अंतरिक्ष में ज्यामितीय समस्याओं को हल करते समय होने वाली आकृतियों में से एक शंकु है। यह, पॉलीहेड्रा के विपरीत, घूर्णन के आंकड़ों के वर्ग के अंतर्गत आता है। आइए लेख में विचार करें कि ज्यामिति में इसका क्या अर्थ है, और शंकु के विभिन्न वर्गों की विशेषताओं का पता लगाएं।
ज्यामिति में शंकु
मान लीजिए कि समतल पर कुछ वक्र है। यह एक परवलय, एक वृत्त, एक दीर्घवृत्त, आदि हो सकता है। एक बिंदु लें जो निर्दिष्ट विमान से संबंधित नहीं है, और वक्र के सभी बिंदुओं को इससे जोड़ दें। परिणामी सतह को शंकु या केवल एक शंकु कहा जाता है।
यदि मूल वक्र बंद है, तो शंक्वाकार सतह को पदार्थ से भरा जा सकता है। इस प्रकार प्राप्त आकृति त्रिविमीय पिण्ड है। इसे कोन भी कहते हैं। कई कागज शंकु नीचे दिखाए गए हैं।
शंक्वाकार सतह रोजमर्रा की जिंदगी में पाई जाती है। उदाहरण के लिए, एक आइसक्रीम कोन या एक धारीदार ट्रैफिक कोन का यह आकार होता है, जिसे ड्राइवरों का ध्यान आकर्षित करने के लिए डिज़ाइन किया गया है औरपैदल चलने वाले।
शंकु के प्रकार
जैसा कि आप अनुमान लगा सकते हैं, विचाराधीन आंकड़े वक्र के प्रकार से एक दूसरे से भिन्न होते हैं जिस पर वे बनते हैं। उदाहरण के लिए, एक गोल शंकु या अण्डाकार शंकु है। इस वक्र को आकृति का आधार कहते हैं। हालांकि, आधार का आकार ही एकमात्र विशेषता नहीं है जो शंकु के वर्गीकरण की अनुमति देता है।
दूसरी महत्वपूर्ण विशेषता आधार के सापेक्ष ऊंचाई की स्थिति है। एक शंकु की ऊंचाई एक सीधी रेखा खंड है, जो आकृति के शीर्ष से आधार के तल तक कम होती है और इस तल के लंबवत होती है। यदि ऊँचाई आधार को ज्यामितीय केंद्र में काटती है (उदाहरण के लिए, वृत्त के केंद्र में), तो शंकु सीधा होगा, यदि लंबवत खंड आधार के किसी अन्य बिंदु पर या उससे आगे गिरता है, तो आकृति होगी तिरछा।
आगे लेख में हम केवल एक गोल सीधे शंकु पर विचार करेंगे जो आंकड़ों के माने गए वर्ग के एक उज्ज्वल प्रतिनिधि के रूप में है।
शंकु तत्वों के ज्यामितीय नाम
ऊपर कहा गया था कि शंकु का आधार होता है। यह एक वृत्त से घिरा होता है, जिसे शंकु का मार्गदर्शक कहा जाता है। गाइड को उस बिंदु से जोड़ने वाले खंड जो आधार के तल में नहीं होते हैं, जनरेटर कहलाते हैं। जनित्रों के सभी बिन्दुओं के समुच्चय को आकृति का शंक्वाकार या पार्श्व पृष्ठ कहते हैं। एक गोल दाहिने शंकु के लिए, सभी जनरेटर की लंबाई समान होती है।
वह बिंदु जहाँ जनित्र प्रतिच्छेद करते हैं, आकृति का शीर्ष कहलाता है। पॉलीहेड्रा के विपरीत, एक शंकु में एक ही शीर्ष होता है और नहींकिनारे।
आकृति के शीर्ष और वृत्त के केंद्र से गुजरने वाली एक सीधी रेखा को अक्ष कहा जाता है। अक्ष में एक सीधे शंकु की ऊंचाई होती है, इसलिए यह आधार के तल के साथ एक समकोण बनाता है। शंकु के अक्षीय खंड के क्षेत्र की गणना करते समय यह जानकारी महत्वपूर्ण है।
गोला सीधा शंकु - घूर्णन आकृति
माना गया शंकु एक काफी सममित आकृति है, जिसे त्रिभुज के घूर्णन के परिणामस्वरूप प्राप्त किया जा सकता है। मान लीजिए कि हमारे पास एक समकोण त्रिभुज है। एक शंकु प्राप्त करने के लिए, इस त्रिभुज को एक पैर के चारों ओर घुमाने के लिए पर्याप्त है जैसा कि नीचे दिए गए चित्र में दिखाया गया है।
यह देखा जा सकता है कि घूर्णन की धुरी शंकु की धुरी है। पैरों में से एक आकृति की ऊंचाई के बराबर होगा, और दूसरा पैर आधार की त्रिज्या बन जाएगा। घूर्णन के परिणामस्वरूप त्रिभुज का कर्ण एक शंक्वाकार सतह का वर्णन करेगा। यह शंकु का जनक होगा।
एक गोल सीधा शंकु प्राप्त करने की यह विधि आकृति के रैखिक मापदंडों के बीच गणितीय संबंध का अध्ययन करने के लिए उपयोग करने के लिए सुविधाजनक है: ऊंचाई h, गोल आधार की त्रिज्या r और गाइड g। समकोण त्रिभुज के गुणों से संबंधित सूत्र निम्नानुसार है। यह नीचे सूचीबद्ध है:
जी2=एच2+ आर2।
चूंकि हमारे पास एक समीकरण और तीन चर हैं, इसका मतलब है कि एक गोल शंकु के मापदंडों को विशिष्ट रूप से निर्धारित करने के लिए, आपको किन्हीं दो मात्राओं को जानना होगा।
एक समतल द्वारा शंकु का वह भाग जिसमें आकृति का शीर्ष शामिल नहीं है
एक आकृति के वर्गों के निर्माण का प्रश्न नहीं हैतुच्छ। तथ्य यह है कि सतह द्वारा शंकु के खंड का आकार आकृति और छेदक की सापेक्ष स्थिति पर निर्भर करता है।
मान लें कि हम शंकु को एक समतल से काटते हैं। इस ज्यामितीय संक्रिया का परिणाम क्या होगा? अनुभाग आकार विकल्प नीचे दिए गए चित्र में दिखाए गए हैं।
गुलाबी भाग एक वृत्त है। यह शंकु के आधार के समानांतर एक विमान के साथ आकृति के प्रतिच्छेदन के परिणामस्वरूप बनता है। ये आकृति की धुरी के लंबवत खंड हैं। काटने वाले तल के ऊपर बनी आकृति मूल शंकु के समान एक शंकु है, लेकिन आधार पर एक छोटा वृत्त है।
हरा भाग एक दीर्घवृत्त है। यह तब प्राप्त होता है जब काटने वाला विमान आधार के समानांतर न हो, लेकिन यह केवल शंकु की पार्श्व सतह को काटता है। समतल के ऊपर काटी गई आकृति को अण्डाकार तिरछा शंकु कहा जाता है।
नीले और नारंगी खंड क्रमशः परवलयिक और अतिशयोक्तिपूर्ण हैं। जैसा कि आप आकृति से देख सकते हैं, वे प्राप्त होते हैं यदि काटने वाला विमान एक साथ पार्श्व सतह और आकृति के आधार को काटता है।
शंकु के उन वर्गों के क्षेत्रों को निर्धारित करने के लिए जिन पर विचार किया गया था, समतल पर संबंधित आकृति के लिए सूत्रों का उपयोग करना आवश्यक है। उदाहरण के लिए, एक वृत्त के लिए, यह त्रिज्या के वर्ग से पाई गुणा की गई संख्या है, और एक दीर्घवृत्त के लिए, यह पाई का गुणनफल है और लघु और प्रमुख अर्ध-अक्षों की लंबाई है:
सर्कल: एस=पीआईआर2;
दीर्घवृत्त: S=piab.
शंकु के शीर्ष वाले भाग
अब उन अनुभागों के विकल्पों पर विचार करें जो काटने वाले विमान के होने पर उत्पन्न होते हैंशंकु के शीर्ष से गुजरें। तीन मामले संभव हैं:
- अनुभाग एकल बिंदु है। उदाहरण के लिए, शीर्ष से गुजरने वाला और आधार के समानांतर एक तल ऐसा खंड देता है।
- अनुभाग एक सीधी रेखा है। यह स्थिति तब होती है जब तल एक शंक्वाकार सतह पर स्पर्शरेखा रखता है। इस स्थिति में खण्ड की सीधी रेखा शंकु की जनक होगी।
- अक्षीय खंड। यह तब बनता है जब विमान में न केवल आकृति का शीर्ष होता है, बल्कि इसकी पूरी धुरी भी होती है। इस स्थिति में, तल गोल आधार के लंबवत होगा और शंकु को दो बराबर भागों में विभाजित करेगा।
जाहिर है, पहले दो प्रकार के वर्गों का क्षेत्रफल शून्य के बराबर होता है। तीसरे प्रकार के शंकु के क्रॉस-सेक्शनल क्षेत्र के लिए, इस मुद्दे पर अगले पैराग्राफ में अधिक विस्तार से चर्चा की गई है।
अक्षीय खंड
ऊपर यह नोट किया गया था कि शंकु का अक्षीय खंड वह आकृति है जो शंकु को उसके अक्ष से गुजरने वाले समतल द्वारा प्रतिच्छेदित करने पर बनती है। यह अनुमान लगाना आसान है कि यह खंड नीचे दिए गए चित्र में दिखाए गए चित्र का प्रतिनिधित्व करेगा।
यह एक समद्विबाहु त्रिभुज है। शंकु के अक्षीय खंड का शीर्ष इस त्रिभुज का शीर्ष है, जो समरूप भुजाओं के प्रतिच्छेदन से बनता है। उत्तरार्द्ध शंकु के जनक की लंबाई के बराबर हैं। त्रिभुज का आधार शंकु के आधार का व्यास है।
शंकु के अक्षीय खंड के क्षेत्रफल की गणना करने से परिणामी त्रिभुज का क्षेत्रफल ज्ञात होता है। यदि आधार r की त्रिज्या और शंकु की ऊँचाई h शुरू में ज्ञात हो, तो विचाराधीन खंड का क्षेत्रफल S होगा:
एस=एचआर.
यहयह व्यंजक एक त्रिभुज के क्षेत्रफल के लिए मानक सूत्र लागू करने का परिणाम है (आधार से ऊँचाई के गुणनफल का आधा)।
ध्यान दें कि यदि एक शंकु का जनक उसके गोल आधार के व्यास के बराबर है, तो शंकु का अक्षीय खंड एक समबाहु त्रिभुज है।
एक त्रिकोणीय खंड बनता है जब काटने वाला विमान शंकु के आधार पर लंबवत होता है और अपनी धुरी से गुजरता है। नामित के समानांतर कोई अन्य विमान खंड में एक अतिपरवलय देगा। हालाँकि, यदि समतल में शंकु का शीर्ष शामिल है और इसके आधार को व्यास से नहीं काटता है, तो परिणामी खंड भी एक समद्विबाहु त्रिभुज होगा।
शंकु के रैखिक मापदंडों को निर्धारित करने की समस्या
आइए दिखाते हैं कि ज्यामितीय समस्या को हल करने के लिए अक्षीय खंड के क्षेत्र के लिए लिखे गए सूत्र का उपयोग कैसे करें।
यह ज्ञात है कि शंकु के अक्षीय खंड का क्षेत्रफल 100 सेमी2 है। परिणामी त्रिभुज समबाहु है। शंकु की ऊंचाई और उसके आधार की त्रिज्या क्या है?
चूंकि त्रिभुज समबाहु है, इसलिए इसकी ऊंचाई h भुजा की लंबाई से संबंधित है:
एच=3/2ए.
यह देखते हुए कि त्रिभुज की भुजा शंकु के आधार की त्रिज्या की दोगुनी है, और इस व्यंजक को अनुप्रस्थ काट के क्षेत्रफल के सूत्र में प्रतिस्थापित करने पर, हमें प्राप्त होता है:
एस=एचआर=√3/22आरआर=>
r=(एस/√3)।
तो शंकु की ऊंचाई है:
h=√3/22r=√3√(S/√3)=√(√3S).
यह समस्या की स्थिति से क्षेत्र के मूल्य को प्रतिस्थापित करने के लिए बनी हुई हैऔर उत्तर प्राप्त करें:
r=√(100/√3) ≈ 7.60 सेमी;
एच=√(√3100) ≈ 13, 16 सेमी.
किस क्षेत्रों में माना वर्गों के मापदंडों को जानना महत्वपूर्ण है?
विभिन्न प्रकार के शंकु वर्गों का अध्ययन न केवल सैद्धांतिक रुचि का है, बल्कि इसके व्यावहारिक अनुप्रयोग भी हैं।
सबसे पहले, यह वायुगतिकी के क्षेत्र पर ध्यान दिया जाना चाहिए, जहां शंकु वर्गों की मदद से ठोस निकायों के आदर्श चिकनी आकार बनाना संभव है।
दूसरा, शंकु खंड प्रक्षेपवक्र होते हैं जिसके साथ अंतरिक्ष वस्तुएं गुरुत्वाकर्षण क्षेत्रों में चलती हैं। सिस्टम के ब्रह्मांडीय निकायों के आंदोलन के प्रक्षेपवक्र का प्रतिनिधित्व करने वाला विशिष्ट प्रकार का खंड उनके द्रव्यमान, पूर्ण वेग और उनके बीच की दूरी के अनुपात से निर्धारित होता है।
