समुच्चय के उदाहरण पर संबंधों की एक विस्तृत श्रृंखला बड़ी संख्या में अवधारणाओं के साथ होती है, जो उनकी परिभाषाओं से शुरू होती है और विरोधाभासों के विश्लेषणात्मक विश्लेषण के साथ समाप्त होती है। सेट पर लेख में चर्चा की गई अवधारणा की विविधता अनंत है। हालाँकि, जब दोहरे प्रकारों की बात की जाती है, तो इसका अर्थ है कई मूल्यों के बीच द्विआधारी संबंध। और वस्तुओं या कथनों के बीच भी।
एक नियम के रूप में, द्विआधारी संबंधों को प्रतीक आर द्वारा निरूपित किया जाता है, अर्थात, यदि xRx किसी भी मान x के लिए क्षेत्र R से, ऐसी संपत्ति को रिफ्लेक्सिव कहा जाता है, जिसमें x और x विचार की वस्तुएँ स्वीकार की जाती हैं, और आर व्यक्तियों के बीच संबंध के अन्य रूप के संकेत के रूप में कार्य करता है। उसी समय, यदि आप xRy® या yRx व्यक्त करते हैं, तो यह समरूपता की स्थिति को इंगित करता है, जहां ® संघ के समान एक निहितार्थ संकेत है "अगर … तब …"। और, अंत में, डिकोडिंग शिलालेख (xRy Ùy Rz) ®xRz सकर्मक संबंध के बारे में बताता है, और चिन्ह Ù एक संयोजन है।
एक बाइनरी रिलेशन जो रिफ्लेक्सिव, सिमेट्रिक और ट्रांजिटिव दोनों है, एक तुल्यता संबंध कहलाता है। संबंध f एक फलन है, और समानता y=z f और f से अनुसरण करती है। एक साधारण बाइनरी फ़ंक्शन को आसानी से लागू किया जा सकता हैएक निश्चित क्रम में दो सरल तर्कों के लिए, और केवल इस मामले में यह एक विशेष मामले में लिए गए इन दो भावों को निर्देशित अर्थ प्रदान करता है।
यह कहा जाना चाहिए कि f x से y तक मैप करता है,
अगर f रेंज x और रेंज y वाला एक फंक्शन है। हालांकि, जब f x से y, और y z को एक्सट्रपोलेट करता है, तो यह f को z में x दिखाने का कारण बनता है। एक सरल उदाहरण: यदि f(x)=2x किसी भी पूर्णांक x के लिए सत्य है, तो f को सभी ज्ञात पूर्णांकों के हस्ताक्षरित सेट को समान पूर्णांकों के सेट पर मैप करने के लिए कहा जाता है, लेकिन इस बार भी संख्याएँ। जैसा कि ऊपर उल्लेख किया गया है, द्विआधारी संबंध जो रिफ्लेक्सिव, सममित और सकर्मक दोनों हैं, तुल्यता संबंध हैं।
उपरोक्त के आधार पर, बाइनरी संबंधों के तुल्यता संबंध गुणों द्वारा निर्धारित किए जाते हैं:
- रिफ्लेक्सिविटी - अनुपात (एम ~ एन);
- सममिति - यदि समानता M ~ N है, तो N ~ M होगा;
- ट्रांसिटिविटी - यदि दो समानताएं M ~ N और N ~ P, तो परिणामस्वरूप M ~ P.
आइए द्विआधारी संबंधों के घोषित गुणों पर अधिक विस्तार से विचार करें। रिफ्लेक्सिविटी कुछ कनेक्शनों की विशेषताओं में से एक है, जहां अध्ययन के तहत सेट का प्रत्येक तत्व अपने आप में एक समानता में है। उदाहरण के लिए, संख्याओं a=c और a³ c के बीच रिफ्लेक्टिव कनेक्शन होते हैं, क्योंकि हमेशा a=a, c=c, a³ a, c³ c होता है। साथ ही, असमानता a>c का संबंध अप्रतिवर्तनीय है क्योंकि असमानता a>a के अस्तित्व की असंभवता है। इस संपत्ति का स्वयंसिद्ध संकेतों द्वारा एन्कोड किया गया है: aRc®aRa cRc, यहाँ प्रतीक ® का अर्थ है "शामिल है" (या "निहित"), और चिन्ह Ù - संघ "और" (या संयोजन) है। इस कथन से यह निष्कर्ष निकलता है कि यदि निर्णय aRc सत्य है, तो व्यंजक aRa और cRc भी सत्य हैं।
समरूपता एक रिश्ते की उपस्थिति पर जोर देती है, भले ही मानसिक वस्तुओं का आदान-प्रदान हो, यानी एक सममित संबंध के साथ, वस्तुओं की पुनर्व्यवस्था से "द्विआधारी संबंध" प्रकार का परिवर्तन नहीं होता है। उदाहरण के लिए, संबंध c=a की तुल्यता के कारण समानता का संबंध a=c सममित है; प्रस्ताव a¹c भी वही है, क्योंकि यह a के साथ संबंध से मेल खाता है।
एक सकर्मक समुच्चय एक ऐसी संपत्ति है जो निम्नलिखित आवश्यकता को पूरा करती है: y н x, z н y ® z н x, जहां ® एक संकेत है जो शब्दों को प्रतिस्थापित करता है: "अगर …, तो …"। सूत्र मौखिक रूप से निम्नानुसार पढ़ा जाता है: "यदि y x पर निर्भर करता है, z y से संबंधित है, तो z भी x पर निर्भर करता है"।
