पाइथागोरस ने तर्क दिया कि संख्या मूल तत्वों के साथ-साथ दुनिया को भी रेखांकित करती है। प्लेटो का मानना था कि संख्या घटना और संज्ञा को जोड़ती है, पहचानने, मापने और निष्कर्ष निकालने में मदद करती है। अंकगणित शब्द "अरिथमोस" से आया है - एक संख्या, गणित में शुरुआत की शुरुआत। यह किसी भी वस्तु का वर्णन कर सकता है - एक प्राथमिक सेब से लेकर अमूर्त स्थान तक।
विकास कारक के रूप में आवश्यकता
समाज के गठन के शुरुआती दौर में लोगों की जरूरतें गिनती रखने की जरूरत तक ही सीमित थीं- एक बोरी अनाज, दो बोरी अनाज आदि। इसके लिए प्राकृतिक संख्या काफी थी, जिसका समुच्चय है पूर्णांकों का एक अनंत धनात्मक अनुक्रम N.
बाद में, एक विज्ञान के रूप में गणित के विकास के साथ, पूर्णांक Z के एक अलग क्षेत्र की आवश्यकता थी - इसमें नकारात्मक मान और शून्य शामिल हैं। घरेलू स्तर पर इसकी उपस्थिति को इस तथ्य से उकसाया गया था कि प्राथमिक लेखांकन में इसे किसी तरह ठीक करना आवश्यक थाऋण और नुकसान। वैज्ञानिक स्तर पर, ऋणात्मक संख्याओं ने सरलतम रैखिक समीकरणों को हल करना संभव बना दिया है। अन्य बातों के अलावा, एक तुच्छ समन्वय प्रणाली की छवि अब संभव हो गई है, क्योंकि एक संदर्भ बिंदु सामने आया है।
अगला कदम भिन्नात्मक संख्याओं को पेश करने की आवश्यकता थी, क्योंकि विज्ञान अभी भी खड़ा नहीं था, अधिक से अधिक खोजों को एक नए विकास प्रोत्साहन के लिए सैद्धांतिक आधार की आवश्यकता थी। इस प्रकार परिमेय संख्याओं का क्षेत्र प्रकट होता है Q.
आखिरकार, अनुरोधों को संतुष्ट करने के लिए तर्कसंगतता बंद हो गई, क्योंकि सभी नए निष्कर्षों को औचित्य की आवश्यकता थी। वास्तविक संख्या आर का क्षेत्र दिखाई दिया, यूक्लिड के कार्यों में उनकी तर्कहीनता के कारण कुछ मात्राओं की असंगति पर काम करता है। अर्थात्, प्राचीन यूनानी गणितज्ञों ने संख्या को न केवल एक स्थिरांक के रूप में, बल्कि एक अमूर्त मात्रा के रूप में भी रखा, जो कि अतुलनीय मात्राओं के अनुपात की विशेषता है। इस तथ्य के कारण कि वास्तविक संख्याएँ दिखाई दीं, ऐसी मात्राएँ जैसे "pi" और "e" "saw the light", जिसके बिना आधुनिक गणित नहीं हो सकता था।
अंतिम नवाचार जटिल संख्या सी था। इसने कई सवालों के जवाब दिए और पहले से शुरू की गई धारणाओं का खंडन किया। बीजगणित के तेजी से विकास के कारण, परिणाम पूर्वानुमेय था - वास्तविक संख्या होने के कारण, कई समस्याओं को हल करना असंभव था। उदाहरण के लिए, जटिल संख्याओं के लिए धन्यवाद, तार और अराजकता का सिद्धांत सामने आया, और हाइड्रोडायनामिक्स के समीकरणों का विस्तार हुआ।
सेटिंग थ्योरी। कैंटर
हर समय अनंत की अवधारणाविवाद का कारण बना, क्योंकि इसे न तो सिद्ध किया जा सकता था और न ही अस्वीकृत किया जा सकता था। गणित के संदर्भ में, जो कड़ाई से सत्यापित अभिधारणाओं के साथ संचालित होता था, यह सबसे स्पष्ट रूप से प्रकट हुआ, खासकर जब से विज्ञान में धार्मिक पहलू का अभी भी वजन था।
हालांकि, गणितज्ञ जॉर्ज कांतोर के काम की बदौलत, समय के साथ सब कुछ ठीक हो गया। उन्होंने सिद्ध किया कि अनंत समुच्चय हैं, और यह कि क्षेत्र R, क्षेत्र N से बड़ा है, भले ही उन दोनों का कोई अंत न हो। उन्नीसवीं सदी के मध्य में, उनके विचारों को बकवास और शास्त्रीय, अस्थिर सिद्धांतों के खिलाफ अपराध कहा जाता था, लेकिन समय ने सब कुछ अपनी जगह पर रख दिया।
क्षेत्र R के मूल गुण
वास्तविक संख्याओं में न केवल उपसमुच्चय के समान गुण होते हैं जो उनमें शामिल होते हैं, बल्कि उनके तत्वों के पैमाने के कारण दूसरों द्वारा पूरक भी होते हैं:
- शून्य मौजूद है और क्षेत्र R से संबंधित है। c + 0=c R से किसी भी c के लिए।
- शून्य मौजूद है और क्षेत्र R से संबंधित है। c x 0=0 R से किसी भी c के लिए।
- संबंध c: d के लिए d ≠ 0 मौजूद है और R से किसी भी c, d के लिए मान्य है।
- क्षेत्र R को क्रमित किया गया है, अर्थात यदि c d, d ≦ c, तो c=d किसी भी c, d के लिए R से।
- क्षेत्र में जोड़ R क्रमविनिमेय है, अर्थात c + d=d + c किसी भी c, d के लिए R से।
- क्षेत्र R में गुणन क्रमविनिमेय है, अर्थात c x d=d x c किसी भी c, d के लिए R से।
- क्षेत्र R में योग साहचर्य है, अर्थात (c + d) + f=c + (d + f) R से किसी c, d, f के लिए।
- क्षेत्र R में गुणन साहचर्य है, अर्थात (c x d) x f=c x (d x f) R से किसी c, d, f के लिए।
- क्षेत्र R में प्रत्येक संख्या के लिए एक विपरीत है, जैसे कि c + (-c)=0, जहाँ c, -c, R से है।
- क्षेत्र R से प्रत्येक संख्या के लिए इसका प्रतिलोम है, जैसे कि c x c-1 =1, जहां c, c-1 आर. से
- इकाई मौजूद है और R से संबंधित है, इसलिए c x 1=c, R से किसी भी c के लिए।
- वितरण कानून मान्य है, इसलिए c x (d + f)=c x d + c x f, R से किसी भी c, d, f के लिए।
- फ़ील्ड R में, शून्य एक के बराबर नहीं है।
- क्षेत्र R सकर्मक है: यदि c d, d ≦ f, तो c ≦ f किसी भी c, d, f के लिए R से।
- क्षेत्र R में, क्रम और जोड़ संबंधित हैं: यदि c d, तो c + f d + f किसी भी c, d, f से R. के लिए
- क्षेत्र R में, क्रम और गुणन संबंधित हैं: यदि 0 c, 0 ≦ d, तो 0 c x d किसी c, d के लिए R से।
- ऋणात्मक और धनात्मक दोनों वास्तविक संख्याएं निरंतर हैं, अर्थात किसी भी c, d के लिए R से, R से f ऐसा है कि c ≦ f ≦ d.
क्षेत्र आर में मॉड्यूल
वास्तविक संख्याओं में मापांक शामिल होता है।
|f|. के रूप में चिह्नित R. |f|. से किसी भी f के लिए=f अगर 0 f और |f|=-एफ अगर 0 > एफ। यदि हम मापांक को एक ज्यामितीय मात्रा के रूप में मानते हैं, तो यह तय की गई दूरी है - इससे कोई फर्क नहीं पड़ता कि आपने शून्य से माइनस को "पास" किया है या प्लस को आगे बढ़ाया है।
जटिल और वास्तविक संख्याएं। समानताएं क्या हैं और अंतर क्या हैं?
कुल मिलाकर, सम्मिश्र और वास्तविक संख्याएं एक समान होती हैं, सिवाय इसके किकाल्पनिक इकाई i, जिसका वर्ग -1 है। फ़ील्ड R और C के तत्वों को निम्न सूत्र के रूप में दर्शाया जा सकता है:
c=d + f x i, जहां d, f क्षेत्र R से संबंधित है और i काल्पनिक इकाई है।
इस स्थिति में R से c प्राप्त करने के लिए, f को केवल शून्य के बराबर सेट किया जाता है, अर्थात संख्या का केवल वास्तविक भाग ही रहता है। इस तथ्य के कारण कि सम्मिश्र संख्याओं के क्षेत्र में वास्तविक संख्याओं के क्षेत्र के समान गुण होते हैं, f x i=0 यदि f=0.
व्यावहारिक भिन्नताओं के संबंध में, उदाहरण के लिए, R क्षेत्र में, विभेदक ऋणात्मक होने पर द्विघात समीकरण हल नहीं होता है, जबकि C फ़ील्ड काल्पनिक इकाई के परिचय के कारण ऐसा प्रतिबंध नहीं लगाता है i.
परिणाम
जिन सिद्धांतों और अभिधारणाओं पर गणित आधारित है, उनकी "ईंटें" नहीं बदलती हैं। जानकारी में वृद्धि और नए सिद्धांतों की शुरूआत के कारण, उनमें से कुछ पर निम्नलिखित "ईंटें" रखी गई हैं, जो भविष्य में अगले चरण का आधार बन सकती हैं। उदाहरण के लिए, प्राकृतिक संख्याएँ, इस तथ्य के बावजूद कि वे वास्तविक क्षेत्र R का एक उपसमुच्चय हैं, अपनी प्रासंगिकता नहीं खोती हैं। यह उन पर है कि सभी प्रारंभिक अंकगणित आधारित हैं, जिससे दुनिया का मानव ज्ञान शुरू होता है।
व्यावहारिक दृष्टि से वास्तविक संख्याएं एक सीधी रेखा की तरह दिखती हैं। उस पर आप दिशा चुन सकते हैं, मूल और चरण निर्दिष्ट कर सकते हैं। एक सीधी रेखा में अनंत अंक होते हैं, जिनमें से प्रत्येक एक वास्तविक संख्या से मेल खाता है, भले ही वह तर्कसंगत हो या नहीं। विवरण से यह स्पष्ट है कि हम एक ऐसी अवधारणा के बारे में बात कर रहे हैं जिस पर सामान्य रूप से गणित और सामान्य रूप से गणितीय विश्लेषण दोनों निर्मित होते हैं।विशेष।
