गणित एक जटिल विज्ञान है। इसका अध्ययन करते हुए, किसी को न केवल उदाहरणों और समस्याओं को हल करना है, बल्कि विभिन्न आकृतियों और यहां तक कि विमानों के साथ भी काम करना है। गणित में सबसे अधिक उपयोग में से एक विमान पर समन्वय प्रणाली है। बच्चों को सिखाया गया है कि एक वर्ष से अधिक समय से इसके साथ सही तरीके से कैसे काम किया जाए। इसलिए, यह जानना महत्वपूर्ण है कि यह क्या है और इसके साथ सही तरीके से कैसे काम करना है।
आइए जानें कि यह प्रणाली क्या है, आप इसके साथ क्या कार्य कर सकते हैं, और इसकी मुख्य विशेषताओं और विशेषताओं का भी पता लगा सकते हैं।
अवधारणा की परिभाषा
कोऑर्डिनेट प्लेन एक ऐसा प्लेन होता है जिस पर एक निश्चित कोऑर्डिनेट सिस्टम सेट होता है। इस तरह के एक विमान को दो सीधी रेखाओं द्वारा एक समकोण पर प्रतिच्छेद करने से परिभाषित किया जाता है। इन रेखाओं का प्रतिच्छेदन बिंदु निर्देशांकों का उद्गम है। निर्देशांक तल पर प्रत्येक बिंदु संख्याओं के एक युग्म द्वारा दिया जाता है, जिन्हें निर्देशांक कहा जाता है।
स्कूली गणित के पाठ्यक्रम में स्कूली बच्चों को समन्वय प्रणाली के साथ काफी निकटता से काम करना होता है - इस पर आंकड़े और अंक बनाने के लिए, यह निर्धारित करने के लिए कि कौन साएक या दूसरा निर्देशांक विमान से संबंधित है, साथ ही एक बिंदु के निर्देशांक निर्धारित करने और उन्हें लिखने या नाम देने के लिए। इसलिए, आइए निर्देशांक की सभी विशेषताओं के बारे में अधिक विस्तार से बात करें। लेकिन पहले, आइए सृष्टि के इतिहास को स्पर्श करें, और फिर हम इस बारे में बात करेंगे कि समन्वय तल पर कैसे काम किया जाए।
ऐतिहासिक पृष्ठभूमि
एक समन्वय प्रणाली बनाने के विचार टॉलेमी के दिनों में थे। तब भी, खगोलविद और गणितज्ञ इस बारे में सोच रहे थे कि कैसे एक विमान पर एक बिंदु की स्थिति निर्धारित करना सीखें। दुर्भाग्य से, उस समय हमें कोई समन्वय प्रणाली ज्ञात नहीं थी, और वैज्ञानिकों को अन्य प्रणालियों का उपयोग करना पड़ता था।
शुरू में वे अक्षांश और देशांतर का उपयोग करके अंक निर्धारित करते हैं। लंबे समय तक यह इस या उस जानकारी को मैप करने के सबसे अधिक इस्तेमाल किए जाने वाले तरीकों में से एक था। लेकिन 1637 में, रेने डेसकार्टेस ने अपनी खुद की समन्वय प्रणाली बनाई, जिसे बाद में महान गणितज्ञ के सम्मान में "कार्टेशियन" नाम दिया गया।
कार्य "ज्यामिति" के प्रकाशन के बाद, रेने डेसकार्टेस की समन्वय प्रणाली ने वैज्ञानिक हलकों में मान्यता प्राप्त की।
पहले से ही 17वीं सदी के अंत में। "समन्वय तल" की अवधारणा का गणित की दुनिया में व्यापक रूप से उपयोग किया जाता है। इस तथ्य के बावजूद कि इस प्रणाली के निर्माण के बाद से कई शताब्दियां बीत चुकी हैं, यह अभी भी गणित और यहां तक कि जीवन में भी व्यापक रूप से उपयोग की जाती है।
समन्वय समतल उदाहरण
इससे पहले कि हम सिद्धांत के बारे में बात करें, आइए समन्वय तल के कुछ उदाहरण देते हैं ताकि आप इसकी कल्पना कर सकें। निर्देशांक प्रणाली मुख्य रूप से शतरंज में प्रयोग की जाती है।बोर्ड पर, प्रत्येक वर्ग के अपने निर्देशांक होते हैं - एक अक्षर निर्देशांक, दूसरा - डिजिटल। इसकी सहायता से आप बोर्ड पर किसी विशेष टुकड़े की स्थिति निर्धारित कर सकते हैं।
दूसरा सबसे महत्वपूर्ण उदाहरण प्रिय खेल "बैटलशिप" है। याद रखें कि कैसे, खेलते समय, आप एक निर्देशांक का नाम देते हैं, उदाहरण के लिए, बी 3, इस प्रकार यह दर्शाता है कि आप कहां लक्ष्य कर रहे हैं। उसी समय, जहाजों को रखते समय, आप समन्वय विमान पर बिंदु निर्धारित करते हैं।
यह समन्वय प्रणाली न केवल गणित, तर्क खेलों में, बल्कि सैन्य मामलों, खगोल विज्ञान, भौतिकी और कई अन्य विज्ञानों में भी व्यापक रूप से उपयोग की जाती है।
कुल्हाड़ियों को समन्वयित करें
जैसा कि पहले ही उल्लेख किया गया है, समन्वय प्रणाली में दो अक्ष होते हैं। आइए उनके बारे में थोड़ी बात करते हैं, क्योंकि उनका काफी महत्व है।
पहला अक्ष - भुज - क्षैतिज है। इसे (ऑक्स) के रूप में दर्शाया गया है। दूसरी धुरी y-अक्ष है, जो संदर्भ बिंदु से लंबवत गुजरती है और इसे (Oy) के रूप में दर्शाया जाता है। यह दो अक्ष हैं जो विमान को चार तिमाहियों में विभाजित करते हुए समन्वय प्रणाली बनाते हैं। मूल बिंदु इन दो अक्षों के प्रतिच्छेदन बिंदु पर स्थित है और 0 का मान लेता है। केवल यदि समतल दो लम्बवत प्रतिच्छेदी अक्षों द्वारा बनाया गया है जिनमें एक संदर्भ बिंदु है, तो क्या यह एक निर्देशांक तल है।
यह भी ध्यान दें कि प्रत्येक कुल्हाड़ी की अपनी दिशा होती है। आमतौर पर, एक समन्वय प्रणाली का निर्माण करते समय, यह एक तीर के रूप में अक्ष की दिशा को इंगित करने के लिए प्रथागत है। इसके अलावा, समन्वय विमान का निर्माण करते समय, प्रत्येक अक्ष पर हस्ताक्षर किए जाते हैं।
क्वार्टर
अब आइए इस तरह की अवधारणा के बारे में कुछ शब्द कहें जो समन्वय विमान के क्वार्टर हैं। विमान को दो अक्षों द्वारा चार तिमाहियों में विभाजित किया गया है। उनमें से प्रत्येक की अपनी संख्या होती है, जबकि विमानों की संख्या वामावर्त होती है।
हर तिमाहियों की अपनी विशेषताएं हैं। तो, पहली तिमाही में, भुज और कोटि सकारात्मक हैं, दूसरी तिमाही में, भुज ऋणात्मक है, कोटि धनात्मक है, तीसरे में, भुज और कोटि दोनों ऋणात्मक हैं, चौथे में, भुज है धनात्मक है, और कोटि ऋणात्मक है।
इन विशेषताओं को याद करके आप आसानी से यह निर्धारित कर सकते हैं कि यह या वह बिंदु किस तिमाही का है। इसके अलावा, यह जानकारी आपके लिए उपयोगी हो सकती है यदि आपको कार्टेशियन प्रणाली का उपयोग करके गणना करनी है।
समन्वय विमान के साथ काम करना
जब हमने एक विमान की अवधारणा का पता लगाया और उसके क्वार्टर के बारे में बात की, तो हम इस प्रणाली के साथ काम करने जैसी समस्या पर आगे बढ़ सकते हैं, और यह भी बात कर सकते हैं कि इस पर अंक, निर्देशांक कैसे लगाए जाएं। निर्देशांक तल पर, यह उतना कठिन नहीं है जितना पहली नज़र में लग सकता है।
सबसे पहले, सिस्टम खुद बनाया गया है, सभी महत्वपूर्ण पदनाम उस पर लागू होते हैं। फिर अंक या अंकों के साथ सीधे काम होता है। इस मामले में, आंकड़े बनाते समय भी, पहले विमान पर अंक लगाए जाते हैं, और फिर आंकड़े पहले ही खींचे जाते हैं।
अगला, हम सिस्टम बनाने और सीधे बिंदुओं और आकृतियों को लागू करने के बारे में और बात करेंगे।
नियमविमान निर्माण
यदि आप कागज पर आकृतियों और बिंदुओं को चिह्नित करना शुरू करने का निर्णय लेते हैं, तो आपको एक समन्वय विमान की आवश्यकता होगी। इस पर बिंदुओं के निर्देशांक प्लॉट किए गए हैं। एक समन्वय विमान बनाने के लिए, आपको केवल एक शासक और एक कलम या पेंसिल की आवश्यकता होती है। सबसे पहले, क्षैतिज भुज खींचा जाता है, फिर ऊर्ध्वाधर - कोर्डिनेट किया जाता है। यह याद रखना महत्वपूर्ण है कि कुल्हाड़ियाँ समकोण पर प्रतिच्छेद करती हैं।
इसके अलावा, प्रत्येक अक्ष पर दिशा इंगित करें और आम तौर पर स्वीकृत संकेतन x और y का उपयोग करके उन पर हस्ताक्षर करें। कुल्हाड़ियों के प्रतिच्छेदन बिंदु को भी 0 नंबर से चिह्नित और हस्ताक्षरित किया जाता है।
अगला अनिवार्य आइटम मार्किंग है। दोनों दिशाओं में प्रत्येक अक्ष पर इकाइयों-खंडों को चिह्नित और हस्ताक्षरित किया जाता है। ऐसा इसलिए किया जाता है ताकि आप विमान के साथ अधिकतम सुविधा के साथ काम कर सकें।
एक बिंदु चिह्नित करना
अब बात करते हैं कि निर्देशांक तल पर बिंदुओं के निर्देशांकों को कैसे प्लॉट किया जाए। समतल पर विभिन्न आकृतियों को सफलतापूर्वक स्थापित करने और यहां तक कि समीकरणों को चिह्नित करने के लिए आपको यह मूलभूत बातें जानने की आवश्यकता है।
बिंदुओं को प्लॉट करते समय, याद रखें कि उनके निर्देशांक कैसे सही ढंग से लिखे गए हैं। इसलिए, आमतौर पर एक बिंदु निर्धारित करते हुए, दो संख्याएं कोष्ठक में लिखी जाती हैं। पहला अंक एब्सिस्सा अक्ष के साथ बिंदु के समन्वय को इंगित करता है, दूसरा - कोर्डिनेट अक्ष के साथ।
इस तरह से एक बिंदु बनाएं। सबसे पहले, ऑक्स अक्ष पर दिए गए बिंदु को चिह्नित करें, फिर ओए अक्ष पर एक बिंदु चिह्नित करें। इसके बाद, इन पदनामों से काल्पनिक रेखाएँ खींचिए और उनके प्रतिच्छेदन का स्थान ज्ञात कीजिए - यह दिया गया बिंदु होगा।
आपको बस उस पर निशान लगाना है और उस पर हस्ताक्षर करना है। जैसा कि आप देख सकते हैं, सब कुछ काफी सरल है और इसके लिए विशेष कौशल की आवश्यकता नहीं है।
आकृति लगाएं
अब आइए ऐसे प्रश्न पर चलते हैं जैसे निर्देशांक तल पर आकृतियों का निर्माण। निर्देशांक तल पर किसी भी आकृति का निर्माण करने के लिए, आपको यह पता होना चाहिए कि उस पर बिंदुओं को कैसे रखा जाए। यदि आप जानते हैं कि यह कैसे करना है, तो एक विमान पर एक आकृति रखना इतना मुश्किल नहीं है।
सबसे पहले, आपको आकृति के बिंदुओं के निर्देशांक की आवश्यकता होगी। यह उन पर है कि हम आपके द्वारा चुनी गई ज्यामितीय आकृतियों को हमारे समन्वय प्रणाली पर लागू करेंगे। एक आयत, त्रिभुज और वृत्त बनाने पर विचार करें।
आइए एक आयत से शुरू करते हैं। इसे अप्लाई करना काफी आसान है। सबसे पहले, आयत के कोनों को इंगित करते हुए, समतल पर चार बिंदु लगाए जाते हैं। फिर सभी बिंदु क्रमिक रूप से एक दूसरे से जुड़े हुए हैं।
त्रिभुज बनाना कोई अलग बात नहीं है। केवल एक चीज यह है कि इसके तीन कोने हैं, जिसका अर्थ है कि तीन बिंदु विमान पर लागू होते हैं, जो इसके शीर्षों को दर्शाते हैं।
वृत्त के संबंध में, यहाँ आपको दो बिंदुओं के निर्देशांक ज्ञात होने चाहिए। पहला बिंदु वृत्त का केंद्र है, दूसरा बिंदु इसकी त्रिज्या को दर्शाता है। इन दो बिंदुओं को एक समतल पर प्लॉट किया गया है। फिर एक कंपास लिया जाता है, दो बिंदुओं के बीच की दूरी को मापा जाता है। कम्पास के बिंदु को केंद्र को इंगित करने वाले बिंदु पर रखा जाता है, और एक वृत्त का वर्णन किया जाता है।
जैसा कि आप देख सकते हैं, यहां कुछ भी जटिल नहीं है, मुख्य बात यह है कि हमेशा एक शासक और एक कंपास हाथ में होना चाहिए।
अब आप जानते हैं कि आकृति निर्देशांक कैसे प्लॉट करें। समन्वय तल पर, ऐसा करना इतना कठिन नहीं है जितना पहली नज़र में लग सकता है।
निष्कर्ष
इसलिए, हमने आपके साथ गणित के लिए सबसे दिलचस्प और बुनियादी अवधारणाओं में से एक पर विचार किया है जिससे हर छात्र को निपटना पड़ता है।
हमें पता चला है कि निर्देशांक तल दो अक्षों के प्रतिच्छेदन से बनने वाला तल होता है। इसकी मदद से आप बिंदुओं के निर्देशांक सेट कर सकते हैं, उस पर आकृतियाँ डाल सकते हैं। विमान को क्वार्टरों में बांटा गया है, जिनमें से प्रत्येक की अपनी विशेषताएं हैं।
समन्वय तल के साथ काम करते समय जो मुख्य कौशल विकसित किया जाना चाहिए, वह उस पर दिए गए बिंदुओं को सही ढंग से प्लॉट करने की क्षमता है। ऐसा करने के लिए, आपको कुल्हाड़ियों का सही स्थान, क्वार्टरों की विशेषताएं, साथ ही उन नियमों को जानना चाहिए जिनके द्वारा बिंदुओं के निर्देशांक निर्धारित किए जाते हैं।
हमें उम्मीद है कि हमारे द्वारा प्रस्तुत जानकारी सुलभ और समझने योग्य थी, और आपके लिए भी उपयोगी थी और इस विषय को बेहतर ढंग से समझने में मदद की।
