मैट्रिक्स बीजगणित: उदाहरण और समाधान

2024 लेखक: Angel Austin | [email protected]. अंतिम बार संशोधित: 2023-12-17 05:27

अठारहवीं और उन्नीसवीं शताब्दी में मैट्रिक्स और निर्धारकों की खोज की गई थी। प्रारंभ में, उनके विकास का संबंध ज्यामितीय वस्तुओं के परिवर्तन और रैखिक समीकरणों की प्रणालियों के समाधान से था। ऐतिहासिक रूप से, प्रारंभिक जोर निर्धारक पर था। आधुनिक रैखिक बीजगणित प्रसंस्करण विधियों में, मैट्रिक्स को पहले माना जाता है। इस प्रश्न पर कुछ देर विचार करने योग्य है।

ज्ञान के इस क्षेत्र से उत्तर

Matrices कई समस्याओं को हल करने के लिए सैद्धांतिक और व्यावहारिक रूप से उपयोगी तरीका प्रदान करता है, जैसे:

• रैखिक समीकरणों के सिस्टम;
• ठोस का संतुलन (भौतिकी में);
• ग्राफ सिद्धांत;
• लियोन्टिफ़ का आर्थिक मॉडल;
• वानिकी;
• कंप्यूटर ग्राफिक्स और टोमोग्राफी;
• आनुवंशिकी;
• क्रिप्टोग्राफी;
• इलेक्ट्रिक नेटवर्क;
• फ्रैक्टल।

वास्तव में, "डमीज" के लिए मैट्रिक्स बीजगणित की एक सरल परिभाषा है। इसे इस प्रकार व्यक्त किया जाता है: यह ज्ञान का एक वैज्ञानिक क्षेत्र है जिसमेंविचाराधीन मूल्यों का अध्ययन, विश्लेषण और पूरी तरह से पता लगाया जाता है। बीजगणित के इस भाग में, अध्ययनाधीन आव्यूह पर विभिन्न संक्रियाओं का अध्ययन किया जाता है।

मैट्रिसेस के साथ कैसे काम करें

इन मूल्यों को समान माना जाता है यदि उनके समान आयाम हैं और एक का प्रत्येक तत्व दूसरे के संबंधित तत्व के बराबर है। मैट्रिक्स को किसी भी स्थिरांक से गुणा करना संभव है। यह दिया गया अदिश गुणन कहलाता है। उदाहरण: 2=[1234]=[2⋅12⋅32⋅22⋅4]=[2468]।

एक ही आकार के मैट्रिक्स को इनपुट द्वारा जोड़ा और घटाया जा सकता है, और संगत आकारों के मूल्यों को गुणा किया जा सकता है। उदाहरण: दो A और B जोड़ें: A=[21−10]B=[1423]। यह संभव है क्योंकि ए और बी दोनों दो पंक्तियों और समान संख्या में स्तंभों के साथ आव्यूह हैं। ए में प्रत्येक तत्व को बी में संबंधित तत्व में जोड़ना आवश्यक है: ए+बी=[2+11+2−1+40+3]=[3333]। बीजगणित में मैट्रिक्स को उसी तरह घटाया जाता है।

मैट्रिक्स गुणन थोड़ा अलग तरीके से काम करता है। इसके अलावा, कई मामले और विकल्प, साथ ही समाधान भी हो सकते हैं। यदि हम मैट्रिक्स Apq और Bmn को गुणा करते हैं, तो उत्पाद Ap×q+Bm×n=[AB]p×n। AB की gth पंक्ति और hth कॉलम में प्रविष्टि g A और h B में संबंधित प्रविष्टियों के गुणनफल का योग है। दो मैट्रिक्स को गुणा करना केवल तभी संभव है जब पहले में कॉलम की संख्या और दूसरे में पंक्तियों की संख्या हो। बराबर हैं। उदाहरण: माने गए A और B के लिए शर्त को पूरा करें: A=[1−130]B=[2−11214]। यह संभव है क्योंकि पहले मैट्रिक्स में 2 कॉलम होते हैं और दूसरे में 2 पंक्तियाँ होती हैं।AB=[1⋅2+3⋅−1−1⋅2+0⋅−11⋅1+3⋅2−1⋅1+0⋅21⋅1+3⋅4−1⋅1+0⋅4]=[−1−27−113−1]।

मैट्रिसेस के बारे में बुनियादी जानकारी

विचाराधीन मान चर और स्थिरांक जैसी सूचनाओं को व्यवस्थित करते हैं और उन्हें पंक्तियों और स्तंभों में संग्रहीत करते हैं, जिन्हें आमतौर पर C कहा जाता है। मैट्रिक्स में प्रत्येक स्थिति को एक तत्व कहा जाता है। उदाहरण: सी=[1234]। दो पंक्तियों और दो स्तंभों से मिलकर बनता है। एलिमेंट 4 पंक्ति 2 और कॉलम 2 में है। आप आमतौर पर एक मैट्रिक्स को उसके आयामों के बाद नाम दे सकते हैं, जिसका नाम Cmk में m पंक्तियाँ और k कॉलम हैं।

विस्तारित मैट्रिक्स

विचार अविश्वसनीय रूप से उपयोगी चीजें हैं जो कई अलग-अलग अनुप्रयोग क्षेत्रों में सामने आती हैं। मैट्रिक्स मूल रूप से रैखिक समीकरणों के सिस्टम पर आधारित थे। असमानताओं की निम्नलिखित संरचना को देखते हुए, निम्नलिखित पूरक मैट्रिक्स को ध्यान में रखा जाना चाहिए:

2x + 3y - z=6

–x – y – z=9

x + y + 6z=0.

सभी ऋण चिह्नों सहित गुणांक और उत्तर मान लिखें। यदि तत्व ऋणात्मक संख्या वाला है, तो यह "1" के बराबर होगा। अर्थात्, (रैखिक) समीकरणों की एक प्रणाली को देखते हुए, इसके साथ एक मैट्रिक्स (कोष्ठक के अंदर संख्याओं का ग्रिड) को जोड़ना संभव है। यह वह है जिसमें केवल रैखिक प्रणाली के गुणांक होते हैं। इसे "विस्तारित मैट्रिक्स" कहा जाता है। प्रत्येक समीकरण के बाईं ओर से गुणांक वाले ग्रिड को प्रत्येक समीकरण के दाईं ओर से उत्तरों के साथ "गद्देदार" किया गया है।

रिकॉर्ड, यानीमैट्रिक्स के बी मान मूल प्रणाली में x-, y- और z मानों के अनुरूप हैं। अगर यह ठीक से व्यवस्थित है, तो सबसे पहले इसकी जांच करें। कभी-कभी आपको अध्ययन या अध्ययन किए जा रहे मैट्रिक्स में प्लेसहोल्डर के रूप में शर्तों को पुनर्व्यवस्थित करने या शून्य डालने की आवश्यकता होती है।

समीकरणों की निम्नलिखित प्रणाली को देखते हुए, हम तुरंत संबद्ध संवर्धित मैट्रिक्स लिख सकते हैं:

x + y=0

y + z=3

z - x=2.

सबसे पहले, सिस्टम को इस प्रकार पुनर्व्यवस्थित करना सुनिश्चित करें:

x + y=0

y + z=3

–x + z=2.

फिर संबंधित मैट्रिक्स को इस प्रकार लिखना संभव है: [110001113-1012]। एक विस्तारित एक बनाते समय, किसी भी रिकॉर्ड के लिए शून्य का उपयोग करना उचित होता है जहां रैखिक समीकरणों की प्रणाली में संबंधित स्थान खाली होता है।

मैट्रिक्स बीजगणित: संचालन के गुण

यदि केवल गुणांक मानों से तत्व बनाना आवश्यक है, तो माना गया मान इस तरह दिखेगा: [110011-101]। इसे "गुणांक मैट्रिक्स" कहा जाता है।

निम्नलिखित विस्तारित मैट्रिक्स बीजगणित को ध्यान में रखते हुए, इसे सुधारना और संबंधित रैखिक प्रणाली को जोड़ना आवश्यक है। कहा जा रहा है, यह याद रखना महत्वपूर्ण है कि उन्हें चर को अच्छी तरह से व्यवस्थित और साफ करने की आवश्यकता होती है। और आमतौर पर जब तीन चर होते हैं, तो उसी क्रम में x, y और z का उपयोग करें। इसलिए, संबंधित रैखिक प्रणाली होनी चाहिए:

x + 3y=4

2y - z=5

3x + z=-2.

मैट्रिक्स का आकार

समस्याओं को अक्सर उनके प्रदर्शन से संदर्भित किया जाता है। बीजगणित में एक मैट्रिक्स का आकार इस प्रकार दिया गया है:माप, चूंकि कमरे को अलग तरह से कहा जा सकता है। मानों की मापी गई माप पंक्तियाँ और स्तंभ हैं, चौड़ाई और लंबाई नहीं। उदाहरण के लिए, मैट्रिक्स ए:

[1234]

[2345]

[3456].

चूंकि A में तीन पंक्तियाँ और चार स्तंभ हैं, A का आकार 3 × 4 है।

→

↓

पंक्तियाँ बग़ल में जाती हैं। कॉलम ऊपर और नीचे जाते हैं। "पंक्ति" और "कॉलम" विनिर्देश हैं और विनिमेय नहीं हैं। मैट्रिक्स आकार हमेशा पंक्तियों की संख्या और फिर स्तंभों की संख्या के साथ निर्दिष्ट होते हैं। इस सम्मेलन के बाद, निम्नलिखित बी:

[123]

[234] 2 × 3 है। यदि किसी मैट्रिक्स में पंक्तियों की संख्या स्तंभों के समान है, तो इसे "वर्ग" कहा जाता है। उदाहरण के लिए, ऊपर से गुणांक मान:

[110]

[011]

[-101] एक 3×3 वर्ग मैट्रिक्स है।

मैट्रिक्स नोटेशन और फॉर्मेटिंग

फ़ॉर्मेटिंग नोट: उदाहरण के लिए, जब आपको एक मैट्रिक्स लिखने की आवश्यकता होती है, तो ब्रैकेट का उपयोग करना महत्वपूर्ण होता है। एब्सोल्यूट वैल्यू बार || का उपयोग नहीं किया जाता है क्योंकि इस संदर्भ में उनकी एक अलग दिशा होती है। कोष्ठक या घुंघराले ब्रेसिज़ {} का कभी भी उपयोग नहीं किया जाता है। या कोई अन्य समूह चिह्न, या बिल्कुल भी नहीं, क्योंकि इन प्रस्तुतियों का कोई अर्थ नहीं है। बीजगणित में, एक मैट्रिक्स हमेशा वर्ग कोष्ठक के अंदर होता है। केवल सही अंकन का उपयोग किया जाना चाहिए, या प्रतिक्रियाओं को विकृत माना जा सकता है।

जैसा कि पहले उल्लेख किया गया है, एक मैट्रिक्स में निहित मूल्यों को रिकॉर्ड कहा जाता है। किसी भी कारण से, विचाराधीन तत्व आमतौर पर लिखे जाते हैंबड़े अक्षर, जैसे कि ए या बी, और प्रविष्टियां संबंधित लोअरकेस अक्षरों का उपयोग करके निर्दिष्ट की जाती हैं, लेकिन सबस्क्रिप्ट के साथ। मैट्रिक्स ए में, मानों को आमतौर पर "एआई, जे" कहा जाता है, जहां मैं ए की पंक्ति है और जे ए का कॉलम है। उदाहरण के लिए, ए 3, 2=8. ए 1, 3 के लिए प्रविष्टि 3 है।

दस से कम पंक्तियों और स्तंभों वाले छोटे मैट्रिक्स के लिए, सबस्क्रिप्ट अल्पविराम को कभी-कभी छोड़ दिया जाता है। उदाहरण के लिए, "a1, 3=3" को "a13=3" के रूप में लिखा जा सकता है। जाहिर है यह बड़े मैट्रिसेस के लिए काम नहीं करेगा क्योंकि a213 अस्पष्ट होगा।

मैट्रिक्स प्रकार

कभी-कभी उनके रिकॉर्ड कॉन्फ़िगरेशन के अनुसार वर्गीकृत किया जाता है। उदाहरण के लिए, ऐसा मैट्रिक्स जिसमें विकर्ण शीर्ष-बाएं-नीचे-दाएं "विकर्ण" के नीचे सभी शून्य प्रविष्टियां हों, ऊपरी त्रिभुज कहलाता है। अन्य बातों के अलावा, अन्य प्रकार और प्रकार हो सकते हैं, लेकिन वे बहुत उपयोगी नहीं हैं। आम तौर पर, ज्यादातर ऊपरी त्रिकोणीय के रूप में माना जाता है। गैर-शून्य घातांक वाले मान केवल क्षैतिज रूप से विकर्ण मान कहलाते हैं। समान प्रकारों में गैर-शून्य प्रविष्टियां होती हैं जिनमें सभी 1 होते हैं, ऐसे उत्तरों को समान कहा जाता है (उन कारणों से जो स्पष्ट हो जाएंगे जब यह सीखा और समझा जाएगा कि प्रश्न में मूल्यों को कैसे गुणा किया जाए)। कई समान अनुसंधान संकेतक हैं। 3 × 3 की पहचान I3 द्वारा निरूपित की जाती है। इसी तरह, 4 × 4 की पहचान I4 है।

मैट्रिक्स बीजगणित और रैखिक स्थान

ध्यान दें कि त्रिभुजाकार आव्यूह वर्गाकार होते हैं। लेकिन विकर्ण त्रिकोणीय हैं। इसे देखते हुए, वे हैंवर्ग। और सर्वसमिकाओं को विकर्ण माना जाता है और इसलिए, त्रिभुज और वर्ग। जब किसी मैट्रिक्स का वर्णन करने की आवश्यकता होती है, तो आमतौर पर कोई अपने स्वयं के सबसे विशिष्ट वर्गीकरण को निर्दिष्ट करता है, क्योंकि इसका तात्पर्य अन्य सभी से है। निम्नलिखित शोध विकल्पों को वर्गीकृत करें:3 × 4 के रूप में। इस मामले में, वे वर्ग नहीं हैं। इसलिए, मान और कुछ नहीं हो सकते। निम्नलिखित वर्गीकरण:3 × 3 के रूप में संभव है। लेकिन इसे एक वर्ग माना जाता है, और इसमें कुछ खास नहीं है। निम्नलिखित डेटा का वर्गीकरण:3 × 3 ऊपरी त्रिकोणीय के रूप में, लेकिन यह विकर्ण नहीं है। सच है, विचाराधीन मूल्यों में स्थित और संकेतित स्थान पर या ऊपर अतिरिक्त शून्य हो सकते हैं। अध्ययन के तहत वर्गीकरण आगे है: [0 0 1] [1 0 0] [0 1 0], जहां इसे एक विकर्ण के रूप में दर्शाया गया है और, इसके अलावा, सभी प्रविष्टियां हैं। तो यह एक 3 × 3 पहचान है, आई3.

चूंकि समान मैट्रिक्स परिभाषा वर्ग के अनुसार होते हैं, इसलिए आपको उनके आयामों को खोजने के लिए केवल एक इंडेक्स का उपयोग करने की आवश्यकता होती है। दो मैट्रिक्स के बराबर होने के लिए, उनके पास समान पैरामीटर होना चाहिए और एक ही स्थान पर समान प्रविष्टियां होनी चाहिए। उदाहरण के लिए, मान लें कि दो तत्व विचाराधीन हैं: A=[1 3 0] [-2 0 0] और B=[1 3] [-2 0]। ये मान समान नहीं हो सकते क्योंकि ये आकार में भिन्न हैं।

भले ही ए और बी हैं: ए=[3 6] [2 5] [1 4] और बी=[1 2 3] [4 5 6] - वे अभी भी समान नहीं हैं वही चीज। A और B प्रत्येक के पास हैछह प्रविष्टियाँ हैं और उनकी संख्याएँ भी समान हैं, लेकिन यह मैट्रिक्स के लिए पर्याप्त नहीं है। ए 3×2 है। और बी 2×3 मैट्रिक्स है। 3×2 के लिए ए 2×3 नहीं है। इससे कोई फर्क नहीं पड़ता कि ए और बी के पास समान मात्रा में डेटा या रिकॉर्ड के समान संख्याएं भी हैं। यदि A और B समान आकार और आकार के नहीं हैं, लेकिन समान स्थानों पर समान मान हैं, तो वे समान नहीं हैं।

विचाराधीन क्षेत्र में इसी तरह के ऑपरेशन

मैट्रिक्स समानता की इस संपत्ति को स्वतंत्र शोध के लिए कार्यों में बदला जा सकता है। उदाहरण के लिए, दो मैट्रिक्स दिए गए हैं, और यह इंगित किया गया है कि वे बराबर हैं। इस मामले में, आपको इस समानता का उपयोग चरों के मूल्यों का पता लगाने और उत्तर प्राप्त करने के लिए करना होगा।

बीजगणित में मैट्रिक्स के उदाहरण और समाधान विविध हो सकते हैं, खासकर जब समानता की बात आती है। यह देखते हुए कि निम्नलिखित आव्यूहों पर विचार किया जाता है, x और y मान ज्ञात करना आवश्यक है। A और B के बराबर होने के लिए, उनका आकार और आकार समान होना चाहिए। वास्तव में, वे ऐसे हैं, क्योंकि उनमें से प्रत्येक 2 × 2 आव्यूह है। और उनका एक ही स्थान पर समान मूल्य होना चाहिए। फिर a1, 1 को b1, 1, a1, 2 के बराबर होना चाहिए, b1, 2 के बराबर होना चाहिए, और इसी तरह। उन्हें)। लेकिन, a1, 1=1 स्पष्ट रूप से b1, 1=x के बराबर नहीं है। A के लिए B के समान होने के लिए, प्रविष्टि में a1, 1=b1, 1 होना चाहिए, इसलिए यह 1=x होने में सक्षम है। इसी तरह, सूचकांक a2, 2=b2, 2, इसलिए 4=y। तब हल है: x=1, y=4। यह देखते हुए कि निम्नलिखितमैट्रिक्स बराबर हैं, आपको x, y और z के मानों को खोजने की आवश्यकता है। ए=बी होने के लिए, गुणांक में सभी प्रविष्टियां समान होनी चाहिए। अर्थात्, a1, 1=b1, 1, a1, 2=b1, 2, a2, 1=b2, 1 इत्यादि। विशेष रूप से, अवश्य:

4=x

-2=वाई + 4

3=जेड / 3.

जैसा कि आप चयनित मैट्रिक्स से देख सकते हैं: 1, 1-, 2, 2- और 3, 1-तत्वों के साथ। इन तीन समीकरणों को हल करने पर, हमें उत्तर मिलता है: x=4, y=-6 और z=9। मैट्रिक्स बीजगणित और मैट्रिक्स संचालन हर किसी के लिए उपयोग किए जाने वाले कार्यों से भिन्न होते हैं, लेकिन वे प्रतिलिपि प्रस्तुत करने योग्य नहीं होते हैं।

इस क्षेत्र में अतिरिक्त जानकारी

रैखिक मैट्रिक्स बीजगणित समीकरणों के समान सेट और उनके परिवर्तन गुणों का अध्ययन है। ज्ञान का यह क्षेत्र आपको अंतरिक्ष में घुमावों का विश्लेषण करने, लगभग कम से कम वर्ग, संबंधित अंतर समीकरणों को हल करने, तीन दिए गए बिंदुओं से गुजरने वाले एक सर्कल को निर्धारित करने और गणित, भौतिकी और प्रौद्योगिकी में कई अन्य समस्याओं को हल करने की अनुमति देता है। एक मैट्रिक्स का रैखिक बीजगणित वास्तव में प्रयुक्त शब्द का तकनीकी अर्थ नहीं है, अर्थात, एक क्षेत्र f, आदि पर एक सदिश स्थान v।

मैट्रिक्स और निर्धारक अत्यंत उपयोगी रैखिक बीजगणित उपकरण हैं। केंद्रीय कार्यों में से एक मैट्रिक्स समीकरण A_x=b का समाधान है, x के लिए। हालांकि यह सैद्धांतिक रूप से उलटा x=A^-1 b का उपयोग करके हल किया जा सकता है। अन्य विधियाँ, जैसे गाऊसी उन्मूलन, संख्यात्मक रूप से अधिक विश्वसनीय हैं।

समीकरणों के रैखिक सेट के अध्ययन का वर्णन करने के लिए उपयोग किए जाने के अलावा, निर्दिष्टउपरोक्त शब्द का उपयोग एक निश्चित प्रकार के बीजगणित का वर्णन करने के लिए भी किया जाता है। विशेष रूप से, एक क्षेत्र F के ऊपर L में एक वलय की संरचना होती है, जिसमें आंतरिक जोड़ और गुणा के लिए सभी सामान्य स्वयंसिद्ध होते हैं, साथ में वितरण कानून भी होते हैं। इसलिए, यह इसे एक अंगूठी की तुलना में अधिक संरचना देता है। रैखिक मैट्रिक्स बीजगणित स्केलर्स द्वारा गुणन के बाहरी संचालन को भी स्वीकार करता है जो अंतर्निहित क्षेत्र एफ के तत्व हैं। उदाहरण के लिए, एक वेक्टर स्पेस वी से सभी फ़ील्ड एफ से स्वयं के लिए सभी माना परिवर्तनों का सेट एफ पर बनता है। रैखिक का एक और उदाहरण बीजगणित एक क्षेत्र R वास्तविक संख्याओं पर सभी वास्तविक वर्ग आव्यूहों का समुच्चय है।