गणित कोई उबाऊ विज्ञान नहीं है, जैसा कि कभी-कभी लगता है। इसमें बहुत कुछ दिलचस्प है, हालांकि कभी-कभी उन लोगों के लिए समझ से बाहर है जो इसे समझने के लिए उत्सुक नहीं हैं। आज हम गणित में सबसे आम और सरल विषयों में से एक के बारे में बात करेंगे, या यों कहें कि इसका क्षेत्र जो बीजगणित और ज्यामिति के कगार पर है। आइए रेखाओं और उनके समीकरणों के बारे में बात करते हैं। ऐसा लगता है कि यह एक उबाऊ स्कूल विषय है जो कुछ भी दिलचस्प और नया वादा नहीं करता है। हालाँकि, ऐसा नहीं है, और इस लेख में हम आपको अपनी बात साबित करने का प्रयास करेंगे। सबसे दिलचस्प पर आगे बढ़ने और दो बिंदुओं के माध्यम से एक सीधी रेखा के समीकरण का वर्णन करने से पहले, हम इन सभी मापों के इतिहास की ओर मुड़ेंगे, और फिर यह पता लगाएंगे कि यह सब क्यों आवश्यक था और अब निम्नलिखित सूत्रों का ज्ञान क्यों नहीं होगा या तो चोट लगी है।
इतिहास
प्राचीन काल में भी, गणितज्ञ ज्यामितीय निर्माण और सभी प्रकार के रेखांकन के शौकीन थे। आज यह कहना कठिन है कि दो बिन्दुओं से होकर जाने वाली एक सीधी रेखा का समीकरण सर्वप्रथम किसने दिया। लेकिन यह माना जा सकता है कि यह व्यक्ति यूक्लिड था -प्राचीन यूनानी वैज्ञानिक और दार्शनिक। यह वह था जिसने अपने ग्रंथ "बिगिनिंग्स" में भविष्य के यूक्लिडियन ज्यामिति के आधार को जन्म दिया। अब गणित के इस खंड को दुनिया के ज्यामितीय निरूपण का आधार माना जाता है और इसे स्कूल में पढ़ाया जाता है। लेकिन यह कहने योग्य है कि यूक्लिडियन ज्यामिति हमारे त्रि-आयामी आयाम में केवल स्थूल स्तर पर संचालित होती है। अगर हम अंतरिक्ष पर विचार करें, तो इसकी मदद से वहां होने वाली सभी घटनाओं की कल्पना करना हमेशा संभव नहीं होता है।
यूक्लिड के बाद और भी वैज्ञानिक थे। और जो कुछ उसने खोजा और लिखा, उसे उन्होंने सिद्ध और समझा। अंत में, ज्यामिति का एक स्थिर क्षेत्र निकला, जिसमें सब कुछ अभी भी अस्थिर है। और यह हजारों वर्षों से सिद्ध हो चुका है कि दो बिंदुओं से एक सीधी रेखा का समीकरण बनाना बहुत आसान और सरल है। लेकिन इससे पहले कि हम यह बताना शुरू करें कि यह कैसे करना है, आइए कुछ सिद्धांत पर चर्चा करें।
सिद्धांत
एक सीधी रेखा दोनों दिशाओं में अनंत खंड है, जिसे किसी भी लंबाई के अनंत खंडों में विभाजित किया जा सकता है। एक सीधी रेखा का प्रतिनिधित्व करने के लिए, ग्राफ़ का सबसे अधिक बार उपयोग किया जाता है। इसके अलावा, रेखांकन द्वि-आयामी और त्रि-आयामी समन्वय प्रणाली दोनों में हो सकते हैं। और वे उनसे संबंधित बिंदुओं के निर्देशांक के अनुसार बनाए गए हैं। आखिरकार, अगर हम एक सीधी रेखा पर विचार करें, तो हम देख सकते हैं कि इसमें अनंत अंक हैं।
हालांकि, कुछ ऐसा भी है जिसमें एक सीधी रेखा अन्य प्रकार की रेखाओं से बहुत अलग होती है। यह उसका समीकरण है। सामान्य शब्दों में, यह एक वृत्त के समीकरण के विपरीत, बहुत सरल है। निश्चित रूप से, हम में से प्रत्येक ने स्कूल में इसका अनुभव किया है। लेकिनफिर भी, आइए इसका सामान्य रूप लिखें: y=kx+b। अगले भाग में, हम विस्तार से विश्लेषण करेंगे कि इनमें से प्रत्येक अक्षर का क्या अर्थ है और दो बिंदुओं से गुजरने वाली एक सीधी रेखा के इस सरल समीकरण को कैसे हल किया जाए।
रेखा समीकरण
उपरोक्त जो समानता प्रस्तुत की गई थी, वह सीधी रेखा समीकरण है जिसकी हमें आवश्यकता है। यहाँ क्या मतलब है यह समझाने लायक है। जैसा कि आप अनुमान लगा सकते हैं, y और x रेखा पर प्रत्येक बिंदु के निर्देशांक हैं। सामान्य तौर पर, यह समीकरण केवल इसलिए मौजूद होता है क्योंकि किसी भी सीधी रेखा का प्रत्येक बिंदु अन्य बिंदुओं के संबंध में होता है, और इसलिए एक कानून है जो एक समन्वय को दूसरे से जोड़ता है। यह नियम निर्धारित करता है कि दो दिए गए बिंदुओं के माध्यम से एक सीधी रेखा का समीकरण कैसा दिखता है।
बिल्कुल दो बिंदु क्यों? यह सब इसलिए है क्योंकि द्वि-आयामी अंतरिक्ष में एक सीधी रेखा के निर्माण के लिए आवश्यक न्यूनतम बिंदुओं की संख्या दो है। यदि हम त्रि-आयामी स्थान लेते हैं, तो एक सीधी रेखा बनाने के लिए आवश्यक बिंदुओं की संख्या भी दो के बराबर होगी, क्योंकि तीन बिंदु पहले से ही एक विमान बनाते हैं।
एक प्रमेय यह भी सिद्ध करता है कि किन्हीं दो बिंदुओं से होकर एक सीधी रेखा खींचना संभव है। चार्ट पर दो यादृच्छिक बिंदुओं को एक रूलर से जोड़कर व्यवहार में इस तथ्य की जाँच की जा सकती है।
अब एक विशिष्ट उदाहरण देखते हैं और दिखाते हैं कि दो दिए गए बिंदुओं से गुजरने वाली एक सीधी रेखा के इस कुख्यात समीकरण को कैसे हल किया जाए।
उदाहरण
दो बिंदुओं पर विचार करेंजिसे आपको एक सीधी रेखा बनाने की आवश्यकता है। आइए उनके निर्देशांक सेट करें, उदाहरण के लिए, M1(2;1) और M2(3;2)। जैसा कि हम स्कूल के पाठ्यक्रम से जानते हैं, पहला निर्देशांक OX अक्ष के साथ-साथ मान है, और दूसरा OY अक्ष के साथ मान है। ऊपर, दो बिंदुओं के माध्यम से एक सीधी रेखा का समीकरण दिया गया था, और लापता पैरामीटर k और b का पता लगाने के लिए, हमें दो समीकरणों की एक प्रणाली बनाने की आवश्यकता है। वास्तव में, यह दो समीकरणों से बना होगा, जिनमें से प्रत्येक में हमारे दो अज्ञात स्थिरांक होंगे:
1=2k+b
2=3k+b
अब सबसे महत्वपूर्ण बात रह गई है: इस व्यवस्था को हल करने के लिए। यह काफी सरलता से किया जाता है। पहले, आइए पहले समीकरण से b व्यक्त करें: b=1-2k। अब हमें परिणामी समानता को दूसरे समीकरण में बदलने की आवश्यकता है। यह हमें प्राप्त समानता के साथ b को प्रतिस्थापित करके किया जाता है:
2=3k+1-2k
1=के;
अब जब हम जानते हैं कि गुणांक k का मान क्या है, तो अगले स्थिरांक - b का मान ज्ञात करने का समय आ गया है। यह और भी आसान हो गया है। चूँकि हम k पर b की निर्भरता जानते हैं, हम बाद वाले के मान को पहले समीकरण में बदल सकते हैं और अज्ञात मान का पता लगा सकते हैं:
ख=1-21=-1.
दोनों गुणांकों को जानते हुए, अब हम उन्हें दो बिंदुओं के माध्यम से एक सीधी रेखा के मूल सामान्य समीकरण में प्रतिस्थापित कर सकते हैं। इस प्रकार, हमारे उदाहरण के लिए, हमें निम्नलिखित समीकरण प्राप्त होता है: y=x-1. यह वांछित समानता है, जो हमें मिलनी ही थी।
निष्कर्ष पर जाने से पहले, आइए गणित के इस खंड के दैनिक जीवन में उपयोग पर चर्चा करें।
आवेदन
जैसे, दो बिंदुओं से गुजरने वाली एक सीधी रेखा के समीकरण का अनुप्रयोग नहीं होता है। लेकिन इसका मतलब यह नहीं है कि हमें इसकी जरूरत नहीं है। भौतिकी और गणित मेंरेखाओं के समीकरण और उनके बाद आने वाले गुण बहुत सक्रिय रूप से उपयोग किए जाते हैं। आपको शायद इस पर ध्यान भी न हो, लेकिन गणित हमारे चारों तरफ है। और यहां तक कि दो बिंदुओं के माध्यम से एक सीधी रेखा के समीकरण के रूप में ऐसे प्रतीत होने वाले अचूक विषय भी बहुत उपयोगी साबित होते हैं और अक्सर मौलिक स्तर पर लागू होते हैं। अगर पहली नज़र में ऐसा लगता है कि यह कहीं उपयोगी नहीं हो सकता है, तो आप गलत हैं। गणित तार्किक सोच विकसित करता है, जो कभी भी अतिश्योक्तिपूर्ण नहीं होगा।
निष्कर्ष
अब जब हमने यह जान लिया है कि दिए गए दो बिंदुओं से रेखाएँ कैसे खींची जाती हैं, तो इससे संबंधित किसी भी प्रश्न का उत्तर देना हमारे लिए आसान हो गया है। उदाहरण के लिए, यदि शिक्षक आपसे कहता है: "दो बिंदुओं से गुजरने वाली एक सीधी रेखा का समीकरण लिखें," तो ऐसा करना आपके लिए कठिन नहीं होगा। हमें उम्मीद है कि आपको यह लेख मददगार लगा होगा।
