अंतरिक्ष में आंकड़ों पर विचार करते समय, उनके सतह क्षेत्र को निर्धारित करने में अक्सर समस्याएं उत्पन्न होती हैं। ऐसी ही एक आकृति है शंकु। लेख में विचार करें कि एक गोल आधार के साथ-साथ एक काटे गए शंकु के साथ शंकु की पार्श्व सतह क्या है।
गोल आधार के साथ शंकु
शंकु की पार्श्व सतह पर विचार करने से पहले, हम दिखाएंगे कि यह किस प्रकार की आकृति है और इसे ज्यामितीय विधियों का उपयोग करके कैसे प्राप्त किया जाता है।
एक समकोण त्रिभुज ABC लीजिए, जिसमें AB और AC पैर हैं। आइए इस त्रिभुज को लेग AC पर रखें और इसे AB पैर के चारों ओर घुमाएँ। परिणामस्वरूप, भुजाएँ AC और BC नीचे दिखाए गए चित्र की दो सतहों का वर्णन करती हैं।
घूर्णन द्वारा प्राप्त आकृति को गोल सीधा शंकु कहते हैं। यह गोल है क्योंकि इसका आधार एक वृत्त है, और सीधा है क्योंकि आकृति (बिंदु B) के शीर्ष से खींचा गया एक वृत्त इसके केंद्र पर वृत्त को काटता है। इस लंबवत की लंबाई को ऊंचाई कहा जाता है। जाहिर है, यह लेग AB के बराबर है।ऊंचाई को आमतौर पर h अक्षर से दर्शाया जाता है।
ऊंचाई के अलावा, माना गया शंकु दो और रैखिक विशेषताओं द्वारा वर्णित है:
- उत्पन्न करना, या जनक (कर्ण ई.पू.);
- आधार त्रिज्या (पैर एसी)।
त्रिज्या को r अक्षर से और जनित्र को g से दर्शाया जाएगा। फिर, पाइथागोरस प्रमेय को ध्यान में रखते हुए, हम विचाराधीन आकृति के लिए महत्वपूर्ण समानता लिख सकते हैं:
जी2=एच2+ आर2
शंक्वाकार सतह
सभी जनकों की समग्रता एक शंकु की शंक्वाकार या पार्श्व सतह बनाती है। दिखने में यह बताना मुश्किल है कि यह किस फ्लैट फिगर से मेल खाती है। शंक्वाकार सतह के क्षेत्र का निर्धारण करते समय उत्तरार्द्ध को जानना महत्वपूर्ण है। इस समस्या को हल करने के लिए, स्वीप विधि का उपयोग किया जाता है। इसमें निम्नलिखित शामिल हैं: एक सतह को मनमाना जेनरेटर के साथ मानसिक रूप से काटा जाता है, और फिर इसे एक विमान पर प्रकट किया जाता है। झाडू प्राप्त करने की इस विधि से निम्न समतल आकृति बनती है।
जैसा कि आप अनुमान लगा सकते हैं, वृत्त आधार से मेल खाता है, लेकिन वृत्ताकार क्षेत्र एक शंक्वाकार सतह है, जिस क्षेत्र में हम रुचि रखते हैं। यह क्षेत्र दो जेनरेटिस और एक चाप से घिरा हुआ है। उत्तरार्द्ध की लंबाई आधार की परिधि की परिधि (लंबाई) के बिल्कुल बराबर है। ये विशेषताएँ विशिष्ट रूप से वृत्ताकार क्षेत्र के सभी गुणों को निर्धारित करती हैं। हम मध्यवर्ती गणितीय गणना नहीं देंगे, लेकिन तुरंत अंतिम सूत्र लिखेंगे, जिसके उपयोग से आप शंकु की पार्श्व सतह के क्षेत्रफल की गणना कर सकते हैं। सूत्र है:
एसबी=पाईजीआर
शंक्वाकार सतह Sb का क्षेत्रफल दो मापदंडों और पाई के गुणनफल के बराबर है।
छंटे हुए शंकु और उसकी सतह
यदि हम एक साधारण शंकु लें और उसके शीर्ष को समानांतर तल से काट दें, तो शेष आकृति एक छोटा शंकु होगा। इसकी पार्श्व सतह दो गोल आधारों द्वारा सीमित है। आइए उनकी त्रिज्याओं को R और r के रूप में निरूपित करें। हम आकृति की ऊंचाई को h से और जनक को g से निरूपित करते हैं। नीचे इस आंकड़े के लिए एक पेपर कटआउट दिया गया है।
यह देखा जा सकता है कि पार्श्व सतह अब एक गोलाकार क्षेत्र नहीं है, यह क्षेत्रफल में छोटा है, क्योंकि मध्य भाग इससे कट गया था। विकास चार रेखाओं तक सीमित है, उनमें से दो सीधी रेखा खंड-जनरेटर हैं, अन्य दो चाप हैं जो काटे गए शंकु के आधारों के संगत वृत्तों की लंबाई के साथ हैं।
साइड सरफेस Sbकी गणना इस प्रकार की जाती है:
एसबी=पीआईजी(आर + आर)
जेनरेट्रिक्स, त्रिज्या और ऊंचाई निम्नलिखित समानता से संबंधित हैं:
जी2=एच2+ (आर - आर)2
आंकड़ों के क्षेत्रफल की समानता के साथ समस्या
20 सेमी की ऊंचाई और 8 सेमी के आधार त्रिज्या के साथ एक शंकु दिया गया है। एक काटे गए शंकु की ऊंचाई ज्ञात करना आवश्यक है, जिसकी पार्श्व सतह का क्षेत्रफल इस शंकु के समान होगा। काटे गए चित्र को उसी आधार पर बनाया गया है, और ऊपरी आधार की त्रिज्या 3 सेमी है।
सबसे पहले, आइए हम शंकु के क्षेत्रफलों और काटे गए आकृति की समानता की स्थिति को लिखें। हमारे पास है:
एसबी1=एसबी2=>
pig1R=pig2(r + R)
अब प्रत्येक आकृति के जनक के लिए व्यंजक लिखते हैं:
जी1=(आर2+ एच12);
जी2=((आर-आर)2 + एच2 2)
स्थानापन्न g1 और g2 समान क्षेत्रफल वाले सूत्र में और बाएँ और दाएँ पक्षों को वर्गाकार करें, हमें प्राप्त होता है:
R2(R2+ h12)=((आर-आर)2+ एच22)(आर + आर)2
जहाँ हम h2:
के लिए व्यंजक प्राप्त करते हैं
ज2=√(आर2(आर2+ एच 12)/(आर + आर)2- (आर - आर)2 )
हम इस समानता को सरल नहीं करेंगे, लेकिन केवल इस शर्त से ज्ञात डेटा को प्रतिस्थापित करेंगे:
ज2=(82(82+ 202)/(3 + 8)2- (8 - 3)2) ≈ 14.85 सेमी
इस प्रकार, आकृतियों की पार्श्व सतहों के क्षेत्रफल के बराबर होने के लिए, काटे गए शंकु में पैरामीटर होने चाहिए: R=8 सेमी, r=3 सेमी, h214, 85 सेमी.
