यादृच्छिक चर और उनके चर के वितरण कार्यों को खोजने के लिए, ज्ञान के इस क्षेत्र की सभी विशेषताओं का अध्ययन करना आवश्यक है। विचाराधीन मूल्यों को खोजने के लिए कई अलग-अलग तरीके हैं, जिसमें एक चर बदलना और एक पल उत्पन्न करना शामिल है। वितरण एक अवधारणा है जो फैलाव, विविधता जैसे तत्वों पर आधारित है। हालांकि, वे केवल प्रकीर्णन आयाम की डिग्री की विशेषता रखते हैं।
यादृच्छिक चर के अधिक महत्वपूर्ण कार्य वे हैं जो संबंधित और स्वतंत्र हैं, और समान रूप से वितरित हैं। उदाहरण के लिए, यदि X1 एक पुरुष आबादी में से एक यादृच्छिक रूप से चयनित व्यक्ति का वजन है, X2 दूसरे का वजन है, … और Xn पुरुष आबादी में से एक और व्यक्ति का वजन है, तो हमें यह जानने की जरूरत है कि यादृच्छिक कार्य कैसे होता है एक्स वितरित किया जाता है। इस मामले में, केंद्रीय सीमा प्रमेय नामक शास्त्रीय प्रमेय लागू होता है। यह आपको यह दिखाने की अनुमति देता है कि बड़े n के लिए फ़ंक्शन मानक वितरण का अनुसरण करता है।
एक यादृच्छिक चर के कार्य
केंद्रीय सीमा प्रमेय द्विपद और पॉइसन जैसे विचाराधीन असतत मूल्यों का अनुमान लगाने के लिए है।यादृच्छिक चर के वितरण कार्यों को सबसे पहले, एक चर के सरल मूल्यों पर माना जाता है। उदाहरण के लिए, यदि X एक सतत यादृच्छिक चर है जिसका अपना संभाव्यता वितरण है। इस मामले में, हम दो अलग-अलग तरीकों, अर्थात् वितरण फ़ंक्शन विधि और चर में परिवर्तन का उपयोग करके वाई के घनत्व फ़ंक्शन को खोजने का तरीका तलाशते हैं। सबसे पहले, केवल एक-से-एक मूल्यों पर विचार किया जाता है। फिर आपको इसकी संभावना खोजने के लिए चर को बदलने की तकनीक को संशोधित करने की आवश्यकता है। अंत में, हमें यह सीखने की जरूरत है कि व्युत्क्रम संचयी वितरण फ़ंक्शन कुछ अनुक्रमिक पैटर्न का पालन करने वाले यादृच्छिक संख्याओं को मॉडल करने में कैसे मदद कर सकता है।
माना गया मूल्यों के वितरण की विधि
यादृच्छिक चर के प्रायिकता बंटन फलन की विधि उसका घनत्व ज्ञात करने के लिए लागू होती है। इस पद्धति का उपयोग करते समय, संचयी मूल्य की गणना की जाती है। फिर, इसे विभेदित करके, आप संभाव्यता घनत्व प्राप्त कर सकते हैं। अब जबकि हमारे पास वितरण फलन विधि है, हम कुछ और उदाहरण देख सकते हैं। मान लीजिए X एक निश्चित प्रायिकता घनत्व वाला एक सतत यादृच्छिक चर है।
x2 का प्रायिकता घनत्व फलन क्या है? यदि आप फ़ंक्शन (शीर्ष और दाएं) y \u003d x2 को देखते हैं या ग्राफ़ करते हैं, तो आप ध्यान दे सकते हैं कि यह एक बढ़ता हुआ X और 0 <y<1 है। अब आपको वाई को खोजने के लिए विचार की गई विधि का उपयोग करने की आवश्यकता है। सबसे पहले, संचयी वितरण फ़ंक्शन पाया जाता है, आपको संभाव्यता घनत्व प्राप्त करने के लिए बस अंतर करने की आवश्यकता होती है। ऐसा करने पर, हमें मिलता है: 0<y<1।Y को खोजने के लिए वितरण पद्धति को सफलतापूर्वक लागू किया गया है जब Y, X का एक बढ़ता हुआ कार्य है। वैसे, f(y) 1 ओवर y में एकीकृत होता है।
पिछले उदाहरण में, एक्स या वाई के साथ संचयी कार्यों और संभाव्यता घनत्व को अनुक्रमित करने के लिए बहुत सावधानी बरती गई थी ताकि यह इंगित किया जा सके कि वे किस यादृच्छिक चर से संबंधित थे। उदाहरण के लिए, Y का संचयी वितरण फलन ज्ञात करते समय, हमें X मिला। यदि आपको एक यादृच्छिक चर X और उसका घनत्व ज्ञात करना है, तो आपको बस इसे अलग करना होगा।
परिवर्तनीय परिवर्तन तकनीक
मान लें कि X एक सतत यादृच्छिक चर है जो एक सामान्य भाजक f (x) वाले वितरण फलन द्वारा दिया गया है। इस स्थिति में, यदि आप y का मान X=v (Y) में रखते हैं, तो आपको x का मान प्राप्त होता है, उदाहरण के लिए v (y)। अब, हमें एक सतत यादृच्छिक चर Y का वितरण फलन प्राप्त करने की आवश्यकता है। जहाँ पहली और दूसरी समानता संचयी Y की परिभाषा से होती है। तीसरी समानता इसलिए होती है क्योंकि फ़ंक्शन का वह भाग जिसके लिए u (X) y है यह भी सच है कि एक्स वी (वाई)। और अंतिम एक निरंतर यादृच्छिक चर X में प्रायिकता निर्धारित करने के लिए किया जाता है। अब हमें प्रायिकता घनत्व Y प्राप्त करने के लिए, Y के संचयी वितरण फ़ंक्शन FY (y) का व्युत्पन्न लेने की आवश्यकता है।
कम करने के कार्य के लिए सामान्यीकरण
मान लें कि X एक सतत यादृच्छिक चर है जिसमें सामान्य f (x) c1<x<c2 पर परिभाषित है। और माना Y=u (X) X का घटता हुआ फलन है जिसका प्रतिलोम X=v (Y) है। चूँकि फलन निरंतर और घट रहा है, एक प्रतिलोम फलन X=v (Y) है।
इस समस्या को हल करने के लिए, आप मात्रात्मक डेटा एकत्र कर सकते हैं और अनुभवजन्य संचयी वितरण फ़ंक्शन का उपयोग कर सकते हैं। इस जानकारी के साथ और इसे आकर्षक बनाने के लिए, आपको माध्य नमूने, मानक विचलन, मीडिया डेटा आदि को संयोजित करने की आवश्यकता है।
इसी तरह, काफी सरल संभाव्य मॉडल में भी बड़ी संख्या में परिणाम हो सकते हैं। उदाहरण के लिए, यदि आप एक सिक्के को 332 बार पलटते हैं। फिर फ़्लिप से प्राप्त परिणामों की संख्या Google (10100) से अधिक है - एक संख्या, लेकिन ज्ञात ब्रह्मांड में प्राथमिक कणों की तुलना में कम से कम 100 क्विंटल गुना अधिक नहीं है। ऐसे विश्लेषण में दिलचस्पी नहीं है जो हर संभावित परिणाम का उत्तर देता हो। एक सरल अवधारणा की आवश्यकता होगी, जैसे कि सिर की संख्या, या पूंछ का सबसे लंबा स्ट्रोक। रुचि के मुद्दों पर ध्यान केंद्रित करने के लिए, एक विशिष्ट परिणाम स्वीकार किया जाता है। इस मामले में परिभाषा इस प्रकार है: एक यादृच्छिक चर एक संभाव्यता स्थान के साथ एक वास्तविक कार्य है।
यादृच्छिक चर के रेंज S को कभी-कभी स्टेट स्पेस कहा जाता है। इस प्रकार, यदि X विचाराधीन मान है, तो इसलिए N=X2, exp X, X2 + 1, tan2 X, bXc, इत्यादि। इनमें से अंतिम, X को निकटतम पूर्ण संख्या में पूर्णांकित करना, फ़्लोर फ़ंक्शन कहलाता है।
वितरण कार्य
एक बार यादृच्छिक चर x के लिए ब्याज का वितरण कार्य निर्धारित हो जाने के बाद, प्रश्न आमतौर पर बन जाता है: "क्या संभावना है कि X, B मानों के किसी उपसमुच्चय में आता है?"। उदाहरण के लिए, बी={विषम संख्या}, बी={1 से अधिक}, या बी={2 और 7 के बीच} उन परिणामों को इंगित करने के लिए जिनमें एक्स है, मानयादृच्छिक चर, उपसमुच्चय A में। इस प्रकार, उपरोक्त उदाहरण में, आप घटनाओं का वर्णन इस प्रकार कर सकते हैं।
{X एक विषम संख्या है}, {X 1 से बड़ा है}={X> 1}, {X 2 और 7 के बीच है}={2 <X <7} उपसमुच्चय B के लिए उपरोक्त तीन विकल्पों का मिलान करने के लिए। यादृच्छिक मात्राओं के कई गुण किसी विशेष X से संबंधित नहीं होते हैं। बल्कि, वे इस बात पर निर्भर करते हैं कि X अपने मूल्यों को कैसे आवंटित करता है। यह एक परिभाषा की ओर ले जाता है जो इस तरह लगता है: एक यादृच्छिक चर x का वितरण कार्य संचयी है और मात्रात्मक अवलोकन द्वारा निर्धारित किया जाता है।
यादृच्छिक चर और वितरण कार्य
इस प्रकार, आप इस संभावना की गणना कर सकते हैं कि यादृच्छिक चर x का वितरण फ़ंक्शन घटाव द्वारा अंतराल में मान लेगा। समापन बिंदुओं को शामिल करने या छोड़ने के बारे में सोचें।
हम एक यादृच्छिक चर असतत कहेंगे यदि इसमें एक परिमित या गणनीय रूप से अनंत राज्य स्थान है। इस प्रकार, एक्स एक पक्षपाती सिक्के के तीन स्वतंत्र फ़्लिप पर शीर्षों की संख्या है जो संभावना पी के साथ ऊपर जाती है। हमें X के लिए असतत यादृच्छिक चर FX के संचयी वितरण फलन को खोजने की आवश्यकता है। मान लें कि X तीन कार्डों के संग्रह में चोटियों की संख्या है। फिर Y=X3 FX से होकर। FX 0 से शुरू होता है, 1 पर समाप्त होता है और x मान बढ़ने पर घटता नहीं है। एक असतत यादृच्छिक चर X का संचयी FX वितरण फलन कूद को छोड़कर स्थिर है। कूदते समय एफएक्स निरंतर होता है। सही के बारे में कथन साबित करेंप्रायिकता गुण से वितरण फलन की निरंतरता परिभाषा का उपयोग करके संभव है। यह इस तरह लगता है: एक स्थिर यादृच्छिक चर में एक संचयी FX होता है जो अलग-अलग होता है।
यह दिखाने के लिए कि यह कैसे हो सकता है, हम एक उदाहरण दे सकते हैं: एक इकाई त्रिज्या वाला लक्ष्य। संभवतः। डार्ट समान रूप से निर्दिष्ट क्षेत्र में वितरित किया जाता है। कुछ > 0 के लिए। इस प्रकार, निरंतर यादृच्छिक चर के वितरण कार्य सुचारू रूप से बढ़ते हैं। FX में वितरण फ़ंक्शन के गुण हैं।
एक आदमी बस स्टॉप पर बस के आने तक इंतजार करता है। अपने लिए तय किया कि 20 मिनट तक प्रतीक्षा करने पर वह मना कर देगा। यहां टी के लिए संचयी वितरण फ़ंक्शन ढूंढना आवश्यक है। वह समय जब कोई व्यक्ति बस स्टेशन पर रहेगा या नहीं छोड़ेगा। इस तथ्य के बावजूद कि प्रत्येक यादृच्छिक चर के लिए संचयी वितरण फ़ंक्शन परिभाषित किया गया है। सभी समान, अन्य विशेषताओं का अक्सर उपयोग किया जाएगा: एक असतत चर के लिए द्रव्यमान और एक यादृच्छिक चर का वितरण घनत्व कार्य। आमतौर पर मान इन दो मानों में से किसी एक के माध्यम से आउटपुट होता है।
सामूहिक समारोह
इन मूल्यों को निम्नलिखित गुणों द्वारा माना जाता है, जिनमें एक सामान्य (द्रव्यमान) वर्ण होता है। पहला इस तथ्य पर आधारित है कि संभावनाएं नकारात्मक नहीं हैं। दूसरा इस अवलोकन से अनुसरण करता है कि सभी x=2S के लिए सेट, X के लिए राज्य स्थान, X की संभाव्य स्वतंत्रता का एक विभाजन बनाता है। उदाहरण: एक पक्षपाती सिक्के को उछालना जिसके परिणाम स्वतंत्र हैं। आप करते रह सकते हैंकुछ क्रियाएँ जब तक आपको सिर का रोल नहीं मिल जाता। मान लीजिए X एक यादृच्छिक चर को दर्शाता है जो पहले शीर्ष के सामने पटों की संख्या देता है। और p किसी भी क्रिया में प्रायिकता को दर्शाता है।
तो, द्रव्यमान संभाव्यता फ़ंक्शन में निम्नलिखित विशिष्ट विशेषताएं हैं। चूँकि पद एक संख्यात्मक अनुक्रम बनाते हैं, X को एक ज्यामितीय यादृच्छिक चर कहा जाता है। ज्यामितीय योजना c, करोड़, करोड़,.,,, crn का योग है। और, इसलिए, sn की सीमा n 1 है। इस मामले में, अनंत योग सीमा है।
उपरोक्त द्रव्यमान फलन एक अनुपात के साथ एक ज्यामितीय अनुक्रम बनाता है। अतः प्राकृत संख्याएँ a और b। डिस्ट्रीब्यूशन फंक्शन में वैल्यूज का अंतर मास फंक्शन के वैल्यू के बराबर होता है।
विचाराधीन घनत्व मूल्यों की एक परिभाषा है: X एक यादृच्छिक चर है जिसका FX वितरण एक व्युत्पन्न है। FX संतोषजनक Z xFX (x)=fX (t) dt-1 को प्रायिकता घनत्व फलन कहा जाता है। और X को एक सतत यादृच्छिक चर कहा जाता है। कलन के मौलिक प्रमेय में, घनत्व फलन वितरण का व्युत्पन्न है। आप निश्चित समाकलों की गणना करके प्रायिकताओं की गणना कर सकते हैं।
चूंकि डेटा कई अवलोकनों से एकत्र किया जाता है, इसलिए प्रयोगात्मक प्रक्रियाओं को मॉडल करने के लिए एक समय में एक से अधिक यादृच्छिक चर पर विचार किया जाना चाहिए। इसलिए, इन मानों के सेट और दो चर X1 और X2 के लिए उनके संयुक्त वितरण का अर्थ है घटनाओं को देखना। असतत यादृच्छिक चर के लिए, संयुक्त संभाव्य द्रव्यमान कार्यों को परिभाषित किया गया है। निरंतर के लिए, fX1, X2 माना जाता है, जहांसंयुक्त संभाव्यता घनत्व संतुष्ट है।
स्वतंत्र यादृच्छिक चर
दो यादृच्छिक चर X1 और X2 स्वतंत्र हैं यदि उनसे जुड़ी कोई दो घटनाएँ समान हैं। शब्दों में, दो घटनाएँ {X1 2 B1} और {X2 2 B2} एक ही समय में घटित होने की प्रायिकता y, उपरोक्त चरों के गुणनफल के बराबर है, कि उनमें से प्रत्येक व्यक्तिगत रूप से घटित होती है। स्वतंत्र असतत यादृच्छिक चर के लिए, एक संयुक्त संभाव्य द्रव्यमान फलन होता है, जो सीमित आयन आयतन का गुणनफल होता है। निरंतर यादृच्छिक चर के लिए जो स्वतंत्र हैं, संयुक्त संभाव्यता घनत्व फ़ंक्शन सीमांत घनत्व मानों का उत्पाद है। अंत में, हम n स्वतंत्र प्रेक्षणों x1, x2, पर विचार करते हैं।,,, xn अज्ञात घनत्व या द्रव्यमान फलन f से उत्पन्न होता है। उदाहरण के लिए, एक बस के प्रतीक्षा समय का वर्णन करने वाले घातीय यादृच्छिक चर के लिए फ़ंक्शन में एक अज्ञात पैरामीटर।
यादृच्छिक चर की नकल
इस सैद्धांतिक क्षेत्र का मुख्य लक्ष्य ठोस सांख्यिकीय विज्ञान सिद्धांतों के आधार पर अनुमान प्रक्रियाओं को विकसित करने के लिए आवश्यक उपकरण प्रदान करना है। इस प्रकार, सॉफ़्टवेयर के लिए एक बहुत ही महत्वपूर्ण उपयोग मामला वास्तविक जानकारी की नकल करने के लिए छद्म डेटा उत्पन्न करने की क्षमता है। यह वास्तविक डेटाबेस में उनका उपयोग करने से पहले विश्लेषण विधियों का परीक्षण और सुधार करना संभव बनाता है। डेटा के गुणों का पता लगाने के लिए यह आवश्यक हैमॉडलिंग। यादृच्छिक चर के कई सामान्य रूप से उपयोग किए जाने वाले परिवारों के लिए, आर उन्हें उत्पन्न करने के लिए आदेश प्रदान करता है। अन्य परिस्थितियों के लिए, एक सामान्य वितरण वाले स्वतंत्र यादृच्छिक चर के अनुक्रम को मॉडलिंग करने के तरीकों की आवश्यकता होगी।
असतत यादृच्छिक चर और कमांड पैटर्न। नमूना आदेश का उपयोग सरल और स्तरीकृत यादृच्छिक नमूने बनाने के लिए किया जाता है। नतीजतन, यदि एक अनुक्रम x इनपुट है, तो नमूना (x, 40) x से 40 रिकॉर्ड का चयन करता है ताकि आकार 40 के सभी विकल्पों की संभावना समान हो। यह प्रतिस्थापन के बिना लाने के लिए डिफ़ॉल्ट आर कमांड का उपयोग करता है। असतत यादृच्छिक चर के मॉडल के लिए भी इस्तेमाल किया जा सकता है। ऐसा करने के लिए, आपको वेक्टर x और द्रव्यमान फलन f में एक राज्य स्थान प्रदान करने की आवश्यकता है। प्रतिस्थापित करने के लिए कॉल=TRUE इंगित करता है कि प्रतिस्थापन के साथ नमूनाकरण होता है। फिर, n स्वतंत्र यादृच्छिक चरों का एक नमूना देने के लिए जिनका एक सामान्य द्रव्यमान फलन f है, नमूना (x, n, replace=TRUE, prob=f) का उपयोग किया जाता है।
निर्धारित किया गया कि 1 सबसे छोटा मान है और 4 सबसे बड़ा है। यदि आदेश prob=f छोड़ दिया जाता है, तो नमूना वेक्टर x में मानों से समान रूप से नमूना लेगा। आप दोहरे बराबर चिह्न,==को देखकर डेटा उत्पन्न करने वाले द्रव्यमान फ़ंक्शन के विरुद्ध सिमुलेशन की जांच कर सकते हैं। और उन प्रेक्षणों की पुनर्गणना करना जो x के लिए हर संभव मान लेते हैं। आप एक टेबल बना सकते हैं। इसे 1000 के लिए दोहराएं और अनुकरण की तुलना संबंधित द्रव्यमान फलन से करें।
संभाव्यता परिवर्तन का चित्रण
पहलायादृच्छिक चर u1, u2, के समांगी वितरण फलन का अनुकरण करें। अंतराल पर [0, 1]। लगभग 10% संख्याएँ [0, 3, 0, 4] के भीतर होनी चाहिए। यह दिखाए गए एफएक्स वितरण फ़ंक्शन के साथ यादृच्छिक चर के लिए अंतराल [0, 28, 0, 38] पर सिमुलेशन के 10% से मेल खाता है। इसी तरह, यादृच्छिक संख्याओं का लगभग 10% अंतराल [0, 7, 0, 8] में होना चाहिए। यह वितरण फ़ंक्शन FX के साथ यादृच्छिक चर के अंतराल [0, 96, 1, 51] पर 10% सिमुलेशन से मेल खाती है। x अक्ष पर ये मान FX से व्युत्क्रम लेकर प्राप्त किए जा सकते हैं। यदि X अपने डोमेन में हर जगह घनत्व fX सकारात्मक के साथ एक सतत यादृच्छिक चर है, तो वितरण फ़ंक्शन सख्ती से बढ़ रहा है। इस मामले में, FX में एक व्युत्क्रम FX-1 फ़ंक्शन होता है जिसे क्वांटाइल फ़ंक्शन के रूप में जाना जाता है। एफएक्स (एक्स) यू केवल जब एक्स एफएक्स -1 (यू)। यादृच्छिक चर यू=एफएक्स (एक्स) के विश्लेषण से संभाव्यता परिवर्तन होता है।
FX की रेंज 0 से 1 है। यह 0 से नीचे या 1 से ऊपर नहीं हो सकता है। 0 और 1 के बीच u के मानों के लिए। यदि U का अनुकरण किया जा सकता है, तो FX वितरण के साथ एक यादृच्छिक चर होना चाहिए। क्वांटाइल फ़ंक्शन के माध्यम से सिम्युलेटेड। अवकलज को यह देखने के लिए लें कि घनत्व u 1 के भीतर बदलता रहता है। चूंकि यादृच्छिक चर U के संभावित मानों के अंतराल पर एक स्थिर घनत्व होता है, इसलिए इसे अंतराल [0, 1] पर एकसमान कहा जाता है। इसे रनिफ कमांड के साथ R में तैयार किया गया है। पहचान को एक संभाव्य परिवर्तन कहा जाता है। आप देख सकते हैं कि यह डार्ट बोर्ड उदाहरण में कैसे काम करता है। एक्स 0 और 1 के बीच, फ़ंक्शनवितरण u=FX (x)=x2, और इसलिए मात्रात्मक फलन x=FX-1 (u)। डार्ट पैनल के केंद्र से दूरी के स्वतंत्र अवलोकनों को मॉडल करना संभव है, और इस प्रकार एक समान यादृच्छिक चर U1, U2, ।,, अन. वितरण समारोह और अनुभवजन्य कार्य डार्ट बोर्ड के वितरण के 100 सिमुलेशन पर आधारित हैं। एक घातांकीय यादृच्छिक चर के लिए, संभवतः u=FX (x)=1 - exp (- x), और इसलिए x=- 1 ln (1 - u)। कभी-कभी तर्क में समान कथन होते हैं। इस मामले में, आपको तर्क के दो हिस्सों को जोड़ना होगा। प्रतिच्छेदन पहचान कुछ मान के बजाय सभी 2 {S i i} S के लिए समान है। संघ सीआई राज्य अंतरिक्ष एस के बराबर है और प्रत्येक जोड़ी परस्पर अनन्य है। चूँकि Bi - को तीन अभिगृहीतों में विभाजित किया गया है। प्रत्येक चेक संबंधित प्रायिकता P पर आधारित होता है। किसी उपसमुच्चय के लिए। यह सुनिश्चित करने के लिए एक पहचान का उपयोग करना कि उत्तर इस बात पर निर्भर नहीं करता है कि अंतराल समापन बिंदु शामिल हैं या नहीं।
घातीय कार्य और इसके चर
सभी घटनाओं में प्रत्येक परिणाम के लिए, संभावनाओं की निरंतरता की दूसरी संपत्ति का अंततः उपयोग किया जाता है, जिसे स्वयंसिद्ध माना जाता है। यहाँ एक यादृच्छिक चर के फलन के वितरण का नियम दर्शाता है कि प्रत्येक का अपना समाधान और उत्तर है।
