पाठक के लिए यह कल्पना करना आसान बनाने के लिए कि हाइपरबोलॉइड क्या है - एक त्रि-आयामी वस्तु - आपको पहले उसी नाम के घुमावदार हाइपरबोला पर विचार करने की आवश्यकता है, जो दो-आयामी स्थान में फिट बैठता है।
एक अतिपरवलय में दो अक्ष होते हैं: वास्तविक एक, जो इस आकृति में भुज अक्ष के साथ मेल खाता है, और काल्पनिक एक, y-अक्ष के साथ। यदि आप मानसिक रूप से हाइपरबोला के समीकरण को उसके काल्पनिक अक्ष के चारों ओर मोड़ना शुरू करते हैं, तो वक्र द्वारा "देखी गई" सतह एक सिंगल-शीटेड हाइपरबोलॉइड होगी।
हालांकि, यदि हम अतिपरवलय को उसके वास्तविक अक्ष के चारों ओर इस तरह से घुमाना शुरू करते हैं, तो वक्र के दो "हिस्सों" में से प्रत्येक अपनी अलग सतह बनाएगा, और साथ में इसे दो- शीटेड हाइपरबोलाइड।
संबंधित समतल वक्र को घुमाकर प्राप्त किया जाता है, वे क्रमशः घूर्णन के अतिपरवलयज कहलाते हैं। उनके पास रोटेशन की धुरी के लंबवत सभी दिशाओं में पैरामीटर हैं,घुमावदार वक्र से संबंधित। सामान्य तौर पर, ऐसा नहीं है।
हाइपरबोलॉइड समीकरण
सामान्य तौर पर, कार्टेशियन निर्देशांक (x, y, z) में निम्नलिखित समीकरणों द्वारा एक सतह को परिभाषित किया जा सकता है:
क्रांति के अतिपरवलयज के मामले में, जिस अक्ष के चारों ओर वह घूमता है, उसके बारे में इसकी समरूपता गुणांक a=b की समानता में व्यक्त की जाती है।
हाइपरबोलॉइड विशेषताएँ
उसके पास एक चाल है। हम जानते हैं कि एक विमान पर वक्रों का फोकस होता है - एक हाइपरबोला के मामले में, उदाहरण के लिए, हाइपरबोला पर एक मनमाना बिंदु से दूरी में अंतर का मॉड्यूल एक फोकस और दूसरा परिभाषा के अनुसार स्थिर होता है, वास्तव में, फोकस का अंक।
त्रि-आयामी अंतरिक्ष में जाने पर, परिभाषा व्यावहारिक रूप से नहीं बदलती है: फ़ॉसी फिर से दो बिंदु होते हैं, और हाइपरबोलॉइड सतह से संबंधित एक मनमाना बिंदु से दूरी में अंतर स्थिर होता है। जैसा कि आप देख सकते हैं, सभी संभावित बिंदुओं के परिवर्तनों से केवल तीसरा समन्वय दिखाई दिया, क्योंकि अब वे अंतरिक्ष में सेट हैं। सामान्यतया, फ़ोकस को परिभाषित करना वक्र या सतह के प्रकार की पहचान करने के बराबर है: इस बारे में बात करके कि सतह के बिंदु फ़ॉसी के सापेक्ष कैसे स्थित हैं, हम वास्तव में इस प्रश्न का उत्तर देते हैं कि हाइपरबोलॉइड क्या है और यह कैसा दिखता है।
यह याद रखने योग्य है कि हाइपरबोला में स्पर्शोन्मुख - सीधी रेखाएँ होती हैं, जिनसे इसकी शाखाएँ अनंत होती हैं। यदि, क्रांति के अतिपरवलयज का निर्माण करते समय, कोई व्यक्ति अतिपरवलय के साथ स्पर्शोन्मुख को मानसिक रूप से घुमाता है, तो अतिपरवलय के अतिरिक्त, उसे स्पर्शोन्मुख नामक एक शंकु भी प्राप्त होगा। स्पर्शोन्मुख शंकु हैएक शीट और दो शीट वाले हाइपरबोलॉइड के लिए।
एक और महत्वपूर्ण विशेषता है कि केवल एक शीट वाले हाइपरबोलॉइड में रेक्टिलिनियर जनरेटर होते हैं। जैसा कि नाम से ही स्पष्ट है, ये रेखाएँ हैं, और ये पूरी तरह से किसी दी गई सतह पर स्थित होती हैं। दो रेक्टिलिनियर जनरेटर एक-शीट वाले हाइपरबोलाइड के प्रत्येक बिंदु से गुजरते हैं। वे क्रमशः रेखाओं के दो परिवारों से संबंधित हैं, जिनका वर्णन निम्नलिखित समीकरण प्रणालियों द्वारा किया गया है:
इस प्रकार, एक शीट वाले हाइपरबोलॉइड पूरी तरह से दो परिवारों की अनंत संख्या में सीधी रेखाओं से बना हो सकता है, और उनमें से प्रत्येक की प्रत्येक पंक्ति दूसरे की सभी रेखाओं के साथ प्रतिच्छेद करेगी। ऐसे गुणों से संबंधित सतहों को शासित कहा जाता है; उनका निर्माण एक सीधी रेखा के घूर्णन का उपयोग करके किया जा सकता है। अंतरिक्ष में रेखाओं (रेक्टिलिनियर जेनरेटर) की पारस्परिक व्यवस्था के माध्यम से परिभाषा भी हाइपरबोलाइड क्या है, इसका एक स्पष्ट पदनाम के रूप में काम कर सकता है।
एक अतिपरवलयज के दिलचस्प गुण
द्वितीय क्रम के वक्र और क्रांति की उनकी संगत सतहों में से प्रत्येक में फ़ॉसी से जुड़े दिलचस्प ऑप्टिकल गुण होते हैं। हाइपरबोलॉइड के मामले में, यह इस प्रकार तैयार किया जाता है: यदि एक किरण को एक फोकस से निकाल दिया जाता है, तो, निकटतम "दीवार" से परावर्तित होने पर, यह इस तरह की दिशा लेगा जैसे कि यह दूसरे फोकस से आया हो।
जीवन में हाइपरबोलॉइड
सबसे अधिक संभावना है, अधिकांश पाठकों ने एलेक्सी टॉल्स्टॉय के एक विज्ञान कथा उपन्यास से विश्लेषणात्मक ज्यामिति और दूसरे क्रम की सतहों के साथ अपने परिचित की शुरुआत की।"हाइपरबोलॉइड इंजीनियर गारिन"। हालाँकि, लेखक स्वयं या तो अच्छी तरह से नहीं जानता था कि हाइपरबोलॉइड क्या है, या कलात्मकता के लिए सटीकता का त्याग किया: वर्णित आविष्कार, भौतिक विशेषताओं के संदर्भ में, बल्कि एक परवलयिक है जो सभी किरणों को एक फोकस में एकत्र करता है (जबकि हाइपरबोलाइड के प्रकाशीय गुण किरणों के प्रकीर्णन से जुड़े होते हैं).
तथाकथित हाइपरबोलॉइड संरचनाएं वास्तुकला में बहुत लोकप्रिय हैं: ये ऐसी संरचनाएं हैं जो एक सिंगल-शीट हाइपरबोलॉइड या हाइपरबॉलिक पैराबोलॉइड के आकार में हैं। तथ्य यह है कि केवल दूसरे क्रम की क्रांति की इन सतहों में रेक्टिलिनियर जनरेटर होते हैं: इस प्रकार, एक घुमावदार संरचना केवल सीधे बीम से बनाई जा सकती है। ऐसी संरचनाओं के फायदे भारी भार का सामना करने की क्षमता में हैं, उदाहरण के लिए, हवा से: हाइपरबोलॉइड आकार का उपयोग लंबी संरचनाओं के निर्माण में किया जाता है, उदाहरण के लिए, टेलीविजन टॉवर।
