मैकलॉरिन श्रृंखला और कुछ कार्यों का विस्तार

2024 लेखक: Angel Austin | [email protected]. अंतिम बार संशोधित: 2023-12-17 05:27

उच्च गणित के छात्रों को पता होना चाहिए कि दी गई श्रृंखला के अभिसरण के अंतराल से संबंधित कुछ शक्ति श्रृंखलाओं का योग निरंतर और असीमित संख्या में विभेदित फलन होता है। प्रश्न उठता है: क्या यह दावा करना संभव है कि दिया गया मनमाना फलन f(x) किसी घात श्रेणी का योग है? अर्थात्, किन परिस्थितियों में फलन f(x) को घात श्रेणी द्वारा निरूपित किया जा सकता है? इस प्रश्न का महत्व इस तथ्य में निहित है कि फलन f(x) को लगभग घात श्रेणी के पहले कुछ पदों के योग से, यानी एक बहुपद द्वारा प्रतिस्थापित करना संभव है। गणितीय विश्लेषण की कुछ समस्याओं को हल करते समय एक सरल अभिव्यक्ति द्वारा एक फ़ंक्शन का ऐसा प्रतिस्थापन - एक बहुपद - भी सुविधाजनक है, अर्थात्: इंटीग्रल को हल करते समय, अंतर समीकरणों की गणना करते समय, आदि।

यह साबित हो गया है कि कुछ फ़ंक्शन f(х) के लिए जहां (n+1)वें क्रम तक के डेरिवेटिव, पिछले एक सहित, की गणना पड़ोस में की जा सकती है (α _{- R; x}0 _{+ R) किसी बिंदु का x=α सूत्र मान्य है:}

इस सूत्र का नाम प्रसिद्ध वैज्ञानिक ब्रुक टेलर के नाम पर रखा गया है। पिछली श्रृंखला से प्राप्त श्रृंखला को मैकलॉरिन श्रृंखला कहा जाता है:

नियम जो मैकलॉरिन श्रृंखला में विस्तार करना संभव बनाता है:

1. पहले, दूसरे, तीसरे… ऑर्डर के डेरिवेटिव निर्धारित करें।
2. गणना करें कि x=0 पर व्युत्पन्न किसके बराबर हैं।
3. इस फ़ंक्शन के लिए मैकलॉरिन श्रृंखला रिकॉर्ड करें, और फिर इसके अभिसरण के अंतराल को निर्धारित करें।
4. अंतराल निर्धारित करें (-R;R) जहां मैकलॉरिन फॉर्मूला का शेष है

R (x) -> 0 n -> अनंत के लिए। यदि कोई मौजूद है, तो उसमें फ़ंक्शन f(x) मैकलॉरिन श्रृंखला के योग के साथ मेल खाना चाहिए।

अब व्यक्तिगत कार्यों के लिए मैकलॉरिन श्रृंखला पर विचार करें।

1. तो, पहला f(x)=e^x होगा। बेशक, इसकी विशेषताओं के अनुसार, इस तरह के फ़ंक्शन में विभिन्न ऑर्डर के डेरिवेटिव होते हैं, और f^(k)(x)=e^x, जहां k सभी के बराबर होता है प्राकृतिक संख्याएँ। आइए x=0 को प्रतिस्थापित करें। हमें f^(k)(0)=e⁰=1, k=1, 2… मिलता है ^{इस तरह दिखेगा:}

2. फलन f(x)=sin x के लिए मैकलॉरिन श्रृंखला। तुरंत स्पष्ट करें कि सभी अज्ञात के लिए फ़ंक्शन में डेरिवेटिव होंगे, इसके अलावा f^'(x)=cos x=sin(x+n/2), f ^{'' (x)=-sin x=sin(x+2n/2)…, f}(k)^{(x)=sin(x+k n/2), जहाँ k किसी भी प्राकृत संख्या के बराबर है। अर्थात्, सरल गणना करने के बाद, हम इस निष्कर्ष पर पहुँच सकते हैं कि f(x)=sin x की श्रृंखला इस तरह दिखेगी:}

3. आइए अब फलन f(x)=cos x पर विचार करने का प्रयास करें। वह सभी अज्ञात के लिए हैमनमानी क्रम के डेरिवेटिव हैं, और |f^(k)(x)|=|cos(x+kp/2)|<=1, k=1, 2… फिर से, कुछ गणना करने के बाद, हम पाते हैं कि f(x)=cos x के लिए श्रृंखला इस तरह दिखेगी:

इसलिए, हमने सबसे महत्वपूर्ण कार्यों को सूचीबद्ध किया है जिन्हें मैकलॉरिन श्रृंखला में विस्तारित किया जा सकता है, लेकिन वे कुछ कार्यों के लिए टेलर श्रृंखला द्वारा पूरक हैं। अब हम उन्हें सूचीबद्ध करेंगे। यह भी ध्यान देने योग्य है कि टेलर और मैकलॉरिन श्रृंखला उच्च गणित में श्रृंखला को हल करने के अभ्यास का एक महत्वपूर्ण हिस्सा हैं। तो, टेलर श्रृंखला।

1. पहला f-ii f(x)=ln(1+x) के लिए एक श्रृंखला होगी। पिछले उदाहरणों की तरह, हमें f (x)=ln (1 + x) दिया गया है, हम मैकलॉरिन श्रृंखला के सामान्य रूप का उपयोग करके एक श्रृंखला जोड़ सकते हैं। हालांकि, इस फ़ंक्शन के लिए, मैकलॉरिन श्रृंखला को और अधिक सरलता से प्राप्त किया जा सकता है। एक निश्चित ज्यामितीय श्रृंखला को एकीकृत करने के बाद, हमें इस नमूने के f(x)=ln(1+x) के लिए एक श्रृंखला मिलती है:

2. और दूसरा, जो हमारे लेख में अंतिम होगा, f (x) u003d arctg x के लिए एक श्रृंखला होगी। अंतराल [-1;1] से संबंधित x के लिए, विस्तार मान्य है:

बस। इस लेख ने उच्च गणित में, विशेष रूप से, आर्थिक और तकनीकी विश्वविद्यालयों में सबसे अधिक इस्तेमाल की जाने वाली टेलर और मैकलॉरिन श्रृंखला की जांच की।