सिलेंडर: साइड सरफेस एरिया। एक सिलेंडर की पार्श्व सतह के क्षेत्रफल के लिए सूत्र

2024 लेखक: Angel Austin | [email protected]. अंतिम बार संशोधित: 2024-01-02 17:47

स्टीरियोमेट्री का अध्ययन करते समय, मुख्य विषयों में से एक "सिलेंडर" है। पार्श्व सतह क्षेत्र माना जाता है, यदि मुख्य नहीं है, तो ज्यामितीय समस्याओं को हल करने में एक महत्वपूर्ण सूत्र है। हालांकि, उन परिभाषाओं को याद रखना महत्वपूर्ण है जो आपको उदाहरणों के माध्यम से नेविगेट करने और विभिन्न प्रमेयों को साबित करने में मदद करेंगी।

सिलेंडर अवधारणा

पहले हमें कुछ परिभाषाओं पर विचार करना होगा। उनका अध्ययन करने के बाद ही कोई सिलेंडर की पार्श्व सतह के क्षेत्रफल के सूत्र के प्रश्न पर विचार करना शुरू कर सकता है। इस प्रविष्टि के आधार पर, अन्य भावों की गणना की जा सकती है।

• एक बेलनाकार सतह को एक जेनरेटर द्वारा वर्णित एक विमान के रूप में समझा जाता है, जो एक मौजूदा वक्र के साथ सरकते हुए दी गई दिशा के समानांतर चलती और शेष रहती है।
• एक दूसरी परिभाषा भी है: एक बेलनाकार सतह किसी दिए गए वक्र को प्रतिच्छेद करने वाली समानांतर रेखाओं के एक सेट से बनती है।
• जेनरेटिव को पारंपरिक रूप से सिलेंडर की ऊंचाई कहा जाता है। जब यह आधार के केंद्र से गुजरने वाली धुरी के चारों ओर घूमता है,निर्दिष्ट ज्यामितीय निकाय प्राप्त होता है।
• अक्ष के नीचे का अर्थ है आकृति के दोनों आधारों से गुजरने वाली एक सीधी रेखा।
• सिलेंडर एक त्रिविमीय पिंड है जो एक प्रतिच्छेदी पार्श्व सतह और 2 समानांतर विमानों से घिरा है।

इस त्रि-आयामी आकृति की कई किस्में हैं:

1. गोलाकार एक बेलन है जिसका गाइड एक वृत्त है। इसके मुख्य घटक आधार की त्रिज्या और जनक हैं। उत्तरार्द्ध आकृति की ऊंचाई के बराबर है।
2. सीधा सिलिंडर है। आकृति के आधारों पर जेनरेट्रिक्स की लंबवतता के कारण इसका नाम मिला।
3. तीसरा प्रकार एक बेवल वाला सिलेंडर है। पाठ्यपुस्तकों में, आप इसके लिए एक और नाम भी पा सकते हैं - "एक बेवल बेस वाला गोलाकार सिलेंडर।" यह आंकड़ा आधार की त्रिज्या, न्यूनतम और अधिकतम ऊंचाई को परिभाषित करता है।
4. एक समबाहु बेलन को एक वृत्ताकार तल के बराबर ऊंचाई और व्यास वाले पिंड के रूप में समझा जाता है।

प्रतीक

परंपरागत रूप से, सिलेंडर के मुख्य "घटक" को इस प्रकार कहा जाता है:

• आधार की त्रिज्या R है (यह एक त्रिविमीय आकृति के समान मान को भी बदल देती है)।
• जनरेटिव - एल.
• ऊंचाई - एच.
• आधार क्षेत्र - एस_{आधार (दूसरे शब्दों में, आपको निर्दिष्ट सर्कल पैरामीटर खोजने की जरूरत है)।}
• बेवेल्ड सिलेंडर की ऊंचाई - h₁, h_{2 (न्यूनतम और अधिकतम)।}
• साइड सरफेस एरिया - S_{साइड (यदि आप इसका विस्तार करते हैं, तो आपको मिलता हैएक आयत की तरह)।}
• स्टीरियोमेट्रिक फिगर का आयतन - V.
• कुल सतह क्षेत्र – S.

एक स्टीरियोमेट्रिक आकृति के "घटक"

सिलेंडर का अध्ययन करते समय, पार्श्व सतह क्षेत्र एक महत्वपूर्ण भूमिका निभाता है। यह इस तथ्य के कारण है कि यह सूत्र कई अन्य, अधिक जटिल लोगों में शामिल है। इसलिए, सिद्धांत में पारंगत होना आवश्यक है।

आकृति के मुख्य घटक हैं:

1. साइड सतह। जैसा कि आप जानते हैं, यह दिए गए वक्र के साथ जेनरेट्रिक्स की गति के कारण प्राप्त होता है।
2. पूर्ण सतह में मौजूदा आधार और पार्श्व तल शामिल हैं।
3. एक सिलेंडर का खंड, एक नियम के रूप में, आकृति की धुरी के समानांतर स्थित एक आयत है। अन्यथा, इसे विमान कहा जाता है। यह पता चला है कि लंबाई और चौड़ाई अन्य आंकड़ों के अंशकालिक घटक हैं। तो, सशर्त रूप से, अनुभाग की लंबाई जनरेटर हैं। चौड़ाई - एक स्टीरियोमेट्रिक आकृति के समानांतर जीवा।
4. अक्षीय खंड का अर्थ है शरीर के केंद्र के माध्यम से विमान का स्थान।
5. और अंत में, अंतिम परिभाषा। एक स्पर्शरेखा एक विमान है जो सिलेंडर के जेनरेट्रिक्स से होकर गुजरता है और अक्षीय खंड में समकोण पर होता है। इस मामले में, एक शर्त पूरी होनी चाहिए। निर्दिष्ट जेनरेटर को अक्षीय खंड के तल में शामिल किया जाना चाहिए।

सिलेंडर के साथ काम करने के लिए बुनियादी सूत्र

सिलेंडर के सतह क्षेत्र को कैसे खोजें, इस सवाल का जवाब देने के लिए, एक स्टीरियोमेट्रिक आकृति के मुख्य "घटकों" और उन्हें खोजने के लिए सूत्रों का अध्ययन करना आवश्यक है।

ये सूत्र इस मायने में भिन्न हैं कि पहले बेवल वाले बेलन के लिए व्यंजक दिए गए हैं, और फिर सीधे वाले के लिए।

विखंडित उदाहरण

कार्य 1.

बेलन की पार्श्व सतह का क्षेत्रफल जानना आवश्यक है। खंड AC=8 सेमी का विकर्ण दिया गया है (इसके अलावा, यह अक्षीय है)। जेनरेटर के संपर्क में आने पर यह _{<ACD=30° निकलता है}

निर्णय। चूँकि विकर्ण और कोण के मान ज्ञात हैं, तो इस स्थिति में:

CD=ACcos 30°

टिप्पणी। त्रिभुज ACD, इस विशेष उदाहरण में, एक समकोण त्रिभुज है। इसका मतलब है कि सीडी और एसी को विभाजित करने का भागफल=दिए गए कोण की कोज्या। त्रिकोणमितीय फलनों का मान एक विशेष तालिका में पाया जा सकता है।

इसी तरह, आप AD का मान ज्ञात कर सकते हैं:

एडी=एसीपाप 30°

अब आपको निम्नलिखित फॉर्मूलेशन का उपयोग करके वांछित परिणाम की गणना करने की आवश्यकता है: सिलेंडर की पार्श्व सतह का क्षेत्रफल "पाई", आकृति की त्रिज्या और इसकी ऊंचाई को गुणा करने के परिणाम के दोगुने के बराबर है। एक अन्य सूत्र का भी उपयोग किया जाना चाहिए: सिलेंडर के आधार का क्षेत्र। यह त्रिज्या के वर्ग से "पाई" को गुणा करने के परिणाम के बराबर है। और अंत में, अंतिम सूत्र: कुल सतह क्षेत्र। यह पिछले दो क्षेत्रों के योग के बराबर है।

कार्य 2.

सिलेंडर दिए जाते हैं। उनका आयतन=128n सेमी³। किस सिलेंडर में सबसे छोटा हैपूरी सतह?

निर्णय। सबसे पहले आपको किसी आकृति का आयतन और उसकी ऊँचाई ज्ञात करने के लिए सूत्रों का उपयोग करना होगा।

चूंकि एक सिलेंडर का कुल सतह क्षेत्र सिद्धांत से जाना जाता है, इसलिए इसका सूत्र लागू किया जाना चाहिए।

यदि हम परिणामी सूत्र को सिलिंडर के क्षेत्रफल के फलन के रूप में मानते हैं, तो न्यूनतम "संकेतक" चरम बिंदु पर पहुंच जाएगा। अंतिम मान प्राप्त करने के लिए, आपको विभेदन का उपयोग करने की आवश्यकता है।

डेरिवेटिव खोजने के लिए सूत्रों को एक विशेष तालिका में देखा जा सकता है। भविष्य में, पाया गया परिणाम शून्य के बराबर होता है और समीकरण का हल मिल जाता है।

उत्तर: एस_{मिनट पर एच=1/32 सेमी, आर=64 सेमी पर पहुंच जाएगा।}

समस्या 3.

एक स्टीरियोमेट्रिक आकृति को देखते हुए - एक सिलेंडर और एक खंड। उत्तरार्द्ध को इस तरह से किया जाता है कि यह स्टीरियोमेट्रिक बॉडी की धुरी के समानांतर स्थित होता है। सिलेंडर में निम्नलिखित पैरामीटर हैं: वीके=17 सेमी, एच=15 सेमी, आर=5 सेमी। अनुभाग और अक्ष के बीच की दूरी का पता लगाना आवश्यक है।

निर्णय।

चूंकि बेलन के अनुप्रस्थ काट को VSCM समझा जाता है, यानी एक आयत, इसकी भुजा VM=h. डब्ल्यूएमसी पर विचार किया जाना चाहिए। त्रिभुज आयताकार है। इस कथन के आधार पर हम सही धारणा निकाल सकते हैं कि MK=BC है।

वीके²=वीएम² + एमके²

एमके²=वीके² - वीएम²

एमके²=17² - 15²

एमके²=64

एमके=8

यहां से हम यह निष्कर्ष निकाल सकते हैं कि MK=BC=8 सेमी.

अगला चरण आकृति के आधार के माध्यम से एक खंड बनाना है। परिणामी विमान पर विचार करना आवश्यक है।

AD - एक स्टीरियोमेट्रिक आकृति का व्यास। यह समस्या कथन में वर्णित खंड के समानांतर है।

BC मौजूदा आयत के तल पर स्थित एक सीधी रेखा है।

एबीसीडी एक समलम्ब है। एक विशेष मामले में, इसे समद्विबाहु माना जाता है, क्योंकि इसके चारों ओर एक वृत्त का वर्णन किया गया है।

यदि आप परिणामी समलंब की ऊँचाई ज्ञात करते हैं, तो आप समस्या की शुरुआत में दिए गए उत्तर को प्राप्त कर सकते हैं। अर्थात्: अक्ष और खींचे गए खंड के बीच की दूरी का पता लगाना।

ऐसा करने के लिए, आपको AD और OS के मान ज्ञात करने होंगे।

उत्तर: खंड अक्ष से 3 सेमी की दूरी पर स्थित है।

सामग्री को समेकित करने में समस्या

उदाहरण 1.

सिलेंडर दिया। पार्श्व सतह क्षेत्र का उपयोग आगे के समाधान में किया जाता है। अन्य विकल्प ज्ञात हैं। आधार का क्षेत्रफल Q है, अक्षीय खंड का क्षेत्रफल M है। S का पता लगाना आवश्यक है। दूसरे शब्दों में, सिलेंडर का कुल क्षेत्रफल।

उदाहरण 2.

सिलेंडर दिया। पार्श्व सतह क्षेत्र समस्या को हल करने के चरणों में से एक में पाया जाना चाहिए। यह ज्ञात है कि ऊँचाई=4 सेमी, त्रिज्या=2 सेमी। एक त्रिविमीय आकृति का कुल क्षेत्रफल ज्ञात करना आवश्यक है।