रखने की आवश्यकता है कि इस गुण का उपयोग केवल संख्याओं को गुणा करने पर ही किया जा सकता है, यह योग के साथ काम नहीं करता है! और यह न भूलें कि यह और निम्नलिखित गुण केवल समान आधार वाले घातों पर लागू होते हैं।
चौथी संपत्ति।
a/am=a(n-m)
यदि हर में संख्या को ऋणात्मक घात तक बढ़ा दिया जाता है, तो घटाते समय, आगे की गणना में चिह्न को सही ढंग से बदलने के लिए हर की डिग्री को कोष्ठक में लिया जाता है।
संपत्ति केवल विभाजन के लिए काम करती है, घटाव के लिए नहीं!
पांचवीं संपत्ति।
(a)m=a(nm)
छठी संपत्ति।
ए-एन=1/ए
इस गुण को उल्टा भी लगाया जा सकता है। किसी संख्या से कुछ अंश तक भाग देने वाली इकाई वह संख्या होती है जिसका ऋणात्मक घात होता है।
7वीं संपत्ति।
(ab)m=am bm
यह गुण योग और अंतर पर लागू नहीं किया जा सकता है! किसी घात का योग या अंतर बढ़ाते समय, संक्षिप्त गुणन फ़ार्मुलों का उपयोग किया जाता है, न कि घात के गुणों का।
8वीं संपत्ति।
(ए/बी)=ए/बी
9वीं संपत्ति।
a½=a
यह गुण एक के बराबर अंश के साथ किसी भी भिन्नात्मक शक्ति के लिए काम करता है,सूत्र वही होगा, केवल मूल की घात डिग्री के हर के आधार पर बदलेगी।
साथ ही, इस गुण का प्रयोग अक्सर उल्टा किया जाता है। किसी संख्या की किसी भी घात के मूल को उस संख्या के रूप में दर्शाया जा सकता है, जो मूल की घात से विभाजित एक की घात है। यह गुण उन मामलों में बहुत उपयोगी है जहाँ संख्या का मूल नहीं निकाला जाता है।
10वीं संपत्ति।
(√a)2=एक
यह गुण न केवल वर्गमूल और द्वितीय घात के साथ कार्य करता है। यदि जड़ की डिग्री और जिस हद तक इस जड़ को उठाया गया है, वही हैं, तो उत्तर एक कट्टरपंथी अभिव्यक्ति होगी।
11वीं संपत्ति।
√a=एक
अपने आप को बड़ी गणनाओं से बचाने के लिए हल करते समय आपको इस संपत्ति को समय पर देखने में सक्षम होना चाहिए।
12वीं संपत्ति।
एएम/एन=√एम
इनमें से प्रत्येक गुण आपको कार्यों में एक से अधिक बार मिलेंगे, इसे अपने शुद्ध रूप में दिया जा सकता है, या इसमें कुछ परिवर्तन और अन्य सूत्रों के उपयोग की आवश्यकता हो सकती है। इसलिए, सही समाधान के लिए, केवल गुणों को जानना पर्याप्त नहीं है, आपको अभ्यास करने और शेष गणितीय ज्ञान को जोड़ने की आवश्यकता है।
डिग्री और उनके गुणों का उपयोग करना
वे बीजगणित और ज्यामिति में सक्रिय रूप से उपयोग किए जाते हैं। गणित में डिग्री का एक अलग, महत्वपूर्ण स्थान होता है। उनकी मदद से, घातीय समीकरण और असमानताएं हल हो जाती हैं, साथ ही शक्तियां अक्सर गणित के अन्य वर्गों से संबंधित समीकरणों और उदाहरणों को जटिल बनाती हैं। घातांक बड़ी और लंबी गणनाओं से बचने में मदद करते हैं, घातांक को कम करना और गणना करना आसान होता है। लेकिन के लिएबड़ी शक्तियों के साथ, या बड़ी संख्या की शक्तियों के साथ काम करते हुए, आपको न केवल डिग्री के गुणों को जानना होगा, बल्कि आधारों के साथ सक्षम रूप से काम करना होगा, अपने कार्य को आसान बनाने के लिए उन्हें विघटित करने में सक्षम होना चाहिए। सुविधा के लिए, आपको किसी घात पर उठाई गई संख्याओं का अर्थ भी पता होना चाहिए। यह लंबी गणनाओं की आवश्यकता को समाप्त करके हल करने में आपके समय को कम करेगा।
डिग्री की अवधारणा लघुगणक में एक विशेष भूमिका निभाती है। चूँकि लघुगणक, संक्षेप में, किसी संख्या की घात है।
घटित गुणन सूत्र घातों का उपयोग करने का एक और उदाहरण हैं। वे डिग्री के गुणों का उपयोग नहीं कर सकते हैं, वे विशेष नियमों के अनुसार विघटित होते हैं, लेकिन प्रत्येक संक्षिप्त गुणन सूत्र में हमेशा डिग्री होती है।
डिग्री का उपयोग भौतिकी और कंप्यूटर विज्ञान में भी सक्रिय रूप से किया जाता है। एसआई प्रणाली में सभी अनुवाद डिग्री का उपयोग करके किए जाते हैं, और भविष्य में, समस्याओं को हल करते समय, डिग्री के गुणों को लागू किया जाता है। कंप्यूटर विज्ञान में, संख्याओं की धारणा को गिनने और सरल बनाने की सुविधा के लिए दो की शक्तियों का सक्रिय रूप से उपयोग किया जाता है। माप की इकाइयों के रूपांतरण पर आगे की गणना या समस्याओं की गणना, जैसे भौतिकी में, डिग्री के गुणों का उपयोग करके होती है।
डिग्री खगोल विज्ञान में भी बहुत उपयोगी हैं, जहां आप शायद ही कभी किसी डिग्री के गुणों का उपयोग देखते हैं, लेकिन डिग्री स्वयं सक्रिय रूप से विभिन्न मात्राओं और दूरियों की रिकॉर्डिंग को छोटा करने के लिए उपयोग की जाती हैं।
क्षेत्रों, आयतनों, दूरियों की गणना करते समय दैनिक जीवन में डिग्री का भी उपयोग किया जाता है।
डिग्री की सहायता से विज्ञान के किसी भी क्षेत्र में बहुत बड़ी और बहुत छोटी मात्राएँ लिखी जाती हैं।
घातीय समीकरण और असमानताएं
घातीय समीकरणों और असमानताओं में डिग्री गुण एक विशेष स्थान पर कब्जा कर लेते हैं। स्कूल के पाठ्यक्रम और परीक्षा दोनों में ये कार्य बहुत सामान्य हैं। उन सभी को डिग्री के गुणों को लागू करके हल किया जाता है। अज्ञात हमेशा डिग्री में ही होता है, इसलिए सभी गुणों को जानकर, ऐसे समीकरण या असमानता को हल करना मुश्किल नहीं होगा।
