संभाव्यता सिद्धांत यादृच्छिक चर के साथ काम करता है। यादृच्छिक चर के लिए, तथाकथित वितरण कानून हैं। ऐसा कानून अपने यादृच्छिक चर का पूर्ण पूर्णता के साथ वर्णन करता है। हालांकि, यादृच्छिक चर के वास्तविक सेट के साथ काम करते समय, उनके वितरण के कानून को तुरंत स्थापित करना बहुत मुश्किल होता है और संख्यात्मक विशेषताओं के एक निश्चित सेट तक सीमित होता है। उदाहरण के लिए, यादृच्छिक चर के माध्य और प्रसरण की गणना करना अक्सर बहुत उपयोगी होता है।
इसकी आवश्यकता क्यों है
यदि गणितीय अपेक्षा का सार मात्रा के माध्य मान के करीब है, तो इस मामले में फैलाव बताता है कि इस गणितीय अपेक्षा के आसपास हमारी मात्रा के मान कैसे बिखरे हुए हैं। उदाहरण के लिए, यदि हम लोगों के समूह के आईक्यू को मापते हैं और माप परिणामों (नमूना) की जांच करना चाहते हैं, तो गणितीय अपेक्षा लोगों के इस समूह के लिए खुफिया भागफल का अनुमानित औसत मूल्य दिखाएगी, और यदि हम नमूना भिन्नता की गणना करते हैं, हम यह पता लगाएंगे कि परिणामों को गणितीय अपेक्षा के आसपास कैसे समूहित किया जाता है: इसके पास एक गुच्छा (IQ में छोटा बदलाव) या न्यूनतम से अधिकतम परिणाम (बड़ी भिन्नता, और कहीं बीच में - गणितीय अपेक्षा) की पूरी सीमा पर समान रूप से।.
विचरण की गणना करने के लिए, आपको एक यादृच्छिक चर की एक नई विशेषता की आवश्यकता है - गणितीय से मान का विचलनप्रतीक्षा.
विचलन
विचरण की गणना कैसे करें यह समझने के लिए, आपको पहले विचलन को समझना होगा। इसकी परिभाषा उस मान के बीच का अंतर है जो एक यादृच्छिक चर लेता है और इसकी गणितीय अपेक्षा है। मोटे तौर पर, यह समझने के लिए कि एक मूल्य "बिखरे हुए" कैसे है, आपको यह देखने की जरूरत है कि इसका विचलन कैसे वितरित किया जाता है। अर्थात्, हम मूल्य के मान को चटाई से उसके विचलन के मान से प्रतिस्थापित करते हैं। उम्मीदें और इसके वितरण कानून का पता लगाएं।
एक असतत का वितरण कानून, यानी एक यादृच्छिक चर जो व्यक्तिगत मूल्यों को लेता है, एक तालिका के रूप में लिखा जाता है, जहां मूल्य का मूल्य इसके होने की संभावना के साथ सहसंबद्ध होता है। फिर, विचलन वितरण कानून में, यादृच्छिक चर को उसके सूत्र द्वारा प्रतिस्थापित किया जाएगा, जिसमें एक मान है (जिसने इसकी संभावना बरकरार रखी है) और इसकी अपनी चटाई है। प्रतीक्षा.
एक यादृच्छिक चर के विचलन के वितरण के नियम के गुण
हमने एक यादृच्छिक चर के विचलन के लिए वितरण नियम लिखा है। इससे, हम केवल गणितीय अपेक्षा जैसी विशेषता को ही निकाल सकते हैं। सुविधा के लिए एक संख्यात्मक उदाहरण लेना बेहतर है।
मान लें कि कुछ यादृच्छिक चर का वितरण नियम है: X - मान, p - प्रायिकता।
हम सूत्र और तुरंत विचलन का उपयोग करके गणितीय अपेक्षा की गणना करते हैं।
नई विचलन वितरण तालिका बनाना।
हम यहां भी उम्मीद की गणना करते हैं।
जीरो हो जाता है। केवल एक उदाहरण है, लेकिन यह हमेशा ऐसा ही रहेगा: सामान्य मामले में इसे साबित करना मुश्किल नहीं है। विचलन की गणितीय अपेक्षा के सूत्र को एक यादृच्छिक चर की गणितीय अपेक्षाओं के बीच अंतर में विघटित किया जा सकता है और, चाहे वह कितना भी टेढ़ा क्यों न हो, चटाई की गणितीय अपेक्षा। उम्मीदें (पुनरावृत्ति, हालांकि), जो समान हैं, इसलिए उनका अंतर शून्य होगा।
यह अपेक्षित है: आखिरकार, संकेत में विचलन सकारात्मक और नकारात्मक दोनों हो सकते हैं, इसलिए उन्हें औसतन शून्य देना चाहिए।
असतत मामले के विचरण की गणना कैसे करें। मात्रा
अगर चटाई। विचलन अपेक्षा की गणना करना व्यर्थ है, आपको कुछ और देखना होगा। आप बस विचलन (मॉड्यूलो) के निरपेक्ष मान ले सकते हैं; लेकिन मॉड्यूल के साथ, सब कुछ इतना आसान नहीं है, इसलिए विचलन को चुकता किया जाता है, और फिर उनकी गणितीय अपेक्षा की गणना की जाती है। दरअसल, इसका मतलब यह है कि जब वे विचरण की गणना करने के बारे में बात करते हैं।
अर्थात, हम विचलन लेते हैं, उनका वर्ग करते हैं, और वर्ग विचलन और प्रायिकताओं की एक तालिका बनाते हैं जो यादृच्छिक चर के अनुरूप होती हैं। यह एक नया वितरण कानून है। गणितीय अपेक्षा की गणना करने के लिए, आपको विचलन और प्रायिकता के वर्ग के गुणनफल जोड़ने होंगे।
आसान फॉर्मूला
हालांकि, लेख की शुरुआत इस तथ्य से हुई कि प्रारंभिक यादृच्छिक चर के वितरण का नियम अक्सर अज्ञात होता है। तो कुछ हल्का चाहिए। वास्तव में, एक और सूत्र है जो आपको केवल चटाई का उपयोग करके नमूना विचरण की गणना करने की अनुमति देता है।प्रतीक्षा:
फैलाव - चटाई के बीच का अंतर। एक यादृच्छिक चर के वर्ग की अपेक्षा और, इसके विपरीत, इसकी चटाई का वर्ग। प्रतीक्षा.
इसके लिए एक प्रमाण है, लेकिन इसे यहां प्रस्तुत करने का कोई मतलब नहीं है, क्योंकि इसका कोई व्यावहारिक मूल्य नहीं है (और हमें केवल विचरण की गणना करने की आवश्यकता है)।
वैरिएबल सीरीज में रैंडम वेरिएबल के विचरण की गणना कैसे करें
वास्तविक आंकड़ों में, सभी यादृच्छिक चर को प्रतिबिंबित करना असंभव है (क्योंकि, मोटे तौर पर, एक नियम के रूप में, उनमें से एक अनंत संख्या है)। इसलिए, अध्ययन में जो कुछ मिलता है वह कुछ सामान्य सामान्य आबादी से तथाकथित प्रतिनिधि नमूना है। और, चूंकि ऐसी सामान्य जनसंख्या से किसी भी यादृच्छिक चर की संख्यात्मक विशेषताओं की गणना नमूने से की जाती है, इसलिए उन्हें नमूना कहा जाता है: नमूना माध्य, क्रमशः नमूना विचरण। आप इसे हमेशा की तरह (वर्ग विचलन के माध्यम से) की तरह ही गणना कर सकते हैं।
हालांकि, इस तरह के फैलाव को पक्षपाती कहा जाता है। निष्पक्ष विचरण सूत्र थोड़ा अलग दिखता है। आमतौर पर इसकी गणना करने की आवश्यकता होती है।
छोटा जोड़
फैलाव के साथ एक और संख्यात्मक विशेषता जुड़ी हुई है। यह मूल्यांकन करने के लिए भी कार्य करता है कि यादृच्छिक चर अपनी चटाई के चारों ओर कैसे बिखरता है। अपेक्षाएं। विचरण और मानक विचलन की गणना करने के तरीके में बहुत अंतर नहीं है: उत्तरार्द्ध पूर्व का वर्गमूल है।
