शुरू से ही यह याद दिलाया जाना चाहिए, ताकि बाद में भ्रमित न हों: संख्याएँ हैं - उनमें से 10 हैं। 0 से 9 तक। संख्याएँ हैं, और उनमें संख्याएँ हैं। अपरिमित रूप से अनेक संख्याएँ हैं। निश्चित रूप से आकाश के तारों से भी अधिक।
गणितीय व्यंजक गणितीय प्रतीकों का उपयोग करके लिखा गया एक निर्देश है, परिणाम प्राप्त करने के लिए संख्याओं के साथ किन क्रियाओं को करने की आवश्यकता होती है। आंकड़ों के अनुसार, वांछित परिणाम तक "पहुंच"ने के लिए नहीं, बल्कि यह पता लगाने के लिए कि उनमें से कितने थे। लेकिन क्या हुआ और कब - अब अंकगणित के हितों के दायरे में नहीं है। साथ ही, क्रियाओं के क्रम में गलती न करना महत्वपूर्ण है, जो पहले है - जोड़ या गुणा? स्कूल में एक अभिव्यक्ति को कभी-कभी "उदाहरण" कहा जाता है।
जोड़ और घटाव
संख्याओं से कौन-कौन से कार्य किए जा सकते हैं? दो बुनियादी हैं। यह जोड़ और घटाव है। अन्य सभी क्रियाएं इन दोनों पर बनी हैं।
सबसे सरल मानव क्रिया: पत्थरों के दो ढेर लें और उन्हें एक में मिला लें। यह जोड़ है। ऐसी क्रिया का परिणाम प्राप्त करने के लिए, आप शायद यह भी नहीं जानते होंगे कि जोड़ क्या है। पेट्या से पत्थरों का एक गुच्छा और वास्या से पत्थरों का एक गुच्छा लेने के लिए पर्याप्त है। सब कुछ एक साथ रखो, सब कुछ फिर से गिनें। नए ढेर से पत्थरों की क्रमिक गिनती का नया परिणाम योग है।
इसी तरह आप नहीं जान सकते कि घटाव क्या होता है, बस पत्थरों के ढेर को दो भागों में ले लीजिए या ढेर से पत्थरों की एक निश्चित संख्या ले लीजिए। तो जिसे अंतर कहते हैं वह ढेर में रहेगा। आप केवल वही ले सकते हैं जो ढेर में है। इस लेख में क्रेडिट और अन्य आर्थिक शर्तों पर विचार नहीं किया गया है।
हर बार पत्थरों की गिनती न करने के लिए, क्योंकि ऐसा होता है कि उनमें से बहुत सारे हैं और वे भारी हैं, वे गणितीय कार्यों के साथ आए: जोड़ और घटाव। और इन कार्यों के लिए वे एक गणना तकनीक के साथ आए।
किन्हीं दो संख्याओं का योग बिना किसी तकनीक के मूर्खतापूर्ण ढंग से याद किया जाता है। 2 जमा 5 बराबर सात। आप लाठी, पत्थर, मछली के सिर गिनने पर भरोसा कर सकते हैं - परिणाम समान है। पहले 2 छड़ें रखें, फिर 5, और फिर सब कुछ एक साथ गिनें। कोई दूसरा रास्ता नहीं है।
जो होशियार होते हैं, आमतौर पर कैशियर और छात्र, अधिक याद करते हैं, न केवल दो अंकों का योग, बल्कि संख्याओं का योग भी। लेकिन सबसे महत्वपूर्ण बात यह है कि वे विभिन्न तकनीकों का उपयोग करके अपने दिमाग में संख्याएं जोड़ सकते हैं। इसे कहते हैं मानसिक गिनती का कौशल।
दहाई, सैकड़ा, हज़ार और उससे भी बड़े अंकों वाली संख्याओं को जोड़ने के लिए उपयोग करेंविशेष तकनीक - कॉलम जोड़ या कैलकुलेटर। कैलकुलेटर के साथ, आप संख्याएं भी नहीं जोड़ सकते हैं, और आपको आगे पढ़ने की आवश्यकता नहीं है।
कॉलम जोड़ एक ऐसी विधि है जो आपको केवल अंकों को जोड़ने के परिणामों को सीखकर बड़ी (बहु-अंकीय) संख्याओं को जोड़ने की अनुमति देती है। एक कॉलम जोड़ते समय, दो संख्याओं के संबंधित दशमलव अंक क्रमिक रूप से जोड़े जाते हैं (अर्थात, वास्तव में दो अंक), यदि दो अंकों को जोड़ने का परिणाम 10 से अधिक है, तो इस योग के केवल अंतिम अंक को ध्यान में रखा जाता है - की इकाइयाँ संख्या, और 1.
को निम्नलिखित अंकों के योग में जोड़ा जाता है
गुणा
गणितज्ञ गणना को आसान बनाने के लिए समान क्रियाओं को एक साथ समूहित करना पसंद करते हैं। तो गुणन की संक्रिया समान क्रियाओं का एक समूह है - समान संख्याओं का योग। कोई भी उत्पाद N x M - संख्या M के योग का N संक्रिया है। यह समान पदों के योग को लिखने का एक रूप है।
उत्पाद की गणना करने के लिए, एक ही विधि का उपयोग किया जाता है - पहले, एक दूसरे के खिलाफ अंकों के गुणन की तालिका को मूर्खतापूर्ण रूप से याद किया जाता है, और फिर बिटवाइज गुणन विधि लागू की जाती है, जिसे "एक कॉलम में" कहा जाता है।
जो पहले आता है, गुणा या जोड़?
कोई भी गणितीय अभिव्यक्ति वास्तव में किसी भी क्रिया के परिणामों के बारे में "फ़ील्ड से" लेखाकार का एक रिकॉर्ड है। मान लीजिए टमाटर की कटाई करते हैं:
- 5 वयस्क श्रमिकों ने 500-500 टमाटर चुने और कोटा पूरा किया।
- 2 स्कूली बच्चे गणित की कक्षाओं में नहीं जाते थे और वयस्कों की मदद करते थे: उन्होंने प्रत्येक में 50 टमाटर चुने, मानक को पूरा नहीं किया, 30 टमाटर खाए, काट लिया औरएक और 60 टमाटर खराब कर दिए, सहायकों की जेब से 70 टमाटर ले लिए गए। वे उन्हें अपने साथ मैदान में क्यों ले गए यह स्पष्ट नहीं है।
सभी टमाटर लेखाकार को सौंपे गए, उसने ढेर में ढेर कर दिए।
"कटाई" के परिणाम को एक व्यंजक के रूप में लिखें:
- 500 + 500 + 500 + 500 + 500 वयस्क श्रमिकों के समूह हैं;
- 50 + 50 कम उम्र के श्रमिकों के समूह हैं;
- 70 - स्कूली बच्चों की जेब से लिया गया (खराब और काटे गए परिणाम की गणना नहीं की जाती है)।
स्कूल के लिए एक उदाहरण प्राप्त करें, प्रदर्शन रिकॉर्ड का रिकॉर्ड:
500 + 500 +500 +500 +500 + 50 +50 + 70=?;
यहां आप समूहीकरण लागू कर सकते हैं: 500 टमाटर के 5 ढेर - इसे गुणन संक्रिया के माध्यम से लिखा जा सकता है: 5 500।
50 के दो ढेर - इसे गुणा करके भी लिखा जा सकता है।
और 70 टमाटर का एक गुच्छा।
5 500 + 2 50 + 1 70=?
और उदाहरण में पहले क्या करें - गुणा या जोड़? तो, आप केवल टमाटर डाल सकते हैं। आप 500 टमाटर और 2 ढेर एक साथ नहीं रख सकते। वे ढेर नहीं होते। इसलिए, सबसे पहले, सभी रिकॉर्ड्स को मूल जोड़ संचालन में लाना हमेशा आवश्यक होता है, अर्थात, सबसे पहले, सभी समूह-गुणा कार्यों की गणना करना। बहुत ही सरल शब्दों में, पहले गुणन किया जाता है, और उसके बाद ही जोड़ दिया जाता है। यदि आप 500 टमाटरों के 5 ढेरों को गुणा करते हैं, तो आपको 2500 टमाटर मिलते हैं। और फिर उन्हें पहले से ही अन्य बवासीर से टमाटर के साथ ढेर किया जा सकता है।
2500 + 100 + 70=2 670
जब कोई बच्चा गणित सीखता है, तो उसे यह बताना आवश्यक है कि यह दैनिक जीवन में उपयोग किया जाने वाला उपकरण है।गणितीय अभिव्यक्तियाँ, वास्तव में (प्राथमिक विद्यालय के सरलतम संस्करण में), माल की मात्रा, धन (स्कूली बच्चों द्वारा बहुत आसानी से समझी जाने वाली) और अन्य वस्तुओं के बारे में गोदाम रिकॉर्ड हैं।
तदनुसार, कोई भी कार्य एक निश्चित संख्या में समान कंटेनरों, बक्सों, ढेरों की सामग्री का योग होता है जिसमें समान संख्या में आइटम होते हैं। और वह पहले गुणन, और फिर जोड़, यानी, पहले आइटमों की कुल संख्या की गणना करना शुरू किया, और फिर उन्हें एक साथ जोड़ना शुरू किया।
डिवीजन
विभाजन संक्रिया को अलग से नहीं माना जाता है, यह गुणन का विलोम है। बक्सों के बीच कुछ वितरित करना आवश्यक है, ताकि सभी बक्सों में समान संख्या में आइटम हों। जीवन में सबसे प्रत्यक्ष एनालॉग पैकेजिंग है।
कोष्ठक
उदाहरणों को हल करने में कोष्ठक का बहुत महत्व होता है। अंकगणित में कोष्ठक - एक गणितीय चिन्ह जिसका उपयोग किसी व्यंजक (उदाहरण) में गणनाओं के अनुक्रम को विनियमित करने के लिए किया जाता है।
गुणा और भाग को जोड़ और घटाव पर वरीयता दी जाती है। और कोष्ठक गुणन और भाग पर पूर्वता लेते हैं।
कोष्ठक में जो कुछ भी है उसका मूल्यांकन पहले किया जाता है। यदि कोष्ठक नेस्टेड हैं, तो पहले आंतरिक कोष्ठक में व्यंजक का मूल्यांकन किया जाता है। और यह एक अपरिवर्तनीय नियम है। जैसे ही कोष्ठक में व्यंजक का मूल्यांकन किया जाता है, कोष्ठक गायब हो जाते हैं और उनके स्थान पर एक संख्या दिखाई देती है। अज्ञात के साथ कोष्ठक का विस्तार करने के विकल्पों पर यहां विचार नहीं किया गया है। यह तब तक किया जाता है जब तक वे सभी अभिव्यक्ति से गायब नहीं हो जाते।
((25-5): 5 + 2): 3=?
- यह एक बड़े बैग में कैंडी बॉक्स की तरह है। पहले आपको सभी बक्से खोलने और उन्हें एक बड़े बैग में डालने की जरूरत है: (25 - 5) u003d 20. बॉक्स से पांच कैंडी तुरंत उत्कृष्ट छात्र ल्यूडा को भेजी गईं, जो बीमार थीं और छुट्टी में भाग नहीं लेती थीं। बाकी कैंडी बैग में है!
- फिर कैंडीज को 5 टुकड़ों के बंडलों में बांधें: 20: 5=4.
- फिर बैग में मिठाई के 2 और गुच्छा डालें ताकि आप बिना किसी लड़ाई के इसे तीन बच्चों में बांट सकें। इस लेख में 3 से विभाजन के चिन्हों पर विचार नहीं किया गया है।
(20: 5 + 2): 3=(4 +2): 3=6: 3=2
कुल: तीन बच्चों में से प्रत्येक के पास मिठाई के दो बंडल (एक बंडल प्रति हाथ), 5 मिठाई प्रति बंडल।
यदि आप व्यंजक में पहले कोष्ठकों की गणना करते हैं और सब कुछ फिर से लिखते हैं, तो उदाहरण छोटा हो जाएगा। बहुत अधिक कागज की खपत के साथ विधि तेज नहीं है, लेकिन आश्चर्यजनक रूप से प्रभावी है। साथ ही पुनर्लेखन करते समय दिमागीपन को प्रशिक्षित करता है। उदाहरण को एक दृश्य में लाया जाता है जब केवल एक प्रश्न शेष रहता है, पहला गुणा या बिना कोष्ठक के जोड़। यही है, ऐसे रूप में, जब अब कोष्ठक नहीं हैं। लेकिन इस सवाल का जवाब पहले से ही है, और जो सबसे पहले आता है, उस पर चर्चा करने का कोई मतलब नहीं है - गुणा या जोड़।
केक पर चेरी
और अंत में। रूसी भाषा के नियम गणितीय अभिव्यक्ति पर लागू नहीं होते हैं - बाएं से दाएं पढ़ें और निष्पादित करें:
5 - 8 + 4=1;
यह सरल उदाहरण किसी बच्चे को उन्माद में ला सकता है या उसकी माँ की शाम को खराब कर सकता है। क्योंकि उसे दूसरे ग्रेडर को समझाना होगा कि ऋणात्मक संख्याएँ हैं। या "मरियावानोव्ना" के अधिकार को नष्ट कर दें, जिन्होंने कहा था कि: "आपको बाएं से दाएं और क्रम में जाने की जरूरत है।"
काफी चेरी
एक उदाहरण वेब पर प्रसारित हो रहा है जो वयस्क चाचाओं और चाचीओं के लिए मुश्किलों का कारण बनता है। यह इस विषय पर बिल्कुल नहीं है कि पहले क्या आता है - गुणा या जोड़। ऐसा लगता है कि आप सबसे पहले कोष्ठक में क्रिया करते हैं।
शर्तों की पुनर्व्यवस्था से योग नहीं बदलता है, न ही कारकों की पुनर्व्यवस्था से। आपको बस एक्सप्रेशन को इस तरह से लिखने की जरूरत है कि बाद में दर्द देने वाली शर्मिंदगी न हो।
6: 2 (1+2)=6 ½ (1+2)=6 ½ ∙ 3=3 ∙ 3=9
अब बस इतना ही!
