प्रतीकात्मक तर्क विज्ञान की एक शाखा है जो तर्क के सही रूपों का अध्ययन करती है। यह दर्शन, गणित और कंप्यूटर विज्ञान में एक मौलिक भूमिका निभाता है। दर्शन और गणित की तरह, तर्क की भी प्राचीन जड़ें हैं। सही तर्क की प्रकृति पर सबसे पहले के ग्रंथ 2,000 साल पहले लिखे गए थे। प्राचीन ग्रीस के कुछ सबसे प्रसिद्ध दार्शनिकों ने 2,300 साल पहले प्रतिधारण की प्रकृति के बारे में लिखा था। प्राचीन चीनी विचारक लगभग उसी समय तार्किक विरोधाभासों के बारे में लिख रहे थे। यद्यपि इसकी जड़ें बहुत पीछे जाती हैं, तर्क अभी भी अध्ययन का एक जीवंत क्षेत्र है।
गणितीय प्रतीकात्मक तर्क
आपको समझने और तर्क करने में भी सक्षम होने की आवश्यकता है, यही कारण है कि तार्किक निष्कर्षों पर विशेष ध्यान दिया गया था जब जीवन के विभिन्न क्षेत्रों के विश्लेषण और निदान के लिए कोई विशेष उपकरण नहीं था। आधुनिक प्रतीकात्मक तर्क महान यूनानी दार्शनिक और सभी समय के सबसे प्रभावशाली विचारकों में से एक, अरस्तू (384-322 ईसा पूर्व) के काम से उत्पन्न हुआ। आगे की सफलताएँ थींग्रीक स्टोइक दार्शनिक क्रिसिपस द्वारा, जिन्होंने अब हम प्रस्तावक तर्क कहलाते हैं, की नींव विकसित की।
गणितीय या प्रतीकात्मक तर्क को 19वीं शताब्दी में ही सक्रिय विकास प्राप्त हुआ। Boole, de Morgan, Schroeder की रचनाएँ सामने आईं, जिसमें वैज्ञानिकों ने अरस्तू की शिक्षाओं को बीजगणित किया, जिससे प्रस्तावक कलन का आधार बना। इसके बाद फ्रीज और प्रीस का काम आया, जिसमें चर और क्वांटिफायर की अवधारणाएं पेश की गईं, जो तर्क में लागू होने लगीं। इस प्रकार विधेय की गणना का गठन किया गया था - विषय के बारे में बयान।
तर्क ने निर्विवाद तथ्यों का प्रमाण निहित किया जब सत्य की कोई प्रत्यक्ष पुष्टि नहीं हुई थी। तार्किक भावों को वार्ताकार को सच्चाई के बारे में समझाना चाहिए था।
तार्किक सूत्र गणितीय प्रमाण के सिद्धांत पर बनाए गए थे। इसलिए उन्होंने वार्ताकारों को सटीकता और विश्वसनीयता के बारे में आश्वस्त किया।
हालांकि, सभी प्रकार के तर्क शब्दों में लिखे गए थे। कोई औपचारिक तंत्र नहीं था जो तार्किक कटौती कैलकुस बना सके। लोगों को संदेह होने लगा कि क्या वैज्ञानिक गणितीय गणनाओं के पीछे छिप रहे हैं, उनके पीछे उनके अनुमानों की बेरुखी छिपा रहे हैं, क्योंकि हर कोई अपने तर्क अलग-अलग पक्ष में प्रस्तुत कर सकता है।
अर्थपूर्णता का जन्म: सत्य के प्रमाण के रूप में गणित में ठोस तर्क
अठारहवीं शताब्दी के अंत में, गणितीय या प्रतीकात्मक तर्क एक विज्ञान के रूप में उभरा, जिसमें निष्कर्षों की शुद्धता का अध्ययन करने की प्रक्रिया शामिल थी। उनके पास एक तार्किक अंत और एक कनेक्शन होना चाहिए था। लेकिन यह कैसे साबित हुआया शोध डेटा को सही ठहराते हैं?
महान जर्मन दार्शनिक और गणितज्ञ गॉटफ्राइड लाइबनिज तार्किक तर्कों को औपचारिक रूप देने की आवश्यकता को महसूस करने वाले पहले लोगों में से एक थे। यह लाइबनिज़ का सपना था: विज्ञान की एक सार्वभौमिक औपचारिक भाषा बनाना जो सभी दार्शनिक विवादों को एक साधारण गणना में कम कर दे, इस भाषा में इस तरह की चर्चाओं में तर्क को फिर से काम करना। गणितीय या प्रतीकात्मक तर्क उन सूत्रों के रूप में प्रकट हुए जो दार्शनिक प्रश्नों में कार्यों और समाधानों की सुविधा प्रदान करते थे। हाँ, और विज्ञान का यह क्षेत्र और अधिक महत्वपूर्ण हो गया, क्योंकि तब अर्थहीन दार्शनिक बकवास वह तल बन गया जिस पर गणित स्वयं निर्भर करता है!
हमारे समय में, पारंपरिक तर्क प्रतीकात्मक अरिस्टोटेलियन है, जो सरल और सरल है। 19वीं शताब्दी में, विज्ञान को सेटों के विरोधाभास का सामना करना पड़ा, जिसने अरस्तू के तार्किक अनुक्रमों के उन बहुत प्रसिद्ध समाधानों में विसंगतियों को जन्म दिया। इस समस्या को हल करना पड़ा, क्योंकि विज्ञान में सतही त्रुटियाँ भी नहीं हो सकतीं।
लुईस कैरोल औपचारिकता - प्रतीकात्मक तर्क और उसके परिवर्तन कदम
औपचारिक तर्क अब एक ऐसा विषय है जो पाठ्यक्रम में शामिल है। हालाँकि, यह प्रतीकात्मक रूप से अपनी उपस्थिति का श्रेय देता है, जिसे मूल रूप से बनाया गया था। प्रतीकात्मक तर्क सामान्य भाषा के बजाय प्रतीकों और चरों का उपयोग करके तार्किक अभिव्यक्तियों का प्रतिनिधित्व करने की एक विधि है। यह रूसी जैसी आम भाषाओं के साथ आने वाली अस्पष्टता को समाप्त करता है और चीजों को आसान बनाता है।
प्रतीकात्मक तर्क की कई प्रणालियाँ हैं, जैसे:
- शास्त्रीय प्रस्ताव।
- प्रथम क्रम तर्क।
- मोडल।
लुईस कैरोल द्वारा समझे गए प्रतीकात्मक तर्क को पूछे गए प्रश्न में सही और गलत बयानों को इंगित करना होगा। प्रत्येक के अलग-अलग वर्ण हो सकते हैं या कुछ वर्णों के उपयोग को बाहर कर सकते हैं। यहां कथनों के कुछ उदाहरण दिए गए हैं जो निष्कर्षों की तार्किक श्रृंखला को बंद कर देते हैं:
- सभी लोग जो मेरे समान हैं, वे अस्तित्व में हैं।
- बैटमैन के समान सभी नायक अस्तित्व में रहने वाले प्राणी हैं।
- तो (चूंकि बैटमैन और मुझे एक ही जगह कभी नहीं देखा गया था), मेरे जैसे सभी लोग बैटमैन के समान नायक हैं।
यह एक मान्य रूप नपुंसकता नहीं है, लेकिन यह निम्नलिखित के समान संरचना है:
- सभी कुत्ते स्तनधारी होते हैं।
- सभी बिल्लियाँ स्तनधारी होती हैं।
- इसलिए सभी कुत्ते बिल्लियाँ हैं।
यह स्पष्ट होना चाहिए कि तर्क में उपरोक्त प्रतीकात्मक रूप मान्य नहीं है। हालांकि, तर्क में, न्याय को इस अभिव्यक्ति द्वारा परिभाषित किया गया है: यदि आधार सत्य था, तो निष्कर्ष सत्य होगा। यह स्पष्ट रूप से सच नहीं है। नायक के उदाहरण के लिए भी यही सच होगा, जिसका आकार समान है। वैधता केवल निगमनात्मक तर्कों पर लागू होती है जो निश्चित रूप से अपने निष्कर्ष को साबित करने के लिए होती हैं, क्योंकि एक निगमनात्मक तर्क मान्य नहीं हो सकता। ये "सुधार" आंकड़ों में भी लागू होते हैं जब डेटा त्रुटि का परिणाम होता है, और आधुनिक प्रतीकात्मक तर्क के रूप मेंसरलीकृत डेटा की औपचारिकता इनमें से कई मामलों में मदद करती है।
आधुनिक तर्क में प्रेरण
एक आगमनात्मक तर्क केवल उच्च संभावना या खंडन के साथ अपने निष्कर्ष को प्रदर्शित करने के लिए होता है। आगमनात्मक तर्क या तो मजबूत या कमजोर होते हैं।
आगमनात्मक तर्क के रूप में, सुपरहीरो बैटमैन का उदाहरण बस कमजोर है। यह संदिग्ध है कि बैटमैन मौजूद है, इसलिए उच्च संभावना के साथ एक कथन पहले से ही गलत है। हालाँकि आपने उसे कभी किसी और के समान स्थान पर नहीं देखा है, लेकिन इस अभिव्यक्ति को सबूत के रूप में लेना हास्यास्पद है। तर्क के सार को समझने के लिए, कल्पना करें:
- आपको गिनी के मूल निवासी के समान स्थान पर कभी नहीं देखा गया।
- यह असंभव है कि आप और गिनी के व्यक्ति एक ही व्यक्ति हैं।
- अब कल्पना कीजिए कि आप और एक अफ्रीकी एक ही जगह कभी नहीं मिले हैं। यह प्रशंसनीय नहीं है कि आप और एक अफ्रीकी एक ही व्यक्ति हैं। लेकिन गिनी और अफ़्रीकी ने रास्ते पार कर लिए, इसलिए आप दोनों एक ही समय में नहीं हो सकते। सबूत है कि आप अफ्रीकी हैं या गिनी काफी गिर गए हैं।
इस दृष्टिकोण से, प्रतीकात्मक तर्क के विचार का अर्थ गणित से प्राथमिक संबंध नहीं है। तर्क को एक प्रतीक के रूप में पहचानने के लिए केवल तार्किक संक्रियाओं का प्रतिनिधित्व करने के लिए प्रतीकों का व्यापक उपयोग आवश्यक है।
कैरोल का तार्किक सिद्धांत: गणितीय दर्शन में उलझाव या न्यूनतमवाद
कैरोल ने सीखे कुछ अनोखे तरीकेजिसने उन्हें अपने सहयोगियों के सामने आने वाली कठिन समस्याओं को हल करने के लिए मजबूर किया। इसने उन्हें अपने काम के परिणामस्वरूप प्राप्त तार्किक संकेतन और प्रणालियों की जटिलता के कारण महत्वपूर्ण प्रगति करने से रोका। कैरोल के प्रतीकात्मक तर्क का कारागार उन्मूलन की समस्या है। दिए गए पदों के बीच संबंध के संबंध में परिसर के एक समूह से निकाले जाने वाले निष्कर्ष को कैसे खोजें? "मध्यम पद" को हटाना।
उन्नीसवीं शताब्दी के मध्य में तर्क की इस केंद्रीय समस्या को हल करने के लिए प्रतीकात्मक, आरेखीय, यहां तक कि यांत्रिक उपकरणों का भी आविष्कार किया गया था। हालांकि, ऐसे "तार्किक अनुक्रम" (जैसा कि उन्होंने उन्हें कहा था) को संसाधित करने के लिए कैरोल के तरीके हमेशा सही समाधान नहीं देते थे। बाद में, दार्शनिक ने परिकल्पनाओं पर दो पत्र प्रकाशित किए, जो माइंड: द लॉजिकल पैराडॉक्स (1894) और व्हाट द टोर्टोइज़ सेड टू अकिलीज़ (1895) पत्रिका में परिलक्षित होते हैं।
इन पत्रों पर उन्नीसवीं और बीसवीं शताब्दी के तर्कशास्त्रियों (पियर्स, रसेल, राइल, प्रायर, क्विन, आदि) द्वारा व्यापक रूप से चर्चा की गई थी। पहले लेख को अक्सर भौतिक निहितार्थ विरोधाभासों के एक अच्छे उदाहरण के रूप में उद्धृत किया जाता है, जबकि दूसरे लेख को अनुमान विरोधाभास के रूप में जाना जाता है।
तर्क में प्रतीकों की सरलता
तर्क की प्रतीकात्मक भाषा लंबे अस्पष्ट वाक्यों का विकल्प है। सुविधाजनक, क्योंकि रूसी में आप अलग-अलग परिस्थितियों के बारे में एक ही बात कह सकते हैं, जिससे भ्रमित होना संभव हो जाएगा, और गणित में, प्रतीक प्रत्येक अर्थ की पहचान को बदल देंगे।
- पहला, दक्षता के लिए संक्षिप्तता महत्वपूर्ण है।प्रतीकात्मक तर्क संकेतों और पदनामों के बिना नहीं चल सकता, अन्यथा यह केवल दार्शनिक रह जाएगा, सही अर्थ के अधिकार के बिना।
- दूसरा, प्रतीक तार्किक सत्य को देखना और तैयार करना आसान बनाते हैं। आइटम 1 और 2 तार्किक सूत्रों के "बीजगणितीय" हेरफेर को प्रोत्साहित करते हैं।
- तीसरा, जब तर्क तार्किक सत्य व्यक्त करता है, प्रतीकात्मक सूत्रीकरण तर्क की संरचना के अध्ययन को प्रोत्साहित करता है। यह पिछले बिंदु से संबंधित है। इस प्रकार, प्रतीकात्मक तर्क तर्क के गणितीय अध्ययन के लिए उधार देता है, जो गणितीय तर्क के विषय की एक शाखा है।
- चौथा, उत्तर को दोहराते समय, प्रतीकों का उपयोग सामान्य भाषा की अस्पष्टता (जैसे, कई अर्थ) को रोकने में सहायता करता है। यह सुनिश्चित करने में भी मदद करता है कि अर्थ अद्वितीय है।
आखिरकार, तर्क की प्रतीकात्मक भाषा फ़्रीगे द्वारा पेश किए गए विधेय कलन की अनुमति देती है। वर्षों से, विधेय कलन के लिए प्रतीकात्मक संकेतन को ही परिष्कृत और अधिक कुशल बनाया गया है, क्योंकि गणित और तर्क में अच्छा अंकन महत्वपूर्ण है।
अरिस्टोटल की पुरातनता की ऑन्कोलॉजी
वैज्ञानिकों की उस समय विचारक के काम में दिलचस्पी हो गई जब उन्होंने अपनी व्याख्याओं में स्लिनिन के तरीकों का इस्तेमाल करना शुरू किया। पुस्तक शास्त्रीय और मोडल तर्क के सिद्धांतों को प्रस्तुत करती है। अवधारणा का एक महत्वपूर्ण हिस्सा प्रस्ताव के तर्क के सूत्र के प्रतीकात्मक तर्क में सीएनएफ में कमी थी। संक्षेप का अर्थ है चर का संयोजन या संयोजन।
Slinin Ya. A. ने सुझाव दिया कि जटिल निषेध, जिसके लिए सूत्रों की बार-बार कमी की आवश्यकता होती है, एक उप-सूत्र में बदल जाना चाहिए। इस प्रकार, उन्होंने कुछ मूल्यों को अधिक न्यूनतम में बदल दिया और एक संक्षिप्त संस्करण में समस्याओं को हल किया। नकार के साथ काम करना डी मॉर्गन के फॉर्मूले में सिमट गया था। डी मॉर्गन के नाम को धारण करने वाले कानून संबंधित प्रमेयों की एक जोड़ी हैं जो कथनों और सूत्रों को वैकल्पिक और अक्सर अधिक सुविधाजनक में बदलना संभव बनाते हैं। कानून इस प्रकार हैं:
- वियोजन का निषेधन (या असंगति) विकल्पों के निषेधन के मिलन के बराबर है - p या q, p के बराबर नहीं है और q या प्रतीकात्मक रूप से नहीं ~ (p q) ≡ ~p ~q।
- संयोजन का निषेध मूल संयोजनों के निषेध के विघटन के बराबर है, अर्थात नहीं (p और q) बराबर नहीं है p या नहीं q, या प्रतीकात्मक रूप से ~ (p q) ≡ ~p ~क्यू.
इन प्रारंभिक आंकड़ों के लिए धन्यवाद, कई गणितज्ञों ने जटिल तार्किक समस्याओं को हल करने के लिए सूत्र लागू करना शुरू किया। बहुत से लोग जानते हैं कि व्याख्यान का एक कोर्स होता है जहां कार्यों के चौराहे के क्षेत्र का अध्ययन किया जाता है। और मैट्रिक्स व्याख्या भी तर्क सूत्रों पर आधारित है। बीजीय संबंध में तर्क का सार क्या है? यह एक स्तर रेखीय कार्य है, जब आप संख्याओं और दर्शनशास्त्र के विज्ञान को एक ही कटोरे पर एक "आत्माहीन" और तर्क के लाभदायक क्षेत्र के रूप में नहीं रख सकते हैं। हालांकि ई. कांत एक गणितज्ञ और दार्शनिक होने के नाते अन्यथा सोचते थे। उन्होंने कहा कि दर्शन तब तक कुछ भी नहीं है जब तक कि अन्यथा सिद्ध न हो जाए। और सबूत वैज्ञानिक रूप से सही होने चाहिए। और इसलिए हुआ कि दर्शन का महत्व होने लगासंख्याओं और गणनाओं की वास्तविक प्रकृति से मेल खाना।
विज्ञान में तर्क का अनुप्रयोग और वास्तविकता की भौतिक दुनिया
दार्शनिक आमतौर पर तार्किक तर्क के विज्ञान को केवल कुछ महत्वाकांक्षी पोस्ट-डिग्री प्रोजेक्ट पर लागू नहीं करते हैं (आमतौर पर उच्च स्तर की विशेषज्ञता के साथ, जैसे कि सामाजिक विज्ञान, मनोविज्ञान, या नैतिक वर्गीकरण को जोड़ना)। यह विरोधाभासी है कि दार्शनिक विज्ञान ने सत्य और असत्य की गणना की विधि को "जन्म दिया", लेकिन दार्शनिक स्वयं इसका उपयोग नहीं करते हैं। तो ऐसे स्पष्ट गणितीय न्यायशास्त्र किसके लिए बनाए और बदले गए हैं?
- प्रोग्रामर और इंजीनियरों ने कंप्यूटर प्रोग्राम और यहां तक कि डिजाइन बोर्डों को लागू करने के लिए प्रतीकात्मक तर्क (जो मूल से इतना अलग नहीं है) का इस्तेमाल किया।
- कंप्यूटर के मामले में, तर्क कई फ़ंक्शन कॉलों को संभालने के साथ-साथ गणित को आगे बढ़ाने और गणितीय समस्याओं को हल करने के लिए काफी जटिल हो गया है। इसका अधिकांश भाग गणितीय समस्या समाधान और संभाव्यता के ज्ञान पर आधारित है जो उन्मूलन, विस्तार और न्यूनीकरण के तार्किक नियमों के साथ संयुक्त है।
- गणित के ज्ञान की सीमा के भीतर तार्किक रूप से काम करने और यहां तक कि विशेष कार्य करने के लिए कंप्यूटर भाषाओं को आसानी से नहीं समझा जा सकता है। अधिकांश कंप्यूटर भाषा शायद केवल कंप्यूटर द्वारा पेटेंट या समझी जाती है। प्रोग्रामर अब अक्सर कंप्यूटर को तार्किक कार्य करने देते हैं और उन्हें हल करने देते हैं।
ऐसी पूर्वापेक्षाओं के दौरान, कई वैज्ञानिक उन्नत सामग्री के निर्माण को विज्ञान के लिए नहीं, बल्कि विज्ञान के लिए मानते हैंमीडिया और प्रौद्योगिकी के उपयोग में आसानी। शायद जल्द ही तर्क अर्थशास्त्र, व्यापार और यहां तक कि "दो-मुंह" क्वांटम के क्षेत्रों में रिस जाएगा, जो एक परमाणु की तरह और एक लहर की तरह व्यवहार करता है।
गणितीय विश्लेषण के आधुनिक अभ्यास में क्वांटम तर्क
क्वांटम तर्क (क्यूएल) को एक प्रस्तावक संरचना बनाने के प्रयास के रूप में विकसित किया गया था जो क्वांटम यांत्रिकी (क्यूएम) में दिलचस्प घटनाओं का वर्णन करने की अनुमति देगा। क्यूएल ने बूलियन संरचना को बदल दिया, जो परमाणु क्षेत्र का प्रतिनिधित्व करने के लिए पर्याप्त नहीं था, हालांकि यह शास्त्रीय भौतिकी के प्रवचन के लिए उपयुक्त है।
शास्त्रीय प्रणालियों के बारे में एक प्रस्तावक भाषा की गणितीय संरचना शक्तियों का एक समूह है, जो आंशिक रूप से समावेशन सेट द्वारा आदेशित है, जिसमें संघ और विघटन का प्रतिनिधित्व करने वाले संचालन की एक जोड़ी है।
यह बीजगणित शास्त्रीय और सापेक्षवादी दोनों घटनाओं के प्रवचन के अनुरूप है, लेकिन एक ऐसे सिद्धांत में असंगत है जो मना करता है, उदाहरण के लिए, एक साथ सत्य मान देना। क्यूएल के संस्थापक पिता का प्रस्ताव शास्त्रीय तर्क की बूलियन संरचना को कमजोर संरचना के साथ बदलने के लिए बनाया गया था जो संयोजन और विघटन के वितरण गुणों को कमजोर कर देगा।
स्थापित प्रतीकात्मक पैठ का कमजोर होना: क्या एक सटीक विज्ञान के रूप में गणित में सत्य की वास्तव में आवश्यकता है
अपने विकास के दौरान, क्वांटम तर्क न केवल पारंपरिक, बल्कि आधुनिक अनुसंधान के कई क्षेत्रों को भी संदर्भित करने लगा, जिन्होंने यांत्रिकी को तार्किक दृष्टिकोण से समझने की कोशिश की। विभिन्नक्वांटम यांत्रिकी के साहित्य में चर्चा की गई विभिन्न रणनीतियों और समस्याओं को पेश करने के लिए क्वांटम दृष्टिकोण। जब भी संभव हो, संबंधित गणित को प्राप्त करने या शुरू करने से पहले अवधारणाओं की सहज समझ देने के लिए अनावश्यक सूत्रों को समाप्त कर दिया जाता है।
क्वांटम यांत्रिकी की व्याख्या में एक बारहमासी प्रश्न यह है कि क्या क्वांटम यांत्रिक घटना के लिए मौलिक रूप से शास्त्रीय स्पष्टीकरण उपलब्ध हैं। क्वांटम तर्क ने इस चर्चा को आकार देने और परिष्कृत करने में एक बड़ी भूमिका निभाई है, विशेष रूप से हमें शास्त्रीय व्याख्या से हमारा क्या मतलब है इसके बारे में काफी सटीक होने की इजाजत देता है। अब सटीकता के साथ यह स्थापित करना संभव है कि किन सिद्धांतों को विश्वसनीय माना जा सकता है, और कौन से गणितीय निर्णयों का तार्किक निष्कर्ष है।
