ज्यामिति गणित की एक शाखा है जो अंतरिक्ष में संरचनाओं और उनके बीच संबंधों का अध्ययन करती है। बदले में, इसमें खंड भी होते हैं, और उनमें से एक स्टीरियोमेट्री है। यह अंतरिक्ष में स्थित वॉल्यूमेट्रिक आंकड़ों के गुणों के अध्ययन के लिए प्रदान करता है: एक घन, एक पिरामिड, एक गेंद, एक शंकु, एक सिलेंडर, आदि।
एक शंकु यूक्लिडियन अंतरिक्ष में एक पिंड है जो एक शंक्वाकार सतह और एक विमान को बांधता है जिस पर इसके जनरेटर के सिरे होते हैं। इसका निर्माण इसके किसी भी पैर के चारों ओर एक समकोण त्रिभुज के घूमने की प्रक्रिया में होता है, इसलिए यह क्रांति के पिंडों से संबंधित है।
शंकु घटक
निम्न प्रकार के शंकु प्रतिष्ठित हैं: तिरछा (या तिरछा) और सीधा। तिरछा वह है जिसकी धुरी उसके आधार के केंद्र को समकोण पर नहीं काटती है। इस कारण से, इस तरह के शंकु में ऊंचाई अक्ष के साथ मेल नहीं खाती है, क्योंकि यह एक ऐसा खंड है जो शरीर के शीर्ष से उसके तल तक कम होता है।90° पर आधार।
वह शंकु, जिसका अक्ष उसके आधार के लंबवत होता है, एक सीधा शंकु कहलाता है। इस तरह के एक ज्यामितीय शरीर में धुरी और ऊंचाई इस तथ्य के कारण मेल खाती है कि इसमें शीर्ष आधार व्यास के केंद्र के ऊपर स्थित है।
शंकु में निम्नलिखित तत्व होते हैं:
- वह वृत्त जो उसका आधार है।
- पक्ष।
- एक बिंदु जो आधार के तल में नहीं पड़ा है, जिसे शंकु का शीर्ष कहा जाता है।
- ज्यामितीय निकाय के आधार और उसके शीर्ष के वृत्त के बिंदुओं को जोड़ने वाले खंड।
ये सभी खंड शंकु के जनक हैं। वे ज्यामितीय शरीर के आधार पर झुके हुए हैं, और एक सही शंकु के मामले में उनके अनुमान समान हैं, क्योंकि शीर्ष आधार सर्कल के बिंदुओं से समान दूरी पर है। इस प्रकार, हम यह निष्कर्ष निकाल सकते हैं कि एक नियमित (सीधे) शंकु में, जनरेटर समान होते हैं, अर्थात उनकी लंबाई समान होती है और अक्ष (या ऊंचाई) और आधार के साथ समान कोण बनाते हैं।
चूंकि क्रांति के एक तिरछे (या झुके हुए) शरीर में आधार तल के केंद्र के सापेक्ष शीर्ष विस्थापित होता है, ऐसे शरीर में जनरेटर की अलग-अलग लंबाई और अनुमान होते हैं, क्योंकि उनमें से प्रत्येक एक अलग दूरी पर होता है। आधार वृत्त के किन्हीं दो बिंदुओं से। इसके अलावा, उनके बीच के कोण और शंकु की ऊंचाई भी अलग-अलग होगी।
एक दाहिने शंकु में जनरेटर की लंबाई
जैसा कि पहले लिखा गया है, क्रांति के सीधे ज्यामितीय शरीर में ऊंचाई आधार के तल के लंबवत होती है। इस प्रकार, आधार का जनक, ऊँचाई और त्रिज्या शंकु में एक समकोण त्रिभुज बनाते हैं।
अर्थात आधार की त्रिज्या और ऊंचाई को जानकर पाइथागोरस प्रमेय से सूत्र का उपयोग करके आप जेनरेटर की लंबाई की गणना कर सकते हैं, जो आधार त्रिज्या के वर्गों के योग के बराबर होगा और ऊंचाई:
एल2 =आर2+ एच2 या एल=√r 2 + एच2
जहाँ l एक जेनरेटर है;
r - त्रिज्या;
एच - ऊंचाई।
एक तिरछे शंकु में जनक
इस तथ्य के आधार पर कि एक तिरछे या तिरछे शंकु में जनरेटर समान लंबाई के नहीं होते हैं, अतिरिक्त निर्माण और गणना के बिना उनकी गणना करना संभव नहीं होगा।
सबसे पहले, आपको ऊंचाई, अक्ष की लंबाई और आधार की त्रिज्या जानने की जरूरत है।
इस डेटा के होने पर, आप पाइथागोरस प्रमेय के सूत्र का उपयोग करके अक्ष और ऊंचाई के बीच स्थित त्रिज्या के भाग की गणना कर सकते हैं:
r1=k2 - h2
जहाँ r1 अक्ष और ऊँचाई के बीच की त्रिज्या का भाग है;
k - धुरा की लंबाई;
एच - ऊंचाई।
अक्ष और ऊंचाई (r1) के बीच स्थित त्रिज्या (r) और उसके हिस्से को जोड़ने के परिणामस्वरूप, आप दाईं ओर की पूरी भुजा का पता लगा सकते हैं शंकु के जनक द्वारा निर्मित त्रिभुज, इसकी ऊँचाई और व्यास भाग:
आर=आर + आर1
जहाँ R त्रिभुज की टाँग है जो ऊँचाई, जेनरेटर और आधार के व्यास के भाग से बनता है;
r - आधार त्रिज्या;
r1 - अक्ष और ऊंचाई के बीच की त्रिज्या का हिस्सा।
पायथागॉरियन प्रमेय से समान सूत्र का उपयोग करके, आप शंकु के जनक की लंबाई ज्ञात कर सकते हैं:
एल=h2+ आर2
या, अलग से R की गणना किए बिना, दो सूत्रों को एक में मिला दें:
l=h2 + (r + r1)2.
चाहे वह सीधा हो या तिरछा शंकु और किस प्रकार का इनपुट डेटा, जेनरेटर की लंबाई ज्ञात करने के सभी तरीके हमेशा एक परिणाम पर आते हैं - पाइथागोरस प्रमेय का उपयोग।
शंकु खंड
शंकु का अक्षीय खंड अपनी धुरी या ऊंचाई के साथ गुजरने वाला एक विमान है। एक दाहिने शंकु में, ऐसा खंड एक समद्विबाहु त्रिभुज होता है, जिसमें त्रिभुज की ऊँचाई शरीर की ऊँचाई होती है, इसकी भुजाएँ जनक होती हैं, और आधार आधार का व्यास होता है। एक समबाहु ज्यामितीय निकाय में, अक्षीय खंड एक समबाहु त्रिभुज होता है, क्योंकि इस शंकु में आधार का व्यास और जनरेटर बराबर होते हैं।
एक सीधे शंकु में अक्षीय खंड का तल इसकी सममिति का तल होता है। इसका कारण यह है कि इसका शीर्ष इसके आधार के केंद्र के ऊपर होता है, अर्थात अक्षीय खंड का तल शंकु को दो समान भागों में विभाजित करता है।
चूंकि ऊंचाई और अक्ष एक झुके हुए ठोस में मेल नहीं खाते हैं, अक्षीय खंड के तल में ऊंचाई शामिल नहीं हो सकती है। यदि इस तरह के शंकु में अक्षीय वर्गों का एक सेट बनाना संभव है, क्योंकि इसके लिए केवल एक शर्त देखी जानी चाहिए - इसे केवल धुरी से गुजरना होगा, फिर विमान का केवल एक अक्षीय खंड, जो ऊंचाई से संबंधित होगा यह शंकु खींचा जा सकता है, क्योंकि शर्तों की संख्या बढ़ जाती है, और, जैसा कि ज्ञात है, दो रेखाएं (एक साथ) संबंधित हो सकती हैंकेवल एक विमान।
अनुभाग क्षेत्र
पहले उल्लेखित शंकु का अक्षीय खंड एक त्रिभुज है। इसके आधार पर, त्रिभुज के क्षेत्रफल के लिए सूत्र का उपयोग करके इसके क्षेत्रफल की गणना की जा सकती है:
S=1/2dh या S=1/22rh
जहाँ S क्रॉस-अनुभागीय क्षेत्र है;
d - आधार व्यास;
r - त्रिज्या;
एच - ऊंचाई।
एक तिरछे, या तिरछे शंकु में, अक्ष के साथ का खंड भी एक त्रिकोण है, इसलिए इसमें क्रॉस-अनुभागीय क्षेत्र की गणना इसी तरह की जाती है।
वॉल्यूम
चूंकि एक शंकु त्रि-आयामी अंतरिक्ष में एक त्रि-आयामी आकृति है, हम इसकी मात्रा की गणना कर सकते हैं। एक शंकु का आयतन एक संख्या है जो इस पिंड को एक आयतन इकाई में दर्शाता है, अर्थात m3 में। गणना इस पर निर्भर नहीं करती है कि यह सीधा है या तिरछा (तिरछा), क्योंकि इन दो प्रकार के निकायों के सूत्र भिन्न नहीं हैं।
जैसा कि पहले कहा गया है, एक समकोण त्रिभुज के एक पैर के साथ घूमने के कारण एक समकोण का निर्माण होता है। एक झुका हुआ या तिरछा शंकु अलग तरह से बनता है, क्योंकि इसकी ऊंचाई शरीर के आधार तल के केंद्र से दूर स्थानांतरित हो जाती है। हालांकि, संरचना में इस तरह के अंतर इसकी मात्रा की गणना करने की विधि को प्रभावित नहीं करते हैं।
मात्रा गणना
किसी भी शंकु के आयतन का सूत्र इस तरह दिखता है:
वी=1/3πएचआर2
जहाँ V शंकु का आयतन है;
एच - ऊंचाई;
r - त्रिज्या;
π - लगातार 3, 14 के बराबर।
शंकु के आयतन की गणना करने के लिए, आपके पास शरीर के आधार की ऊंचाई और त्रिज्या पर डेटा होना चाहिए।
किसी पिंड की ऊंचाई की गणना करने के लिए, आपको आधार की त्रिज्या और उसके जेनरेटर की लंबाई जानने की जरूरत है। चूंकि त्रिज्या, ऊंचाई और जेनरेट्रिक्स को एक समकोण त्रिभुज में संयोजित किया जाता है, ऊंचाई की गणना पाइथागोरस प्रमेय के सूत्र का उपयोग करके की जा सकती है (a2+ b2=सी 2 या हमारे मामले में एच2+ आर2=एल2, जहां एल - जेनरेट्रिक्स)। इस मामले में, कर्ण और दूसरे पैर के वर्गों के बीच के अंतर के वर्गमूल को निकालकर ऊंचाई की गणना की जाएगी:
ए=√सी2- बी2
अर्थात शंकु की ऊंचाई जेनरेटर की लंबाई के वर्ग और आधार की त्रिज्या के वर्ग के अंतर से वर्गमूल निकालने के बाद प्राप्त मान के बराबर होगी:
h=l2 - r2
इस विधि से ऊँचाई की गणना करके उसके आधार की त्रिज्या ज्ञात करके आप शंकु का आयतन ज्ञात कर सकते हैं। इस मामले में, जेनरेटर एक महत्वपूर्ण भूमिका निभाता है, क्योंकि यह गणना में सहायक तत्व के रूप में कार्य करता है।
इसी प्रकार, यदि आप शरीर की ऊंचाई और उसके जेनरेटर की लंबाई जानते हैं, तो आप जेनरेटर के वर्ग और ऊंचाई के वर्ग के बीच के अंतर के वर्गमूल को निकालकर इसके आधार की त्रिज्या का पता लगा सकते हैं।:
r=l2 - h2
फिर, ऊपर दिए गए सूत्र का उपयोग करके शंकु का आयतन ज्ञात करें।
झुका हुआ शंकु आयतन
चूंकि शंकु के आयतन का सूत्र सभी प्रकार के परिक्रमण पिंडों के लिए समान है, इसलिए इसकी गणना में अंतर ऊंचाई की खोज का है।
एक झुके हुए शंकु की ऊंचाई का पता लगाने के लिए, इनपुट डेटा में जेनरेटर की लंबाई, आधार की त्रिज्या और केंद्र के बीच की दूरी शामिल होनी चाहिएआधार और उसके आधार के तल के साथ शरीर की ऊंचाई का प्रतिच्छेदन। यह जानकर आप आसानी से आधार व्यास के उस हिस्से की गणना कर सकते हैं, जो एक समकोण त्रिभुज का आधार होगा (ऊंचाई, जेनरेटर और आधार के तल से बनता है)। फिर, पाइथागोरस प्रमेय का उपयोग करते हुए, शंकु की ऊंचाई और बाद में इसके आयतन की गणना करें।
