स्थानिक ज्यामिति, जिसके पाठ्यक्रम का अध्ययन स्कूल के कक्षा 10-11 में किया जाता है, त्रि-आयामी आकृतियों के गुणों पर विचार करता है। लेख एक सिलेंडर की ज्यामितीय परिभाषा देता है, इसकी मात्रा की गणना के लिए एक सूत्र प्रदान करता है, और एक भौतिक समस्या को भी हल करता है जहां इस मात्रा को जानना महत्वपूर्ण है।
सिलेंडर क्या है?
स्टीरियोमेट्री के दृष्टिकोण से, एक सिलेंडर की परिभाषा इस प्रकार दी जा सकती है: यह एक निश्चित फ्लैट बंद वक्र के साथ एक सीधे खंड के समानांतर विस्थापन के परिणामस्वरूप बनाई गई आकृति है। नामित खंड वक्र के समान तल से संबंधित नहीं होना चाहिए। यदि वक्र एक वृत्त है, और खंड उस पर लंबवत है, तो वर्णित तरीके से बने सिलेंडर को सीधा और गोल कहा जाता है। यह नीचे चित्र में दिखाया गया है।
यह अनुमान लगाना कठिन नहीं है कि किसी आयत को उसकी किसी भी भुजा पर घुमाकर यह आकृति प्राप्त की जा सकती है।
बेलन के दो समान आधार होते हैं, जो वृत्त और एक भुजा होते हैंबेलनाकार सतह। आधार के वृत्त को नियता कहा जाता है, और विभिन्न आधारों के वृत्तों को जोड़ने वाला लंबवत खंड आकृति का जनक है।
गोल सीधे बेलन का आयतन कैसे ज्ञात करें?
सिलेंडर की परिभाषा से परिचित होने के बाद, आइए विचार करें कि गणितीय रूप से इसकी विशेषताओं का वर्णन करने के लिए आपको किन मापदंडों को जानने की आवश्यकता है।
दोनों आधारों के बीच की दूरी आकृति की ऊंचाई है। यह स्पष्ट है कि यह जेनरेटरट्रिक्स की लंबाई के बराबर है। हम ऊंचाई को लैटिन अक्षर h से निरूपित करेंगे। आधार पर वृत्त की त्रिज्या को r अक्षर से निरूपित किया जाता है। इसे बेलन की त्रिज्या भी कहते हैं। पेश किए गए दो पैरामीटर प्रश्न में आकृति के सभी गुणों का स्पष्ट रूप से वर्णन करने के लिए पर्याप्त हैं।
सिलेंडर की ज्यामितीय परिभाषा को देखते हुए, इसके आयतन की गणना निम्न सूत्र का उपयोग करके की जा सकती है:
वी=एसएच
यहाँ S आधार का क्षेत्रफल है। ध्यान दें कि किसी भी बेलन के लिए और किसी भी प्रिज्म के लिए लिखित सूत्र मान्य होता है। फिर भी, एक गोल सीधे सिलेंडर के लिए, इसका उपयोग करना काफी सुविधाजनक है, क्योंकि ऊंचाई एक जेनरेट्रिक्स है, और आधार के क्षेत्र एस को सर्कल के क्षेत्र के लिए सूत्र को याद करके निर्धारित किया जा सकता है:
एस=पीआईआर2
इस प्रकार, प्रश्न में आकृति के खंड V के लिए कार्य सूत्र इस प्रकार लिखा जाएगा:
वी=पीआईआर2एच
उछाल बल
हर छात्र जानता है कि अगर किसी वस्तु को पानी में डुबोया जाए तो उसका वजन कम हो जाएगा। इस तथ्य का कारणएक उत्प्लावक, या आर्किमिडीज बल का उदय है। यह किसी भी शरीर पर कार्य करता है, चाहे उनका आकार और सामग्री कुछ भी हो, जिससे वे बने हैं। आर्किमिडीज की ताकत का निर्धारण सूत्र द्वारा किया जा सकता है:
एफए=ρएलजीवीएल
यहाँ ρl और Vl द्रव का घनत्व और पिंड द्वारा विस्थापित उसका आयतन है। यह महत्वपूर्ण है कि इस मात्रा को शरीर के आयतन के साथ भ्रमित न करें। वे तभी मेल खाएंगे जब शरीर पूरी तरह से तरल में डूबा हो। किसी भी आंशिक विसर्जन के लिए, Vl हमेशा शरीर के V से कम होता है।
उत्प्लावन बल FA इसलिए कहा जाता है क्योंकि यह लंबवत ऊपर की ओर निर्देशित होता है, अर्थात यह गुरुत्वाकर्षण की दिशा में विपरीत होता है। बल वैक्टर की विभिन्न दिशाएं इस तथ्य की ओर ले जाती हैं कि किसी भी तरल में शरीर का वजन हवा की तुलना में कम होता है। निष्पक्षता में, हम ध्यान दें कि हवा में, सभी पिंड भी एक उत्प्लावक बल से प्रभावित होते हैं, हालांकि, पानी में आर्किमिडीज बल (800 गुना कम) की तुलना में यह नगण्य है।
द्रव और वायु में पिंडों के भार के अंतर का उपयोग ठोस और तरल पदार्थों के घनत्व को निर्धारित करने के लिए किया जाता है। इस विधि को हाइड्रोस्टेटिक वजन कहा जाता है। किंवदंती के अनुसार, इसका उपयोग सबसे पहले आर्किमिडीज द्वारा उस धातु के घनत्व को निर्धारित करने के लिए किया गया था जिससे मुकुट बनाया गया था।
पीतल के बेलन पर लगने वाले उत्प्लावन बल को ज्ञात करने के लिए उपरोक्त सूत्र का प्रयोग करें।
पीतल के सिलेंडर पर काम करने वाले आर्किमिडीज बल की गणना करने की समस्या
यह ज्ञात है कि पीतल के एक बेलन की ऊंचाई 20 सेमी और व्यास 10 सेमी होता है। आर्किमिडीज बल क्या होगा,जो सिलिंडर को आसुत जल में फेंकने पर उस पर कार्य करना शुरू कर देगा।
पीतल के बेलन पर उत्प्लावन बल ज्ञात करने के लिए सबसे पहले तालिका में पीतल के घनत्व को देखें। यह 8600 kg/m3 के बराबर है (यह इसके घनत्व का औसत मान है)। चूँकि यह मान पानी के घनत्व से अधिक है (1000 kg/m3), वस्तु डूब जाएगी।
आर्किमिडीज बल को निर्धारित करने के लिए, यह सिलेंडर का आयतन ज्ञात करने के लिए पर्याप्त है, और फिर FA के लिए उपरोक्त सूत्र का उपयोग करें। हमारे पास है:
V=pir2h=3, 145220=1570 सेमी 3
हमने सूत्र में 5 सेमी के त्रिज्या मान को प्रतिस्थापित किया है, क्योंकि व्यास समस्या की स्थिति में यह दिए गए से दो गुना छोटा है।
उत्प्लावन बल के लिए हमें प्राप्त होता है:
FA=ρlgV=10009, 81157010-6 =15, 4 एच
यहां हमने वॉल्यूम V को m3 में बदल दिया है।
इस प्रकार, पानी में डूबे हुए ज्ञात आयामों के पीतल के सिलेंडर पर 15.4 N का एक ऊपर का बल कार्य करेगा।
