गणित में, लघुगणक घातांकीय फलन का विलोम होता है। इसका मतलब यह है कि lg का लघुगणक वह शक्ति है जिसके परिणामस्वरूप x प्राप्त करने के लिए संख्या b को ऊपर उठाया जाना चाहिए। सरलतम स्थिति में, यह एक ही मान के बार-बार होने वाले गुणन को ध्यान में रखता है।
एक विशिष्ट उदाहरण पर विचार करें:
1000=10 × 10 × 10=103
इस मामले में, यह lg का आधार दस लघुगणक है। यह तीन के बराबर है।
एलजी101000=3
सामान्य तौर पर, एक्सप्रेशन इस तरह दिखेगा:
एलजीबीx=ए
घातांक किसी भी सकारात्मक वास्तविक संख्या को किसी भी वास्तविक मूल्य तक बढ़ाने की अनुमति देता है। परिणाम हमेशा शून्य से अधिक होगा। इसलिए, किन्हीं दो धनात्मक वास्तविक संख्याओं b और x के लिए लघुगणक, जहाँ b 1 के बराबर नहीं है, हमेशा एक अद्वितीय वास्तविक संख्या a होती है। इसके अलावा, यह घातांक और लघुगणक के बीच संबंध को परिभाषित करता है:
lgbx=a if ba=x.
इतिहास
लघुगणक (lg) का इतिहास सत्रहवीं शताब्दी में यूरोप में उत्पन्न हुआ। यह एक नई सुविधा का उद्घाटन हैबीजीय विधियों से परे विश्लेषण के दायरे का विस्तार किया। लॉगरिदम की विधि सार्वजनिक रूप से जॉन नेपियर द्वारा 1614 में मिरिफिसी लॉगरिथमोरम कैननिस डिस्क्रिप्टियो ("लॉगरिदम के उल्लेखनीय नियमों का विवरण") नामक पुस्तक में प्रस्तावित की गई थी। वैज्ञानिक के आविष्कार से पहले, इसी तरह के क्षेत्रों में अन्य तरीके भी थे, जैसे कि 1600 के आसपास जोस्ट बर्गगी द्वारा विकसित प्रगति तालिकाओं का उपयोग।
दशमलव लघुगणक lg आधार दस वाला लघुगणक है। पहली बार, वास्तविक लघुगणक का उपयोग अनुमानी के साथ गुणन को जोड़ में बदलने के लिए किया गया था, जिससे तेजी से गणना की सुविधा हुई। इनमें से कुछ विधियों में त्रिकोणमितीय सर्वसमिकाओं से प्राप्त तालिकाओं का उपयोग किया गया है।
अब लॉगरिदम (एलजी) के रूप में जाने जाने वाले फ़ंक्शन की खोज का श्रेय ग्रेगरी डी सेंट विंसेंट को दिया जाता है, जो प्राग में रहने वाले बेल्जियम के एक आयताकार हाइपरबोला को चतुर्भुज करने का प्रयास करते हैं।
उपयोग
गणित के बाहर अक्सर लघुगणक का उपयोग किया जाता है। इनमें से कुछ मामले स्केल इनवेरिएंस की धारणा से संबंधित हैं। उदाहरण के लिए, नॉटिलस शेल का प्रत्येक कक्ष एक निश्चित संख्या में अगले, कम या बढ़े हुए की एक अनुमानित प्रति है। इसे लघुगणकीय सर्पिल कहते हैं।
स्व-निर्मित ज्यामिति के आयाम, जिनके हिस्से अंतिम उत्पाद के समान दिखते हैं, वे भी लघुगणक पर आधारित होते हैं। लॉगरिदमिक स्केल सापेक्ष परिवर्तन को मापने के लिए उपयोगी होते हैंमूल्य। इसके अलावा, चूंकि फंक्शन लॉगbx बड़े x पर बहुत धीरे-धीरे बढ़ता है, बड़े पैमाने पर वैज्ञानिक डेटा को संपीड़ित करने के लिए लॉगरिदमिक स्केल का उपयोग किया जाता है। लॉगरिदम कई वैज्ञानिक फ़ार्मुलों जैसे फ़ेंस्के समीकरण या नर्नस्ट समीकरण में भी दिखाई देते हैं।
गणना
कुछ लघुगणक की गणना आसानी से की जा सकती है, उदाहरण के लिए लॉग101000=3. सामान्य तौर पर, उनकी गणना शक्ति श्रृंखला या अंकगणित-ज्यामितीय माध्य का उपयोग करके की जा सकती है, या इससे निकाला जा सकता है एक पूर्व-परिकलित तालिका लघुगणक, जिसमें उच्च सटीकता होती है।
समीकरणों को हल करने के लिए न्यूटन की पुनरावृत्त विधि का उपयोग लघुगणक का मान ज्ञात करने के लिए भी किया जा सकता है। चूंकि लॉगरिदमिक के लिए व्युत्क्रम कार्य घातीय है, इसलिए गणना प्रक्रिया बहुत सरल है।
