एक नियमित चतुर्भुज पिरामिड की पार्श्व सतह का क्षेत्रफल: सूत्र और समस्याओं के उदाहरण

2024 लेखक: Angel Austin | [email protected]. अंतिम बार संशोधित: 2024-01-02 17:47

तल और त्रि-आयामी अंतरिक्ष में विशिष्ट ज्यामितीय समस्याएं विभिन्न आकृतियों के सतह क्षेत्रों को निर्धारित करने की समस्याएं हैं। इस लेख में, हम एक नियमित चतुर्भुज पिरामिड की पार्श्व सतह के क्षेत्रफल के लिए सूत्र प्रस्तुत करते हैं।

पिरामिड क्या है?

आइए पिरामिड की एक सख्त ज्यामितीय परिभाषा देते हैं। मान लीजिए कि n भुजाओं और n कोनों वाला कोई बहुभुज है। हम अंतरिक्ष में एक मनमाना बिंदु चुनते हैं जो निर्दिष्ट एन-गॉन के विमान में नहीं होगा, और इसे बहुभुज के प्रत्येक शीर्ष से जोड़ते हैं। हमें एक आकृति मिलेगी जिसमें कुछ आयतन होगा, जिसे n-गोनल पिरामिड कहा जाता है। उदाहरण के लिए, आइए नीचे दिए गए चित्र में दिखाते हैं कि पंचकोणीय पिरामिड कैसा दिखता है।

किसी भी पिरामिड के दो महत्वपूर्ण तत्व उसका आधार (n-gon) और शीर्ष होते हैं। ये तत्व एक दूसरे से n त्रिभुजों से जुड़े हुए हैं, जो सामान्य तौर पर एक दूसरे के बराबर नहीं होते हैं। लम्बवत से गिराऊपर से नीचे की ओर आकृति की ऊँचाई कहलाती है। यदि यह आधार को ज्यामितीय केंद्र में काटता है (बहुभुज के द्रव्यमान के केंद्र के साथ मेल खाता है), तो ऐसे पिरामिड को एक सीधी रेखा कहा जाता है। यदि, इस स्थिति के अलावा, आधार एक नियमित बहुभुज है, तो पूरे पिरामिड को नियमित कहा जाता है। नीचे दिया गया आंकड़ा दिखाता है कि त्रिकोणीय, चतुष्कोणीय, पंचकोणीय और षट्कोणीय आधारों के साथ नियमित पिरामिड कैसा दिखता है।

पिरामिड सतह

एक नियमित चतुष्कोणीय पिरामिड की पार्श्व सतह के क्षेत्रफल के प्रश्न की ओर मुड़ने से पहले, हमें सतह की अवधारणा पर ही ध्यान देना चाहिए।

जैसा कि ऊपर बताया गया है और आंकड़ों में दिखाया गया है, कोई भी पिरामिड फलकों या भुजाओं के समूह से बनता है। एक भुजा आधार है और n भुजाएँ त्रिभुज हैं। पूरी आकृति की सतह इसकी प्रत्येक भुजा के क्षेत्रफलों का योग है।

सामने आ रही आकृति के उदाहरण पर सतह का अध्ययन करना सुविधाजनक है। एक नियमित चतुष्कोणीय पिरामिड के लिए एक स्कैन नीचे दिए गए आंकड़ों में दिखाया गया है।

हम देखते हैं कि इसका पृष्ठीय क्षेत्रफल समान समद्विबाहु त्रिभुजों के चार क्षेत्रफलों के योग और एक वर्ग के क्षेत्रफल के बराबर है।

आकृति की भुजाओं को बनाने वाले सभी त्रिभुजों का कुल क्षेत्रफल पार्श्व सतह का क्षेत्रफल कहलाता है। इसके बाद, हम दिखाएंगे कि एक नियमित चतुष्कोणीय पिरामिड के लिए इसकी गणना कैसे की जाती है।

एक चतुर्भुज नियमित पिरामिड की पार्श्व सतह का क्षेत्रफल

पार्श्व के क्षेत्रफल की गणना करने के लिएनिर्दिष्ट आकृति की सतह पर, हम फिर से उपरोक्त स्कैन की ओर मुड़ते हैं। मान लीजिए हम वर्गाकार आधार की भुजा जानते हैं। आइए इसे प्रतीक a से निरूपित करें। यह देखा जा सकता है कि चार समरूप त्रिभुजों में से प्रत्येक का आधार लंबाई a है। उनके कुल क्षेत्रफल की गणना करने के लिए, आपको एक त्रिभुज के लिए यह मान जानना होगा। ज्यामिति पाठ्यक्रम से ज्ञात होता है कि त्रिभुज S_{t का क्षेत्रफल आधार और ऊँचाई के गुणनफल के बराबर होता है, जिसे आधे भाग में विभाजित किया जाना चाहिए। वह है:}

एस_टी=1/2एच_बीए.

जहाँ h_b आधार पर खींचे गए समद्विबाहु त्रिभुज की ऊंचाई है। एक पिरामिड के लिए, यह ऊंचाई एपोथेम है। अब प्रश्न में पिरामिड की पार्श्व सतह का क्षेत्रफल S_{b प्राप्त करने के लिए परिणामी व्यंजक को 4 से गुणा करना शेष है:}

एस_बी=4एस_टी=2एच_बीए.

इस सूत्र में दो पैरामीटर हैं: एपोथेम और आधार का पक्ष। यदि समस्या की अधिकांश स्थितियों में उत्तरार्द्ध ज्ञात है, तो पूर्व की गणना अन्य मात्राओं को जानकर की जानी चाहिए। यहाँ दो मामलों के लिए एपोटेमा h_{b की गणना के लिए सूत्र दिए गए हैं:}

जब पार्श्व पसली की लंबाई ज्ञात हो;
जब पिरामिड की ऊंचाई ज्ञात हो।

यदि हम पार्श्व किनारे की लंबाई (एक समद्विबाहु त्रिभुज की भुजा) को प्रतीक L से निरूपित करते हैं, तो apotema h_{b सूत्र द्वारा निर्धारित किया जाता है:}

ज_बी=√(एल² - ए^2/4)।

यह व्यंजक पार्श्व सतह त्रिभुज के लिए पाइथागोरस प्रमेय को लागू करने का परिणाम है।

यदि ज्ञात होपिरामिड की ऊँचाई h है, तो apotema h_{b की गणना इस प्रकार की जा सकती है:}

एच_बी=√(एच² + ए^2/4)।

यह व्यंजक प्राप्त करना भी मुश्किल नहीं है यदि हम पिरामिड के अंदर पैरों h और a/2 और कर्ण h_{b से बने समकोण त्रिभुज पर विचार करें।}

आइए दिखाते हैं कि दो दिलचस्प समस्याओं को हल करके इन फ़ार्मुलों को कैसे लागू किया जाए।

ज्ञात सतह क्षेत्र के साथ समस्या

यह ज्ञात है कि एक नियमित चतुर्भुज पिरामिड का पार्श्व सतह क्षेत्र 108 सेमी² है। यदि पिरामिड की ऊंचाई 7 सेमी है, तो इसके एपोथेम h_{b की लंबाई के मान की गणना करना आवश्यक है।}

चलो ऊंचाई के माध्यम से पार्श्व सतह के क्षेत्र S_{b के लिए सूत्र लिखते हैं। हमारे पास है:}

एस_बी=2√(एच² + ए^{2/4) ए.}

यहाँ हमने S_{b के व्यंजक में संगत एपोटेमा सूत्र को प्रतिस्थापित किया है। आइए समीकरण के दोनों पक्षों का वर्ग करें:}

एस_बी²=4ए²एच² + ए^4.

a का मान ज्ञात करने के लिए, आइए चरों में परिवर्तन करें:

a2=टी;

t²+ 4h²t - S_b ^2=0.

अब हम ज्ञात मानों को प्रतिस्थापित करते हैं और द्विघात समीकरण को हल करते हैं:

t2+ 196t - 11664=0.

टी 47, 8355.

हमने इस समीकरण के केवल सकारात्मक मूल को ही लिखा है। तब पिरामिड के आधार की भुजाएँ होंगी:

a=t=√47.8355 ≈ 6.916 सेमी.

एपोटेमा की लंबाई प्राप्त करने के लिए,बस सूत्र का प्रयोग करें:

एच_बी=√(एच² + ए²/4)=√(7 ²+ 6, 916^{2/4) 7, 808 देखें}

चेप्स पिरामिड की पार्श्व सतह

सबसे बड़े मिस्र के पिरामिड के लिए पार्श्व सतह क्षेत्र का मूल्य निर्धारित करें। यह ज्ञात है कि इसके आधार पर एक वर्ग है जिसकी लंबाई 230.363 मीटर है। संरचना की ऊंचाई मूल रूप से 146.5 मीटर थी। इन संख्याओं को S_{b के संगत सूत्र में प्रतिस्थापित करें, हमें प्राप्त होता है:}