स्टीरियोमेट्री के ढांचे के भीतर त्रि-आयामी अंतरिक्ष में आंकड़ों के गुणों का अध्ययन करते समय, मात्रा और सतह क्षेत्र को निर्धारित करने के लिए अक्सर समस्याओं को हल करना पड़ता है। इस लेख में, हम जाने-माने फ़ार्मुलों का उपयोग करके एक काटे गए पिरामिड के आयतन और पार्श्व सतह क्षेत्र की गणना करने का तरीका दिखाएंगे।
ज्यामिति में पिरामिड
ज्यामिति में, एक साधारण पिरामिड अंतरिक्ष में एक आकृति होती है, जो किसी समतल n-gon पर बनी होती है। इसके सभी शीर्ष बहुभुज के तल के बाहर स्थित एक बिंदु से जुड़े हुए हैं। उदाहरण के लिए, यहाँ एक पंचकोणीय पिरामिड दिखाने वाली तस्वीर है।
यह आकृति फलकों, शीर्षों और किनारों से बनी है। पंचकोणीय फलक को आधार कहते हैं। शेष त्रिभुजाकार फलक पार्श्व पृष्ठ बनाते हैं। सभी त्रिभुजों का प्रतिच्छेदन बिंदु पिरामिड का मुख्य शीर्ष है। यदि एक लंबवत को इससे आधार तक कम किया जाता है, तो प्रतिच्छेदन बिंदु की स्थिति के लिए दो विकल्प संभव हैं:
- ज्यामितीय केंद्र में, तो पिरामिड को एक सीधी रेखा कहा जाता है;
- नहींज्यामितीय केंद्र, तो आकृति तिरछी होगी।
आगे हम नियमित एन-गोनल बेस वाले केवल सीधे आंकड़ों पर विचार करेंगे।
यह आकृति क्या है - एक छोटा पिरामिड?
एक काटे गए पिरामिड का आयतन निर्धारित करने के लिए, यह स्पष्ट रूप से समझना आवश्यक है कि कौन सी आकृति विशेष रूप से प्रश्न में है। आइए इस मुद्दे को स्पष्ट करें।
मान लीजिए हम एक कटिंग प्लेन लेते हैं जो एक साधारण पिरामिड के आधार के समानांतर होता है और इसके साथ साइड की सतह के एक हिस्से को काट देता है। यदि यह ऑपरेशन ऊपर दिखाए गए पंचकोणीय पिरामिड के साथ किया जाता है, तो आपको नीचे दिए गए चित्र की तरह एक आकृति मिलेगी।
फोटो से देखा जा सकता है कि इस पिरामिड में पहले से ही दो आधार हैं, और ऊपर वाला नीचे वाले के समान है, लेकिन यह आकार में छोटा है। पार्श्व सतह को अब त्रिभुजों द्वारा नहीं, बल्कि ट्रेपेज़ॉइड द्वारा दर्शाया जाता है। वे समद्विबाहु हैं, और उनकी संख्या आधार के पक्षों की संख्या से मेल खाती है। काटे गए चित्र में एक नियमित पिरामिड की तरह एक मुख्य शीर्ष नहीं होता है, और इसकी ऊंचाई समानांतर आधारों के बीच की दूरी से निर्धारित होती है।
सामान्य स्थिति में, यदि विचाराधीन आकृति n-गोनल आधारों द्वारा बनाई गई है, तो इसमें n+2 फलक या भुजाएँ, 2n शीर्ष और 3n किनारे हैं। यानी काटा हुआ पिरामिड एक बहुफलक है।
काटे गए पिरामिड के आयतन का सूत्र
याद रखें कि एक साधारण पिरामिड का आयतन उसकी ऊँचाई और आधार क्षेत्रफल के गुणनफल का 1/3 होता है। यह सूत्र एक काटे गए पिरामिड के लिए उपयुक्त नहीं है, क्योंकि इसके दो आधार हैं। और इसकी मात्रानियमित अंक के लिए हमेशा उसी मान से कम होगा जिससे इसे प्राप्त किया गया है।
व्यंजक प्राप्त करने के गणितीय विवरण में जाने के बिना, हम एक काटे गए पिरामिड के आयतन के लिए अंतिम सूत्र प्रस्तुत करते हैं। यह इस प्रकार लिखा गया है:
वी=1/3एच(एस1+ एस2+ √(एस1 एस2))
यहाँ S1 और S2 क्रमशः निचले और ऊपरी आधारों के क्षेत्र हैं, h आकृति की ऊंचाई है. लिखित अभिव्यक्ति न केवल एक सीधे नियमित रूप से काटे गए पिरामिड के लिए मान्य है, बल्कि इस वर्ग के किसी भी आंकड़े के लिए भी मान्य है। इसके अलावा, आधार बहुभुज के प्रकार की परवाह किए बिना। वी के लिए व्यंजक के उपयोग को सीमित करने वाली एकमात्र शर्त यह है कि पिरामिड के आधार एक दूसरे के समानांतर हों।
इस सूत्र के गुणों का अध्ययन करके कई महत्वपूर्ण निष्कर्ष निकाले जा सकते हैं। इसलिए, यदि ऊपरी आधार का क्षेत्रफल शून्य है, तो हम एक साधारण पिरामिड के V के सूत्र पर आते हैं। यदि आधारों के क्षेत्रफल एक दूसरे के बराबर हों, तो हमें प्रिज्म के आयतन का सूत्र प्राप्त होता है।
पार्श्व सतह क्षेत्र का निर्धारण कैसे करें?
एक काटे गए पिरामिड की विशेषताओं को जानने के लिए न केवल इसकी मात्रा की गणना करने की क्षमता की आवश्यकता होती है, बल्कि यह भी जानना होता है कि पार्श्व सतह के क्षेत्र को कैसे निर्धारित किया जाए।
छिद्रित पिरामिड में दो प्रकार के फलक होते हैं:
- समद्विबाहु समलम्बाकार;
- बहुभुज आधार।
यदि आधारों में एक नियमित बहुभुज है, तो इसके क्षेत्रफल की गणना बड़े का प्रतिनिधित्व नहीं करती हैकठिनाइयाँ। ऐसा करने के लिए, आपको केवल भुजा a की लंबाई और उनकी संख्या n जानने की आवश्यकता है।
पार्श्व सतह के मामले में, इसके क्षेत्र की गणना में प्रत्येक n समलम्बाकार के लिए यह मान निर्धारित करना शामिल है। यदि एन-गॉन सही है, तो पार्श्व सतह क्षेत्र के लिए सूत्र बन जाता है:
Sb=hbn(a1+a2)/2
यहाँ hb समलम्ब चतुर्भुज की ऊँचाई है, जिसे आकृति का एपोटेम कहा जाता है। मात्राएँ a1 और a2नियमित n-गोनल आधारों की भुजाओं की लंबाई हैं।
प्रत्येक नियमित एन-गोनल काटे गए पिरामिड के लिए, एपोटेमा hb को विशिष्ट रूप से मापदंडों के माध्यम से परिभाषित किया जा सकता है 1 और a 2और आकृति की ऊंचाई h।
एक आकृति के आयतन और क्षेत्रफल की गणना करने का कार्य
एक नियमित त्रिकोणीय काटे गए पिरामिड को देखते हुए। यह ज्ञात है कि इसकी ऊंचाई एच 10 सेमी है, और आधार के किनारों की लंबाई 5 सेमी और 3 सेमी है। काटे गए पिरामिड का आयतन और इसकी पार्श्व सतह का क्षेत्रफल क्या है?
सबसे पहले, मान V की गणना करते हैं। ऐसा करने के लिए, आकृति के आधारों पर स्थित समबाहु त्रिभुजों के क्षेत्रफल ज्ञात करें। हमारे पास है:
एस1=3/4a12=√3/4 52=10.825सेमी2;
एस2=3/4a22=√3/4 32=3.897 सेमी2
V के सूत्र में डेटा को प्रतिस्थापित करें, हमें वांछित मात्रा मिलती है:
वी=1/310(10, 825 + 3, 897 + √(10, 825 3, 897)) 70.72 सेमी3
पक्ष की सतह का निर्धारण करने के लिए, आपको पता होना चाहिएएपोथेम की लंबाई hb. पिरामिड के अंदर समकोण त्रिभुज को ध्यान में रखते हुए, हम इसके लिए समानता लिख सकते हैं:
जबी=((√3/6(a1- a2))2+ एच2) 10.017 सेमी
एपोटेम का मान और त्रिकोणीय आधारों की भुजाओं को Sbके व्यंजक में प्रतिस्थापित किया जाता है और हमें उत्तर मिलता है:
Sb=hbn(a1+a2)/2=10.0173(5+3)/2 ≈ 120.2 सेमी2
इस प्रकार, हमने समस्या के सभी सवालों के जवाब दिए: वी ≈ 70.72 सेमी3, एसबी ≈ 120.2 सेमी2.
